10.4.1 Suites totales
Dénition 10.4.1 Soit(ek)k∈N∈EN oùE est un evn.
On dit que cette suite est totale ⇐⇒ l'espaceV ect((ek)k∈N)est dense dansE.
⇐⇒ ∀x∈E, ∀ε >0, ∃y combinaison linéaire nie de vecteurs de(ek)k∈N tq ky−xk6ε
⇐⇒ ∀x∈E,il existe(xn)n∈N suite de vecteurs deV ect((ek)k∈N)qui converge vers x.
10.4. SUITES ORTHONORMALES DE VECTEURS D'UN ESPACE PRÉHILBERTIEN RÉEL143 Remarque 10.4.2 Cette dénition s'applique à tout espace vectoriel muni d'une norme. Dans le cas d'un espace préhilbertien réel, la norme utilisée est la norme euclidienne.
Proposition 10.4.3 E un espace préhilbertien réel.
(ek)k∈N est une suite totale de vecteurs deE=⇒V ect((ek)k∈N)⊥={0}. car ...
Proposition 10.4.4 Si E est euclidien, une suite totale est génératrice.
10.4.2 Suite orthonormale totale
Dénition 10.4.5 SoitE un espace préhilbertien réel.
Une suite (ek)k∈N ∈ EN est une suite orthonormale totale si et seulement si c'est une famille orthonormale et elle est totale.
Théorème 10.4.6 Soit (ek)k∈N une famille orthonormale de E. Pour n ∈ N, on note pn la projection orthogonale surV ect(e0, ..., en).
La famille(ek)k∈N est totale si et seulement si ∀x∈E, la suite(pn(x))n∈N converge versx. Car ...
10.4.3 Exemples de suites de polynômes orthogonaux
Proposition 10.4.7 (Hors programme)
Soit E = C([a, b],R) et soit ϕ ∈ E avec ϕ positive et ne s'annulant qu'en un nombre ni de points de [a, b].
On pose pourf, g dansE,< f, g >=
Z b a
f(t)g(t)ϕ(t)dt. Alors <, >est un produit scalaire surE
Il existe 1 et 1 seule suite de polynômes (Pn)de polynômes unitaires, orthogonaux 2 à 2 et tq∀n, deg(Pn) =n.
On les appelle polynômes orthogonaux associés àϕ. car ...
Remarque 10.4.8 V ect((Pn)n∈N est l'ensemble des fonctions polynomiales sur [a, b].
Exemple 10.4.9 Polynômes de Legendre : a= −1, b = 1, ϕ = 1. Alors la famille Φn : t → dn
dtn((t2−1)n) est famille orthogonale. Voir TD
Théorème 10.4.10 Une suite de polynômes orthogonaux sur [a, b]est totale dans C([a, b],R). Car ...
Chapitre 11
Endomorphismes des espaces euclidiens
Contents
11.1 Isométries vectorielles . . . 145 11.2 Endomorphismes symétriques . . . 151
Dans toute la suiteE désignera un espace vectoriel euclidien de dimensionn.
11.1 Isométries vectorielles
11.1.1 Groupe orthogonal
Dénition 11.1.1 Soitu∈L(E).
On dira que u est un automorphisme orthogonal (on dit aussi isométrie vectorielle) de E si et seulement si uconserve la norme, i.e.∀x∈E, ku(x)k=kxk.
L'ensemble des isométries vectorielles se note O(E).
Proposition 11.1.2 Un automorphisme orthogonal est bien un automorphisme ...
Carx∈Ker(u) =⇒u(x) = 0 =⇒ ku(x)k= 0 =⇒ kxk= 0 =⇒x= 0.
Théorème 11.1.3 Soitu∈L(E). Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. u∈ O(E), i.e.uconserve la norme
2. uconserve le produit scalaire , i.e. ∀x, y∈E, < u(x), u(y)>=< x, y >. 3. L'image parude toute base orthonormale est une base orthonormale
4. Il existeB base orthormale deE dont l'image paruest une base orthonormale 5. Il existeB base orthormale deE tq siA=M atB(u)alors tA.A=In.
6. Il existeB base orthormale deE tq siA=M atB(u)alors A.tA=In. car ...
145
Proposition 11.1.4 1. O(E) est un sous-groupe deGL(E), appelé groupe orthogonal.
2. ∀u∈ O(E), |det(u)|= 1.
3. SO(E) ={u∈ O(E)/det(u) = 1}est un sous groupe de O(E)appelé groupe spécial ortho-gonal, ou groupe des rotations vectorielles deE. Cet ensemble se note aussi O+(E) Car ...
