Remarque 7.3.21 Pour n= 0on retrouve l'inégalité des accroissements nis.
Théorème 7.3.22 Taylor Young : propriété locale
Soit:I →E, de classeCn sur I, et soita∈I, alorsf a un développement limité d'ordren au voisinage de a, i.e..
il existe une fonction εtelle quef(a+h) =
n
X
k=0
hk
k!f(k)(a) +hnε(h)et lim
h→0ε(h) = 0. Car ...
Remarque 7.3.23 C'est un théorème local : il n'a de sens que pourhvoisin de 0, la seule chose qu'on connaît sur cette fonctionε est qu'elle a pour limite 0 en 0.
Théorème 7.3.24 Intégration d'un Développement limité
Soitf :I→Econtinue surI, et soitx0∈I. On suppose quef admet un Développement Limité d'ordre nau voisinage de x0 (notéDLn(x0)) :
f(x) =a0+a1(x−x0) +...+an(x−x0)n+ (x−x0)nε(x−x0)etlim
0 ε= 0, avec a0, ..., an∈E etε fonction à valeurs dansE.
Alors toute primitive F def sur I admet unDLn+1(x0): F(x) = F(x0) +a0(x−x0) +a1
(x−x0)2
2 +...+an
(x−x0)n+1
n+ 1 + (x−x0)n+1ε2(x−x0) et lim0 ε2= 0.
Car ...
Exemple 7.3.25 Écrire le développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 de la fonction Arctan.
7.4 Arcs paramétrés de classe C
17.4.1 Généralités
Iest un intervalle deR, et
E un espace vectoriel de dimension 2 ou 3 sur R. E est muni du repère orthonormé O;~i,~j
si n= 2, ou
O;~i,~j, ~k
sin= 3.
Dénition 7.4.1 • On appelle arc paramétré de classeCk (k>1) surE toute application de classe Ck dénie sur un intervalleI deRà valeurs dansE.
La fonction est souvent notée M :
I→E t→M(t)
• Le support (ou trajectoire) de l'arc paramétré est l'ensemble M(I) ={M(t)/t∈I}
• Un arc est dit fermé lorsqueI est un segmentI= [a, b]et M(a) =M(b).
Dénition 7.4.2 Soit M :I→E un arc paramétré de classeC1 surI et soitt0∈I On dira que le pointM(t0)est régulier si et seulement si −−−−−→
M 0(t0) 6= −→ 0 On dira que le pointM(t0)est stationnaire si et seulement si −−−−−→
M 0(t0) = −→ 0 On dira que l'arc est régulier si tous ses points sont réguliers
7.4.2 Tangente en un point d'un arc régulier
Donc, pourhtendant vers 0,
Alors la droite(M0, Mh)(droite "sécante") qui a pour vecteur directeur p!
hp appelée tangente à l'arc paramétré au pointM0.
D'où la dénition/propriété suivante
Dénition 7.4.3 On considère un arc paramétré M de classe Ck . S'il existe un t0 ∈I et si on notep∈[[1, k]]le plus petit entier supérieur à 1 tel que tel que −−−−−→
M(p)(t0) 6=~0(si un tel entier existe), alors la tangente à l'arc paramétré au pointt0 est la droiteM0+Vect
−−−−−→
Proposition 7.4.4 Si l'arc est régulier, alors la courbe admet en tout pointt0 une tangente de vecteur directeur −−−−→
Dénition 7.4.5 Dans le cas oùE est de dimension 2, on appelle normale à l'arc paramétré au point réguliert0, la droite ane passant par ce point et orthogonale à la tangente en ce point.
Chapitre 8
Suites et séries de fonctions
Contents
8.1 Suites de fonctions . . . 107 8.2 Continuité, double limite, intégrale sur un segment . . . 111 8.3 Convergence uniforme et normale d'une série de fonctions . . . . 114 8.4 Propriétés des séries de fonctions . . . 117 8.5 Approximations uniformes sur un segment des fonctions d'une
variable réelle . . . 120
Dans toute ce chapitreEet F désignent deux evn de dimension nie.
