=⇒f(A)connexe par arcs.
car ...
Conséquence 6.5.14 A connexe par arcs f :A→Rcontinue
=⇒f(A)intervalle deR.
carf(A)connexe par arcs de Rdonc intervalle.
Conséquence 6.5.15 . A connexe par arcs f :A→Rcontinue
a, b∈A
=⇒ ∀m entref(a)etf(b),∃c∈A tel quef(c) =m. Car ...
Exemple 6.5.16 1. GLn(R)n'est pas connexe par arcs. En eet, l'applicationdet:GLn(R)→ R∗ est continue et surjective, mais son image n'est pas connexe par arcs. Donc l'ensemble de départ n'est pas connexe par arcs.
2. SO2(R) =
cosx −sinx sinx cosx
/x∈R
est connexe par arcs. Dire pourquoi.
6.6 Cas des espaces vectoriels de dimension nie
6.6.1 Le théorème de Bolzano-Weierstrass
Théorème 6.6.1 Rappel :E un evn de dimension nie. Alors toute suite bornée de E possède une valeur d'adhérence.
6.6.2 Des conséquences
Théorème 6.6.2 Une partie d'un evn de dimension nie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
Un sens a déjà été prouvé. dire lequel.
Montrons l'autre sens ...
Conséquence 6.6.3 Une suite bornée d'un evn de dimension nie converge si et seulement si elle a une unique valeur d'adhérence.
Car ...
6.6.3 Sev de dimension nie
Théorème 6.6.4 E un evn etF un sev de E de dimension nie. Alors F est fermé.
Car ...
6.6. CAS DES ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 91
6.6.4 Continuité
Théorème 6.6.5 E espace vectoriel de dimension nie etF un espace vectoriel (non nécessai-rement de dimension nie)
f ∈ L(E, F) =⇒f continue surE
i.e. toute application linéaire de E de dimension nie vers F est continue.
Car ...
Conséquence 6.6.6 dim(E)<+∞=⇒Lc(E, F) =L(E, F)
Exemple 6.6.7 1. On munit R[X] de la norme kPk = Sup{|P(x)|/x∈[0,1]}. Soit D : (R[X] →R[X]
P →P0 . En considérant les polynômes Pn = Xn/n montrer que D n'est pas continue.
2. Montrer que la dérivation est continue surRn[X]
Théorème 6.6.8 E1, ..., Ep des evn de dimension nie, etF un evn.
f :E1×...×Ep→F application p-linéaire, alors f est continue Car ...
Exemple 6.6.9 1. On redémontre ainsi que l'application déterminant est continue sur En. 2. On redémontre aussi que l'application
(Mn,p(K)× Mp,q(K) → Mn,q(K)
(A, B) →AB est continue
surMn,p(K)× Mp,q(K)
Chapitre 7
Fonctions vectorielles
Contents
7.1 Dérivation . . . 93 7.2 Intégration sur un segment . . . 98 7.3 Taylor . . . 102 7.4 Arcs paramétrés de classe C1 . . . 105
Dans tout ce chapitreI est un intervalle deR, F est un evn surKde dimension nie, et les fonctions sont des fonctions deI dansF.
7.1 Dérivation
7.1.1 Dérivée en un point
Dénition 7.1.1 Soit a ∈ I. On dira que f est dérivable en a si et seulement si la fonctiont→ f(t)−f(a)
t−a a une limite dansF quandttend versa(par valeurs diérentes).
Cette limite, si elle existe est appelée nombre dérivé de f ena, notéf0(a). sif est dérivable en a, alors f0(a) = lim
t→a
f(t)−f(a) t−a
Lorsque a∈I◦, on dira quef est dérivable à droite (resp à gauche) ena si et seulement sit→ f(t)−f(a)
t−a a une limite dans F quandt tend vers apar valeurs supérieures (resp par valeurs inférieures). Cette limite, si elle existe est appelée dérivée def à droite (resp à gauche) enaet se note fd0(a)(resp fg0(a)) .
Sif est dérivable à droite ena, alors fd0(a) = lim
t→a,t>a
f(t)−f(a) t−a Remarque 7.1.2 Bien comprendre que dans f(t)−f(a)
t−a , le numérateur f(t)−f(a) est un vecteur, alors quet−aest un réel. Il s'agit d'une multiplication scalaire : 1
t−a.(f(t)−f(a)) 93
Remarque 7.1.3 On ne parle pas de dérivée à droite (ou à gauche) lorsquea est borne deI.
Remarque 7.1.4 Lorsquea∈I◦,f dérivable en a ⇐⇒
f dérivable à droite ena f dérivable à gauche en a
fd0(a) =fg0(a) Proposition 7.1.5 .
f dérivable en ade dérivée ` ⇐⇒ ∀t∈I, f(t) =f(a) + (t−a)`+ (t−a)ε(t−a)et lim
0 ε= 0 (ε:J →F)
⇐⇒ ∀htq a+h∈I, f(a+h) =f(a) +h`+hε(h) et lim
0 ε= 0
⇐⇒ ∀htqa+h∈I, f(a+h) =f(a) +h`+o0(h) (iciε:J →F oùJ est l'intervalleI translaté de−a. )
car ...