Notation 11.1.5 L'ensembleO(E)\SO(E)se note O−(E) ={u∈ O(E)/det(u) =−1}
Exemple 11.1.6 Soit F un sev deE. On sait queE=F⊕F⊥. Soitsla symétrie orthogonale par rapport àF. Alorss∈ O(E). Car ...
Exemple 11.1.7 Soit F un sev deE distinct deE. On sait queE=F⊕F⊥. Soitpla projection orthogonale surF. Alorsp /∈ O(E), carpn'est pas bijective.
Exemple 11.1.8 Dim(E) = 2 et soit B= (i, j)une base orthonormée deE. Soitu∈L(E) tq∃θ∈R, M atB(u) =
cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)
. Alorsu∈SO(E)car ...
11.1.2 Matrices orthogonales
Dénition-théorème 11.1.9 SoitA∈ Mn(R). On dira que A est une matrice orthogonale si et seulement siA vérie une des propriétés ci-dessous équivalentes :
1. A∈GLn(R)et tA=A−1. 2. A.tA=In
3. tA.A=In
4. tAest orthogonale
5. Les colonnes deAforment une famille orthonormale deRn pour son produit scalaire usuel.
6. Les lignes de Aforment une famille orthonormale de Rn pour son produit scalaire usuel.
L'ensemble des matrices orthogonales de taillense note O(n). car ...
Proposition 11.1.10 Soit Bune base orthonormée de E. Soitu∈L(E)et A=M atB(u). u∈ O(E) ⇐⇒ A∈ O(n)
car ...
Exemple 11.1.11 SoitA=
1/3 −2/3 2/3 2/3 −1/3 −2/3 2/3 2/3 1/3
. Cette matrice est-elle orthogonale ?
Exemple 11.1.12 SoitB=
1/√
2 2/3 a
0 1/3 b
−1/√
2 2/3 c
. Déterminera, b, cen sorte queB∈ O(3)
Proposition 11.1.13 1. O(n)est un sous-groupe deGLn(R).
11.1. ISOMÉTRIES VECTORIELLES 147 2. A∈ O(n) =⇒ |det(A)|= 1. (Réciproque fausse)
3. SO(n) ={A∈ O(n)/det(A) = 1} est un sous-groupe deO(n); il est appelé groupe spécial orthogonal d'ordren. Cet ensemble se note aussi O+(n).
L'ensembleO(n)\SO(n) se noteO−(n) ={A∈ O(n)/det(A) =−1}
Car ...
Proposition 11.1.14 Soit B une base orthonormale deE, et soit B0 une base de E. SoitP la matrice de passage deB àB0.
B0 est orthonormale ⇐⇒ P ∈ O(n) car ...
Remarque 11.1.15 Soit M inversible, alorsM−1= 1 det(M)
t(com(M)). Donc,M ∈ O(n) ⇐⇒ tM = 1
det(M)
t(com(M)) ⇐⇒ M = com(M) det(M) DoncM ∈SO(n) ⇐⇒
(ses colonnes forment une base orthonormale deRn pour le produit scalaire usuel de Rn un de ses coecients non nuls est égal à son cofacteur
Exemple 11.1.16 Soit A=
1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 −2/3
−2/3 2/3 −1/3
. Dire si Aest dans SO(3).
11.1.3 Orientation de E
Dénition 11.1.17 OrienterE c'est choisir (xer) une base orthonormaleB0, qu'on appellera directe.
Dénition 11.1.18 Une orientation de l'espace étant xée (par la donnée deB0).
SoitB0 une base orthonormale, etP la matrice de passage deB0àB0. On dira queB0 est directe si et seulement si P ∈SO(n). Sinon, on dira que B0 est indirecte.
Proposition 11.1.19 Une orientation de l'espace étant xée (par la donnée deB0).
SoitB0 etB00 deux bases orthonormales ; soit P la matrice de passage deB0 àB00. B0 etB00 ont la même orientation si et seulement si P ∈SO(n).
car ...
11.1.4 Stabilité et orthogonalité
Théorème 11.1.20 Soitu∈ O(E). AlorsSpR(u)⊂ {−1,1}et les sev propres sont orthogonaux car ...
Conséquence 11.1.21 Soitu∈ O(E).uest diagonalisable si et seulement siuest une symétrie vectorielle orthogonale.
En d'autres termes, les seuls automorphismes orthogonaux diagonalisables sont les symétries orthogonales.
car ...
Théorème 11.1.22 Soitu∈ O(E). SoitF un sev de E stable par u. AlorsF⊥ est stable paruetu|F ∈ O(F),u|F⊥ ∈ O(F⊥).
car ...
Théorème 11.1.23 Soit u ∈ O(E). Ker(u−id) et Im(u−id) sont des sev supplémentaires orthogonaux.
car ...
