Subnivel Inter A

Al igual que como se realizó el análisis y caracterización del subnivel Inter B determinado por el clúster. En los siguientes párrafos se desarrolla la misma estructura de análisis para perfilar la caracterización del subnivel de desarrollo Inter A.

Se comienza con el análisis descriptivo del subnivel Inter A en términos de las frecuencias de uso correcto e incorrecto de cada una de las variables, las cuales pueden observarse en la Figura 45.

Figura 45. Frecuencias porcentuales de uso correcto e incorrecto de las variables para el subnivel de desarrollo Inter A

En la Figura 45 se observa que entre las características más importantes de este subnivel de desarrollo se encuentra el uso incorrecto o la no utilización de tres variables V3, V20 y V27. En donde V3 está asociada con la consideración de la derivada como función, V20 con el

entre la primera y segunda derivada. Asimismo, se observa que los estudiantes pertenecien-tes a este subnivel, en general, no presentan dificultades en la determinación de valores ex-tremos y puntos de inflexión (V5, V6, V7, V8, V9 y V10). Específicamente, no tienen dificul-tades para determinar correctamente un máximo local a partir de información geométrica (V5) y tampoco para determinarlo a partir de información analítica (V6), y lo mismo ocurre para el caso de la determinación correcta de un mínimo local (V7 y V8) y para el caso de establecimiento de la existencia de un punto de inflexión (V9 y V10). Igualmente, la Figura 45 muestra que los estudiantes de este subnivel establecen relaciones, tanto directas como contrarias, entre la monotonía de la función y el signo de la primera derivada (V11, V13, V15

y V17), del mismo modo que lo hacían los estudiantes del subnivel de desarrollo Inter B, es decir, que establecen relaciones entre el signo de la primera derivada ( f ' 0 f estricta-mente creciente y f ' 0 f estrictamente decreciente) y, asimismo, establecen relaciones entre el signo de la segunda derivada y la curvatura de la función ( f'' 0 f es convexa y

'' 0

f   f es cóncava). Además, se observa que tienen dificultades para relacionar la mo-notonía de la función con el signo de la primera derivada, es decir, que tienen porcentajes bajos de uso correcto en las variables V12 y V14 ( f estrictamente creciente  f '0 y f estrictamente decreciente  f '0), y lo mismo ocurre con las variables que conectan la curvatura de la función con el signo de la segunda derivada, que corresponden a las variables V16 y V18 ( f es convexa f ''0 y f es cóncava f ''0).

Figura 46. Árbol de similitud Inter A

de uso correcto de algunas de las variables, al igual que el caso del subnivel de desarrollo Inter B, se llevó a cabo un análisis de similitud general (ver Figura 46) para observar el agrupamiento natural de las variables.

El árbol de similitud Inter A determina la existencia de cuatro grupos de variables.

 Grupo IA1. Este grupo presentan tres conexiones significativas de similitud. Ade-más, en él se observan algunas variables asociadas a la determinación de valores extremos (V7 y V8). Específicamente, se encuentra la variable que indica la determi-nación correcta de un mínimo local a partir de información geométrica (V7) y la va-riable asociada a la determinación de este, a partir de información analítica (V8). Es importante recordar que el uso correcto de la variable V8 se infirió a partir del uso correcto de la variable V7. Igualmente, al interior de este grupo se conectan las va-riables asociadas con la interpretación de la información analítica para determinar intervalos (V24) y capacidad para esbozar una gráfica a partir de esta información (V26). Asimismo, se observa la variable asociada al uso de derivadas laterales (V19) y la variable relacionada con la relación contrarrecíproca entre derivabilidad y con-tinuidad (V22).

 Grupo IA2. En este grupo se destaca que existen dos conexiones de similitud alta-mente significativas. Además, en el grupo se encuentran las variables que relacionan la monotonía de la función con el signo de la primera derivada, es decir, las variables V12 y V14 ( f estrictamente creciente  f '0 y f estrictamente decreciente

' 0

 f  ). Asimismo, también están las variables que conectan la curvatura de una función en un intervalo con el signo de la segunda derivada en dicho intervalo, es decir, las variables V16 y V18 ( f es convexa f ''0 y f es cóncava f ''0 ). También, al interior de grupo de similitud se encuentran las variables que indican la capacidad de interpretar la información gráfica para determinar intervalos (V23) y esbozar una función a partir de esta información (V25).

