Posons le problème : on a vu que dans un evn, la convergence d'une suite est liée à la norme.
On voudrait trouver une CNS sur les normes en sorte que la convergence des suites(un)n∈Nvers
`pour la normeN1soit équivalente à la convergence de ces suites(un)n∈N vers`pour la norme N2
Tout part de ce qui suit :
Proposition 3.5.1 SoitE un espace vectoriel muni de deux normesN1 etN2.
∃β >0 tel que N26βN1 ⇐⇒(Toute suite(un)n∈N qui converge vers 0 pourN1 converge vers 0 pourN2).
En eet 1) Rédigez le sens direct
Démonstration par l'absurde de la réciproque Ceci conduit à la dénition suivante :
Dénition 3.5.2 SoitE un espace vectoriel muni de deux normesN1 etN2. On dira queN1 est équivalente à N2
m
∃α >0, ∃β >0 tel que∀x∈E, αN1(x)6N2(x)6βN1(x) m
∃α >0, ∃β >0 tel queαN16N26βN1
Proposition 3.5.3 Sur l'ensemble des normes dénies surE, la relation "N1 est équivalente à N2" est une relation d'équivalence.
Ce qui est heureux dans le choix du vocabulaire ...
En eet :
Exemple 3.5.4 DansRp, montrer que les normes k.k1 etk.k∞ sont équivalentes.
Donc, des normes équivalentes existent.
Exercice 3.5.5 Montrer que dansCp, les normesk.k1 etk.k2 sont équivalentes Théorème 3.5.6 qui fait tout l'intérêt de cette dénition
SoitE un espace vectoriel muni de deux normesN1 etN2 équivalentes.
(un)n∈N bornée parN1 ⇐⇒ (un)n∈N bornée pourN2
(un)n∈N converge vers`pourN1 ⇐⇒ (un)n∈N converge vers` pourN2
A⊂E,Abornée pourN1 ⇐⇒ Abornée pourN2
Car ...
Exemple 3.5.7 En reprenant l'exemple 3.2.4 justier que surE=C([0,1],R)les normes k.k∞ etk.k1 ne sont pas équivalentes.
Théorème 3.5.8 Dans un espace vectoriel de dimension nie toutes les normes sont équiva-lentes
3.5. NORMES ÉQUIVALENTES 51 En fait, on va montrer que siBest une base deE, toutes les normes sont équivalentes à la norme innie relativement à la baseB, et donc par transitivité, elles sont toutes équivalentes
En eet ...
Ce théorème est fondamental car il signie que si on est dans un espace de dimension nie,la notion de partie bornée est indépendante de la norme
la convergence d'une suite ne dépend pas de la norme. Et donc on peut choisir la norme avec laquelle on va travailler
Les valeurs d'adhérence d'une suite ne dépendent pas de la norme
Dans un espace de dimension nie, on peut dire "la suite (un)n∈N converge" sans avoir besoin de préciser la norme !
Conséquence :
Théorème 3.5.9 Bolzano-Weierstrass (version complète)
Dans un espace vectoriel de dimension nie, toute suite bornée a une valeur d'adhérence on ne précise plus la base, ni la norme.
Mais dans un espace vectoriel de dimension innie on ne peut pas se dispenser de parler de la norme avec laquelle on travaille. Or des espaces de dimension innie on en manipule beau-coup : par exemple l'espace des polynômesR[X], ouC([0,1],R)ou ...
Théorème 3.5.10 Comment prouver que deux normes N1 et N2 ne sont pas équiva-lentes ? Bien entendu l'espace vectoriel doit être de dimension innie ...
S'il existe une suite (un)n∈N ∈EN telle que ∀n∈N, un 6= 0etlimN1(un)
N2(un) = +∞ alors N1 etN2 ne sont pas équivalentes
S'il existe une suite (un)n∈N∈EN telle que ∀n∈N, un6= 0 etlimN1(un)
N2(un) = 0 alorsN1
etN2 ne sont pas équivalentes Car ...
Dans la pratique, il faudra essayer d'exhiber de telles suites ....