8.1 Suites de fonctions
8.1.1 Convergence simple
Dénition 8.1.1 Soit X ⊂E et(fn)n∈N une suite de fonctionsfn:
(X →F x →fn(x).
On dira que la suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction f : X → F si et seulement si
∀x∈X, la suite vectorielle (fn(x))n∈N converge versf(x) On écrira alors (fn)CVS versf.
Exemple 8.1.2 Pour n∈N∗, soit fn :
R∗+ →R
x → 1
x+ 1 n .
Alors la suite (fn)converge simplement vers la fonctionf :x→ 1 x
Remarque 8.1.3 pour tout n ∈ N∗, les fonctions fn sont bornées sur R∗+, mais la fonction limite f n'est pas bornée surR∗+.
Donc, dans le cas de la convergence simple, le fait que les fonctions fn sont toutes 107
bornées surX ne permet pas de conclure que la fonction limite sera elle aussi bornée sur X.
Exemple 8.1.4 fn :
([0,1] →R x →xn
La suite(fn)n∈N converge simplement vers la fonctionf :
[0,1] →R
x →
(0 si06x <1 1 six= 1
Remarque 8.1.5 Pour tout n∈N, les fonctions fn sont continues sur [0,1] mais la fonction limitef n'est pas continue en 1.
Donc, dans le cas de la convergence simple, le fait que les fonctions fn sont toutes continues sur X ne permet pas de conclure que la fonction limite sera elle aussi continue sur X.
Exemple 8.1.6 Pourn∈N∗, soit fn:
[0,1] →R
x →
n si0< x < 1 n 0 six> 1
n oux= 0
Montrer que la suite(fn)n∈N∗ converge simplement vers une fonctionf à déterminer.
CalculerZ 1 0
fn etZ 1 0
f. Comparer.
Remarque 8.1.7 Donc, dans le cas de la convergence simple, le fait que la suite de fonctions fn converge vers f sur X ne permet pas de conclure que lim
n→∞
Z
X
fn serait égale à Z
X
f.
En résumé, la convergence simple d'une suite de fonctions (fn) vers une fonction f n'est pas un outil ecace pour déduire des propriétés de la fonction f à partir des propriétés des fonctionsfn .
8.1.2 Convergence uniforme
Dénition 8.1.8 SoitX ⊂E et(fn)n∈N une suite de fonctionsfn :
(X →F x →fn(x). On dira que la suite de fonctions(fn)converge uniformément vers la fonction f :X →F
⇐⇒ ∀ε >0, ∃N ∈N, ∀n>N, ∀x∈X,kfn(x)−f(x)k6ε
⇐⇒ lim
n→+∞Sup
x∈X
kfn(x)−f(x)k= 0 On dit aussi quef est la limite uniforme de la suite(fn)
Remarque 8.1.9 (fn)converge uniformément versf surX =⇒la suite(fn−f)est bornée sur X.
clair
8.1. SUITES DE FONCTIONS 109 Proposition 8.1.10 (fn)converge uniformément versf =⇒(fn)converge simplement versf. clair
ATTENTION : la réciproque est fausse, comme on va le voir.
Remarque 8.1.11 Cette propriété est utile quand on veut étudier la convergence uniforme d'une suite de fonctions :
On commence par étudier la convergence simple, pour déterminer la fonction limite On étudie alors la suite de fonctions(fn−f).
Proposition 8.1.12 .
(fn) converge uniformément versf ⇐⇒ ∃(αn)n∈N∈RN+, ∀x∈X, kfn(x)−f(x)k6αn avec limn αn= 0.
Car : pour le sens direct, la suiteαn = (Sup
x∈X
kfn(x)−f(x)k)n satisfait bien les conditions sou-haitées.
Pour le sens réciproque, par hypothèse la suite (Sup
x∈X
kfn(x)−f(x)k)n est une suite de réels positifs qui est majorée par la suite(αn), donc cette suite converge vers 0. Cqfd.