Remarque 7.1.6 Si f vérie∀t ∈I, f(t) =f(a) + (t−a)`+ (t−a)ε(t−a)et lim
0 ε= 0, on dit quef est diérentiable ena.
Ainsi, pourf dénie sur un intervalleI,f dérivable en a ⇐⇒ f diérentiable en a. Conséquence 7.1.7 f dérivable en a=⇒f continue ena.
Remarque 7.1.8 Donner un exemple montrant que la réciproque est fausse, i.e. une fonction continue en un point mais non dérivable en ce point.
Exemple 7.1.9 Montrer que la fonction t → tsin(1/t) est prolongeable par continuité en 0, mais que la fonction ainsi prolongée n'est pas dérivable en 0, et n'a ni dérivée à droite en 0 ni dérivée à gauche en 0.
Interprétation géométrique : Supposons f continue au voisinage de a et dérivable en a. Pour t6=a, sif(t)6=f(a), le vecteur f(t)−f(a)
t−a est un vecteur directeur de la droiteDtpassant pas les pointsf(t)et f(a).
Sif0(a)6= 0, alors la droite∆a=f(a) +V ect(f0(a))est position limite des droitesDt quandt tend versa. On dit que∆a est la tangente à l'arc paramétré part→f(t)au point de paramètre a.
Théorème 7.1.10 Soit (e1, ..., en) une base deF. On peut écrire f =
n
X
k=1
fkek où les fk sont les fonctions coordonnées def,fk :I→K.
f dérivable ena ⇐⇒ lesfk sont dérivables ena, et alorsf0(a) =
n
X
k=1
fk0(a)ek
car ...
7.1. DÉRIVATION 95 Exemple 7.1.11 Une fonction à valeurs dans C est dérivable en a si et seulement sa
partie réelle et sa partie imaginaire le sont.
Soit f :t→
a(t) b(t) c(t) d(t)
oùa, b, c, d:I→K.f est dérivable ent0 ⇐⇒ a, b, c, d sont dérivables en t0 et alorsf0(t0) =
a0(t0) b0(t0) c0(t0) d0(t0)
7.1.2 Fonction dérivée
Dénition 7.1.12 Si f est dérivable en tout point de I, on dénit sur I sa fonction dérivée par :t→f0(t)
Par récurrence on peut dénir, si elles existent, les dérivées successives def :f0, f(2), f(3) etc.
Notation 7.1.13 On noteraD(I, F)l'ensemble des fonction dérivables surI, etDk(I, F) l'en-semble des fonctions kfois dérivables surI.
Proposition 7.1.14 Soit(e1, ..., en)une base deF. On peut écrire f =
n
X
k=1
fkek où lesfk sont les fonctions coordonnées def,fk:I→K.
f dérivable sur I ⇐⇒ lesfk sont dérivables surI et alorsf0 =
n
X
k=1
fk0ek
C'est le théorème 7.1.10
Théorème 7.1.15 Soitf :I→F dérivable surI.
f est constante sur I ⇐⇒ f0 = 0sur I i.e.
∃C∈F, ∀x∈I, f(x) =C ⇐⇒ f0 = 0 Car ...
Insistons sur le fait que ce théorème est vrai si Iest un intervalle Exemple 7.1.16 Soit f : R∗ →R dénie par f : t →
(1 sit >0
−1 sit <0 . f n'est pas constante sur R∗ mais pourtant∀t∈R∗, f0(t) = 0.
7.1.3 Opérations sur les fonctions dérivables
Théorème 7.1.17 Linéarité
f, g dérivables ena.∀λ, µ∈K, λf+µg est dérivable en aet(λf+µg)0(a) =λf0(a) +µg0(a) En d'autres termes, l'ensembleDa(I, F)des fonctions dérivables enaest un espace vectoriel, et l'application
(Da(I, F) → F(I, F)
f →f0(a) est linéaire.
Car ... (revenir à la diérentiabilité)
Conséquence 7.1.18 D(I, F)est un espace vectoriel et l'application
(D(I, F) → F(I, F)
f →f0 est
linéaire.
Théorème 7.1.19 Dérivation du produit d'une fonction vectorielle par une fonction numérique
Soitf :I →F et ϕ:I →Kdeux fonctions dérivables en a∈I. Alors la fonction ϕf :I→F est dérivable ena et(ϕf)0(a) =ϕ0(a)f(a) +ϕ(a)f0(a)
Revenir à la diérentiabilité.
Théorème 7.1.20 Soitf :I→F,u∈ L(F, G),a∈I.
f dérivable ena=⇒u◦f dérivable ena et(u◦f)0(a) =u◦f0(a). Car ... (encore la diérentiabilité)
Exemple 7.1.21 f :
(R →R2
t →(t2, t3) et u:
(R2 →R2
(x, y) →(x+y,2x−4y). Exprimer u◦f et vé-rier que(u◦f)0(1) =u◦f0(1).