Théorème 11.1.24 Soitu∈ O(E).Ker(u−id)⊥Ker(u+id). car ...
11.1.5 Isométries vectorielles d'un plan euclidien
Dans ce paragraphe,E2est de dimension 2.
Théorème 11.1.25 Les éléments deO(2) sont : les matrices Rθ=
cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)
pour θ∈R; ce sont les éléments de SO(2) i.e.
O+(2)
les matricesSθ=
cos(θ) sin(θ) sin(θ) −cos(θ)
pourθ∈R; ce sont les éléments deO(2)\SO(2) =O−(2) car ...
Corollaire 11.1.26 Soitu∈SO(E2)etB une base orthonormale deE2. Alors∃θ∈R, M atB(u) =Rθ.
On dit que uest la rotation d'angleθ.
Conséquence 11.1.27 (SO(2),×)est un groupe abélien.
Corollaire 11.1.28 Les éléments deO−(E2)sont les endomorphismes dont la matrice dans une base orthonormale est du typeSθ.
Or un calcul simple montre queSθ2=I2. D'où la propriété
Proposition 11.1.29 Donc les éléments deO−(E2)sont les symétries orthogonales par rapport à une droite.
car ...
Proposition 11.1.30 Pourθ, θ0∈R,RθRθ0 =Rθ0Rθ=Rθ+θ0 et doncR−1θ =R−θ. Clair : calcul matriciel.
Conséquence 11.1.31 Soitu∈SO(E2).
Alors∃θ∈Rtq∀B base orthonormale directe,M atB(u) =Rθ. θne dépend pas de la base orthonormale directe.
Proposition 11.1.32 Soit u ∈ SO(E2). u /∈ {id,−id} =⇒u n'est pas diagonalisable, i.e. Rθ diagonalisable si et seulement siθ≡0 modπ
11.1. ISOMÉTRIES VECTORIELLES 149 car ...
Proposition 11.1.33 Soit u∈SO(E2)etB une base orthonormée directe telle que M atB(u) =Rθ. Alors∀x6= 0, (x, u(x))\ ≡θ mod 2π
car ...
Proposition 11.1.34 Soit u∈ O−(E2).
Alorsuest diagonalisable, et∃B base orthonormale de E2 tqM atB(u) =
1 0 0 −1
car ...
11.1.6 Réduction d'une isométrie vectorielle en base orthonormale
Théorème 11.1.35 Soit u∈ L(E)et E un ev réel de dimension nie. Il existe une droite ou un plan stable par u.
Car ...
Remarque 11.1.36 C'est un théorème qui est vrai même si E n'est pas muni d'un produit scalaire .
Théorème 11.1.37 Réduction des isométries vectorielles SoitE un espace euclidien de dimension n>1 et soit u∈ O(E).
Il existe une base orthonormée de E, B, tq M atB(u) est une matrice diagonale par blocs :
M atB(u) =
Ip
−Iq 0
R(θ1)
0 . ..
R(θs)
oùR(θ) =
cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)
avec θ6≡0 modπ, et p, q, s∈N tqp+q+ 2s=n Car ...
11.1.7 Produit vectoriel dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3
Dans ce paragraphe,E est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
Dénition-théorème 11.1.38 Soit x, y, ztrois vecteurs de E. detB(x, y, z)ne dépend pas de la baseB orthonormée directe choisie.
Ce déterminant s'appelle produit mixte des vecteursx, y, z. car ...
Dénition-théorème 11.1.39 SoitB une base orthonormée directe etx, y∈E. Alors∃!a∈E tq∀z∈E, detB(x, y, z) =< a, z >
Ce vecteura s'appelle produit vectoriel dexpary et se note a=x∧y. Le vecteurx∧y ne dépend pas de la base orthonormée directeBchoisie.
car ...
La démonstration permet de conclure aussi :
Proposition 11.1.40 SoitB une base orthonormée directe, soit x, yvecteurs deE de matrices colonnes des coordonnées dansB:X =
matrice colonne des coordonnées dansB:X∧Y =
Proposition 11.1.42 L'application
(E2 →E est une base orthonormée directe.
11.1.8 Groupe des rotations en dimension 3
E est de dimension 3 et orienté.
Théorème 11.1.44 Soitu∈SO(E).
Si u n'est pas l'identité, on appelle axe de cette rotation la droite Ker(u−id) orientée par le vecteure1
Cet angle θ est indépendant de la base orthonormée directe choisie. On l'appelle "angle" de la rotationu.
Car ...
Conséquence 11.1.45 Soitu∈ O(E).
uest un automorphisme orthogonal direct si et seulement si(u=idoudim Ker(u−id) = 1) car ...
11.2. ENDOMORPHISMES SYMÉTRIQUES 151