Remarque 8.1.13 Il faut bien voir que la suite(αn)n est une suite de réels ne dépendant pas de x
Remarque 8.1.14 Si on trouve une suite(xn)nde points deX pour lesquels la suite(kfn(xn)−f(xn)k)n
ne converge pas vers 0, alors on conclut que la suite (fn)ne converge pas uniformément vers f. Exemple 8.1.15 Soit fn : x→xn sur [0,1]. Montrons que cette suite de fonctions (pourtant très simple) ne converge pas uniformément sur [0,1].
Déterminer la limite simple f de cette suite de fonctions En considérant la suite (xn) dénie surN∗ par xn = 1− 1
n montrer que la suite(fn)ne converge pas uniformément versf.
Exemple 8.1.16 Soit fn : x→ nx
1 +n2x. Montrer que la suite (fn)n converge uniformément vers la fonction nulle sur R+.
Exemple 8.1.17 Soit fn:x→ nx
1 +n2x2 Montrer que la suite(fn)n ne converge pas uniformé-ment sur R+.
Exemple 8.1.18 Soit fn :x→ nx3 1 +nx2
Montrer que la suite(fn) converge simplement vers une fonctionf à déterminer.
Étudier les variations de la fonctionfn−f sur R+.
Qu'en conclure sur la convergence uniforme de la suite(fn)n sur R+? et surR? Exemple 8.1.19 Soit fn :
(R+ →R x →ln
1 + x n
(n∈N∗).
Montrer que la suite(fn)nconverge surR+simplement vers une fonctionf à déterminer.
Soit a >0. Montrer que la suite(fn)n converge uniformément versf sur[0, a]
Montrer que la suite(fn)n ne converge pas uniformément versf sur R+.
Proposition 8.1.20 . ∀n, fn est bornée sur X et (fn)n converge uniformément vers f sur X=⇒la fonctionf est bornée sur X.
Car ...
en reprenant l'exemple 8.1.2, on peut conclure par contraposée que la suite(fn)ne convergeait pas uniformément versf.
8.1.3 Convergence uniforme sur tout compact
Dénition 8.1.21 SoitX ⊂E et(fn)n∈N une suite de fonctionsfn:
(X →F x →fn(x).
On dira que la suite de fonctions (fn) converge uniformément vers la fonction f : X → F sur tout compact deX
⇐⇒ ∀K compact deX, la suite(fn|K)n des restrictions defn àK, converge uniformément surK vers la restriction de f àK
⇐⇒ ∀K compact de X, ∀ε >0, ∃N∈N, ∀n>N, ∀x∈K,kfn(x)−f(x)k6ε
⇐⇒ lim
n→+∞Sup
x∈K
kfn(x)−f(x)k= 0
Remarque 8.1.22 Important : On a vu dans l'exemple 8.1.18 qu'une fonction qui converge uniformément sur tout compact deI ne converge pas forcément uniformément sur I
Proposition 8.1.23 Dans le cas de fonctions dénies surX ⊂R, la convergence uniforme sur tout compact équivaut à la convergence uniforme sur tout segment inclus dansX.
Car ...
Exemple 8.1.24 Soit fn:
([0,+∞[ →R
x →xexn (n∈N∗).
Déterminer la limite simple de la suite(fn)n.
Montrer que la suite(fn)n ne converge pas uniformément sur [0,+∞[.
Montrer que cette suite de fonctions converge uniformément sur tout compact de R+. Exemple 8.1.25 Soitfn:
(]0,+∞[ →R
x →x
n
nx (n∈N∗) Déterminer la limite simple de la suite(fn)n.
Montrer que la suite(fn)n ne converge pas uniformément sur ]0,+∞[.
Montrer que cette suite de fonctions converge uniformément sur tout compact de]0,+∞[.
8.1.4 Opérations et convergence uniforme
Théorème 8.1.26 .
(fn)n converge uniformément versf sur X (gn)n converge uniformément vers g surX
, α, β∈K=⇒
(αfn+βgn)n converge uniformément vers αf+βg sur X
car ...
MAIS (fn)n converge uniformément versf surX (gn)n converge uniformément vers gsurX
;
(fngn)n converge uniformément versf gsurX
8.2. CONTINUITÉ, DOUBLE LIMITE, INTÉGRALE SUR UN SEGMENT 111