Chapitre 4
Séries d'éléments d'un evn
Contents
4.1 Suites et séries . . . 53 4.2 Séries de nombres réels positifs . . . 56 4.3 Séries réelles alternées . . . 60 4.4 Séries d'éléments d'un evn de dimension nie . . . 61
4.1 Suites et séries
Dans toute la suite,E est un espace vectoriel de dimension nie.
4.1.1 Dénitions et généralités
Dénition 4.1.1 Soit (un)n∈N une suite d'éléments deE. On noteSn=
n
X
k=0
uk.Sn est appelé nième somme partielle de la série.
Etudier la série de terme généralun c'est étudier la suite(Sn)n∈N. Pour parler de la série de terme généralun on note cette série X
un. On dit que la série X
un converge si et seulement si la suite(Sn)n∈N converge dans E, et dans ce cas uniquement, la limite de cette suite est appelée somme de la sérieX
un et se note
+∞
X
n=0
un
On dira que la série X
un diverge lorsqu'elle ne converge pas.
On dira que deux séries sont de même nature si et seulement si elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes.
Proposition 4.1.2 Il y a bijection entre l'ensemble des suites de E et l'ensemble des séries dénies sur E, c'est à dire qu'à toute suite de E on associe 1 et 1 seule série, et toute série de E est associée à 1 et 1 seule suite de E.
53
On vient de voir qu'à partir d'une suite deE on dénit 1 et 1 seule série.
Pour la réciproque, il sut de voir que pourn>1, Sn−Sn−1 =un etu0=S0, ce qui permet de retrouver la suite si on connaît la série, c'est à dire la suite des sommes partielles.
Proposition 4.1.3 Soit n0∈N. Les séries X
n>0
Théorème 4.1.4 La série harmonique X
n>1
1
n diverge vers+∞
En eet : 1
Théorème 4.1.5 Condition NÉCESSAIRE de convergence d'une série : Xun converge =⇒limun= 0
Conséquence 4.1.6 Lorsque la suite (un)n∈N ne converge pas vers 0, alors la série X un diverge. On dit, dans ce cas qu'elle diverge grossièrement.
Exemple 4.1.7 X
(−1)n diverge grossièrement.
Remarque 4.1.8 Le théorème est bien une condition nécessaire mais pas susante ; comme contre exemple il sut de considérer la série harmonique : si un = 1
n, alors limun = 0 et pourtantX
un diverge.
Dénition 4.1.9 Reste d'ordre n d'une série convergente Soit X
un une série convergente. Alors vu 4.1.3, pour tout entier n xé, X
k>n+1
uk converge.
Cette somme est appelée Reste d'ordren de la sérieX
uk, et se note souventRn i.e.
Proposition 4.1.10 SoitX
un une série convergente. AlorslimRn= 0 car ...
4.1. SUITES ET SÉRIES 55
4.1.2 Structure algébrique de l'ensemble des séries convergentes
Théorème 4.1.11 SoitX
un etX
Conséquence 4.1.12 Notons (ici)S(E)l'ensemble des suites deEdont la série associée converge.
AlorsS(E)est un sev deEN et l'application
un est linéaire
ATTENTION : SiX
un et X
vn divergent, on ne sait rien deX
(un+vn)
Exercice 4.1.13 On suppose queX
un converge et X
vn diverge. Que dire de X
(un+vn)? Lorsque E est de dimension nie (ce qui est le cas dans ce chapitre) on sait que la convergence d'une suite peut se prouver en travaillant sur les coordonnées dans une base, ce qui se traduit ici par :
ui,n converge, et dans ce cas
+∞
Re(un) converge
XIm(un)converge ⇐⇒ X
un converge
4.1.3 Série géométrique dans C
Théorème 4.1.16 Soita∈C.
4.1.4 Série télescopique associée à une suite
Dénition-propriété 4.1.17 Soit(vn)n∈N ∈EN.
On appelle série télescopique associée à cette suite, la série de terme général un = vn−vn−1 dénie pourn>1.
Alors la suite(vn)n∈N et la sérieX
un sont de même nature, et si elles convergent,
+∞
X
n=1
un = lim
n→+∞vn−v0
clair, mais important.