Théorème 7.1.22 Composition d'une fonction numérique à valeurs dansR avec une fonction vectorielle.
Soitϕ:I→Rdérivable ena∈I.
Soitf :J →F dérivable enϕ(a), avec J intervalle etϕ(I)⊂J. Alorsf◦ϕest dérivable en aet(f◦ϕ)0(a) =ϕ0(a)f0(ϕ(a))
Remarquons que dans ϕ0(a)f0(ϕ(a)), ϕ0(a) est un réel et f0(ϕ(a)) est un vecteur de F, cette multiplication est donc une multiplication scalaire.
Démonstration : ...
Théorème 7.1.23 Dérivation d'une forme bilinéaire de fonctions.
SoitΦ :F×F →Gune application bilinéaire (F de dimension nie, donc Φest continue) Soitf, g:I→F dérivables ena∈I.
alors H:
(I →G
t →Φ(f(t), g(t)) est dérivable ena etH0(a) = Φ(f0(a), g(a)) + Φ(f(a), g0(a)). Car ...
Remarque 7.1.24 Plaçons nous dans le cas oùF =R. soit Φ : (x, y)→xy.Φest bilinéaire.
Alors pourf etg fonctions de I dansR dérivables en a, on retrouve le théorème sur la dérivée def g ena. Le vérier.
Application 7.1.25 Si F est un espace préhilbertien muni d'un produit scalaire noté < ., . >
(bilinéaire).
Alors pour f etg dérivables en a, l'application t→< f(t), g(t)>est dérivable en a de dérivée ena :< f0(a), g(a)>+< f(a), g0(a)>.
Pourf et g dérivables surI,< f, g >0=< f0, g >+< f, g0>
Conséquence 7.1.26 Soit F est un espace préhilbertien et f : I → F dérivable sur I, alors l'applicationkfk2 est dérivable surI et(kfk2)0 = 2< f, f0>.
Par exemple, soit e : I → F dérivable sur I et telle que ∀t ∈ I, ke(t)k = 1. Montrer que
∀t∈I, e(t)⊥e0(t).
Théorème 7.1.27 Généralisation aux applications n-linéaires.
SoitΦ :Fn→Gune application n−linéaire.
Soit(fk)k∈
J1,nK tq∀k∈J1, nK, fk :I→F est dérivable en a(a∈I). AlorsH= Φ(f1, ..., fn)est dérivable en aet
H0(a) = Φ(f10(a), f2(a), ..., fn(a)) + Φ(f1(a), f20(a), ..., fn(a)) +...+ Φ(f1(a), ..., fn−1(a), fn0(a))
7.1. DÉRIVATION 97 Car ...
Conséquence 7.1.28 Dérivation d'un déterminant : SoitA:
Par exemple la fonctionf :
! a pour fonction dérivée :
t →
ce qu'on peut aisément vérier en explicitant l'expression def
7.1.3.1 Cas des fonctions numériques : 2 rappels
Théorème 7.1.29 • Soitf :I→K,a∈I tel quef(a)6= 0. On suppose f dérivable en a.
f est dérivable surI et 1
f 0
=−f0 f2 Pour la preuve, voir le cours de Mpsi.
Théorème 7.1.30 Soit f :I →J =f(I)continue, strictement monotone (donc bijective de I sur J).
7.1.4 Fonctions de classe C
kDénition 7.1.31 Soitf :I→F etk∈N∗. continues surI car dérivables sur I.
Remarque 7.1.33 Pour montrer que f estC∞ sur I il sut de montrer quef est dérivable à tout ordre surI.
Conséquence 7.1.34 .
C∞(I, F)⊂...⊂Ck+1(I, F)⊂Ck(I, F)⊂...⊂C1(I, F)⊂C0(I, F) =C(I, F)
7.1.4.1 AlgèbreCn(I,K)
Théorème 7.1.35 Formule de Leibniz
ϕ∈Cn(I,K), f∈Cn(I, F) =⇒ϕf ∈Cn(I, F)et (ϕf)(n)=
n
X
k=0
n k
ϕ(k)f(n−k)=
n
X
k=0
n k
ϕ(n−k)f(k)
Il faut être capable de redémontrer ce théorème (par récurrence).
Conséquence 7.1.36 Cn(I,K)est une algèbre.
car ...
Exemple 7.1.37 Donner la dérivéenième det→(t3−7t2)e−2t 7.1.4.2 Composition de fonctions de classe Cn
Théorème 7.1.38 I etJ deux intervalles deRet n∈N∗.
Soitϕ:I→J de classeCn surI et soit f :J →F de classeCn sur J. Alorsf◦ϕest de classe Cn sur I.
Là encore, par récurrence : ...
Remarque 7.1.39 Il n'y a pas de formule simple donnant l'expression de(f◦ϕ)(n)en fonction des dérivées def et deϕ.
Théorème 7.1.40 La fonctionϕ:
R∗ →R∗
x → 1
x
est de classeC∞ et
∀x6= 0, 1
x (n)
= (−1)n n!
xn+1 (notation abusive)