 Grupo IA3. Este grupo presenta dos conexiones de similitud significativas, pero en niveles demasiado altos. Además, se puede mencionar que aquí se agrupan las varia-bles relacionadas con el establecimiento de vínculos entre el signo de la primera de-rivada y la monotonía de la función en ambos sentidos. Específicamente, se encuen-tran las variables que asocian el signo de la primera derivada con la monotonía de la

' 0

f   f estrictamente decreciente). Asimismo, se observan las variables que aso-cian la monotonía de la función en un intervalo con el signo de la primera derivada en dicho intervalos, es decir, las variables V15 y V17 ( f estrictamente creciente

' 0

 f  y f estrictamente decreciente  f '0).

 Grupo IA4. Este grupo está conformado por las variables que fueron incorrectamente usadas, o bien, no fueron utilizadas por los estudiantes.

Para establecer el orden entre las relaciones de subordinación de las variables e identifi-car la estructura general de los datos se construyó un grafo implicativo general (ver Fi-gura 47).

Figura 47. Grafo implicativo completo al 85 % para el subnivel de desarrollo Inter A El grafo asociado a este subnivel de desarrollo presenta cuatro niveles de implicación. Sin embargo, las variables más importantes son la V26 que se relaciona con la capacidad de es-bozar una gráfica a partir de la información analítica proporciona y la variable V2 que implica la comprensión de la derivada como límite del cociente incremental. Estas dos variables indican dominio de modo de representación analítico y desde ellas se originan tres cadenas de implicaciones respectivamente. Además, también tienen un papel importante las variables V4, V25 y V16, pues de cada una de ellas nacen dos cadenas de implicaciones. En particular, la variable V4 está asociada a uso de la derivada como operador, la variable V25 se relaciona con la capacidad de esbozar correctamente una gráfica a partir de información analítica y la variable, por su parte la variable V16 vincula la convexidad de la función en un intervalo con el signo de la segunda derivada en él.

asociada al uso de la relación contrarrecíproca entre continuidad y derivabilidad. Esta varia-ble genera tres cadenas de implicaciones.

Con el objeto de identificar mejor la importancia de las variables y su influencia en la es-tructura subyacente que caracteriza a este subnivel de desarrollo, se construyeron diagramas implicativos parciales (ver Figura 48) para los grupos IA1, IA2 e IA3.

Figura 48. Grafos implicativos parciales para los grupos de similitud IA1, IA2 e IA3 del subnivel de desarrollo Inter A

A partir de los grafos implicativos de la Figura 48, se puede indicar que las variables más importantes y que configuran la estructura subyacente del subnivel de desarrollo Inter A son:

 la variable V26 que indica la capacidad de esbozar correctamente una gráfica a partir de la información analítica.

 la variable V22 que implica el establecimiento de la relación contrarrecíproca entre la continuidad y la derivabilidad.

 la variable V25 que indica la capacidad de esbozar correctamente una gráfica a partir de la información gráfica.

 la variable V16 que implica el uso correcto de la relación entre la convexidad de una función y el signo positivo de la segunda derivada.

Con relación al grafo implicativo parcial del grupo IA3, se puede mencionar que la variable V2, asociada a la comprensión analítica puntual de la derivada, es la más importante. Sin

otras solo alcanza el 60 %.

Para finalizar el análisis del subnivel Inter A de desarrollo en la Tabla 19 se presenta un resumen con las principales características y variables subyacentes a este subnivel de desa-rrollo.

Tabla 19. Características y variables subyacentes del subnivel de desarrollo Inter A Subnivel Inter A

Características principales Variables subyacentes a su estructura Pueden construir coordinaciones entre

proce-sos globales y puntuales. Esto le permite de-terminar casi sin dificultades valores extre-mos y puntos de inflexión.

Presentan dificultades en la construcción de la reversión de la coordinación de procesos que asocian la monotonía y curvatura de la fun-ción con el signo de la primera y la segunda derivada.

Tienen dificultades con el tratamiento de los puntos conflictivos y no consideran a la deri-vada como función.

Tienen dificultades para utilizar correcta-mente la relación entre derivabilidad y conti-nuidad (directa y contrarrecíproca).

Tienen algunas dificultades para esbozar co-rrectamente una función a partir de la infor-mación gráfica proporcionada. Lo cual se debe a que no construyen correctamente las reversiones de los procesos globales que rela-cionan la información gráfica con la analítica.

No establecen relaciones entre la primera y segunda derivada.

No ha logrado la síntesis de los modos de re-presentación.

La variable V26 asociada la habilidad para es-bozar correctamente la gráfica de una función a partir de la información analítica proporcio-nada.

La variable V22 asociada al uso correcto de la relación contrarrecíproca entre derivabilidad y continuidad.

La variable V25 asociada la habilidad para es-bozar correctamente la gráfica de una función a partir de la información gráfica proporcio-nada.

La variable V16 asociada a la relación entre la convexidad de una función en un intervalo y el signo de la segunda derivada de la función en dicho intervalo.