Newton y Leibniz: el descubrimiento del Cálculo

Según Whiteside (1960) es bien conocido que Newton y Leibniz son considerados como los creadores del Cálculo. Sin embargo, este autor plantea que ello es una excesiva simplifica-ción de los hechos, pues el Cálculo es el producto de una larga evolusimplifica-ción de ideas en la cual, ciertamente, estos dos personajes desempeñaron un papel decisivo.

Newton y Leibniz, en realidad consideraron las ideas y los métodos ya existentes para el cálculo de tangentes, extremos y áreas, incorporándolos dentro de dos conceptos más gene-rales, conceptos que actualmente conocemos como la derivada y la integral. Asimismo, es-tablecieron una notación que haría más sencillo, o casi automático, el uso de estos conceptos generales (Grabiner, 1983).

De la misma forma que Fermat y Barrow, Newton comienza con la consideración de ele-mentos infinitesimales, pero rápidamente se encamina hacia una concepción geométrico-mecánica. Basándose en la idea intuitiva del movimiento continuo, introdujo los conceptos de fluente, como cantidad que varía respecto al tiempo, denotando a estos fluentes con las últimas letras del alfabeto (v, x, y y z), y de fluxión como razón de cambio instantánea respecto al tiempo, denotando a estas fluxiones con las letras coronadas 𝑣̇, 𝑥̇, 𝑦̇y𝑧̇ (Collette, 1993). Asimismo, Newton denomina “momento del fluente” a la cantidad infinitamente pe-queña en la que varía cualquier fluente x, la cual denotó por 𝑥̇o. Según Collette (1993) Newton describe su método de la siguiente forma:

Ya que los momentos como 𝑥̇o y 𝑦̇o, son las anexiones o aumentos infinitamente pequeños de las cantidades fluentes x e y durante los intervalos de tiempo infinitamente pequeños, se sigue que estas cantidades x e y, después de un intervalo de tiempo infinitamente pequeño, se convierten en 𝑥 + 𝑥̇o e 𝑦 + 𝑦̇o. De ese modo, se puede sustituir en la misma ecuación 𝑥 + 𝑥̇o e 𝑦 + 𝑦̇o en lugar de x e y. (p.110)

Según Bos (1984) para clarificar estos aspectos, en 1671 Newton presenta un ejemplo ba-sándose en la ecuación x³ax²axyy³ 0 él sustituye por los incrementos respectivos y obtiene que:

3 2 3

(xxo) a x( xo) a x( xo y)( yo) ( y yo) 0

Desarrollando los binomios y realizando las cancelaciones correspondientes, dividendo por o y finalmente despreciando los términos en los que está presente el factor o, llega a la ex-presión 3xx²2axx axy axy  3yy² 0, de donde obtiene el cociente de fluxiones:

Esta expresión en nuestros días corresponde al cociente de las derivadas parciales de la fun-ción de dos variables f x y( , ) x³ ax²axyy³. Lo que implica el cálculo de la derivada tanto para el fluente x como para el fluente y.

Con base en estas definiciones de fluente y fluxión, el interés principal de Newton se enfocó en estudiar las relaciones entre ellos, es decir, el cálculo de las fluxiones a partir de los fluen-tes que correspondía al Cálculo Diferencial, la obtención de los fluenfluen-tes a partir de las flu-xiones que correspondía al Cálculo Integral y la resolución de las ecuaciones diferenciales, o ecuaciones fluxionales en su terminología. De esta forma, Newton fue el primero en usar sistemáticamente los resultados de la diferenciación para obtener antiderivadas, evaluar in-tegrales y resolver ecuaciones diferenciales (Kleiner, 2001). Esto se debe a que Newton se había percatado de las relaciones entre los conceptos de fluentes y fluxiones. Además, desa-rrolló un proceso en el que se podía ver la conexión entre la cuadratura de una curva y su ordenada (Edwards, 1979).

Por otra parte, al abordar los problemas sobre valores extremos, Newton llegó a la conclusión de que la derivada (fluxión) es nula en dicho punto. Aquí se dio cuenta de que no siempre la variable va a ser el tiempo, cosa que comenta “el tiempo se puede sustituir por otra variable (fluente) que fluya con continuidad”. Asimismo, Newton además de desarrollar métodos de derivación e integración, en particular, la regla de la cadena y el método de sustitución, tam-bién trabajó sobre la propiedad de linealidad y construyó tablas de derivadas e integrales. Es importante señalar que todos los métodos y resultados establecidos por Newton son solo para funciones continuas, pues para él todas las funciones eran continuas, ya que correspondían

a trayectorias de movimientos continuos, que era el concepto que en su tiempo se tenía de continuidad (Muñoz-Legana y Román-Roy, 1999).

A diferencia de Newton, el Cálculo de Leibniz tiene un carácter más simbólico y analítico, siendo las diferencias infinitesimales y la suma de elementos infinitamente pequeños, las bases de su Cálculo Diferencial e Integral respectivamente (González, 1992). Como señala Collette (1993), la finalidad de Leibniz era elaborar un método eficaz mediante el cual, sin recurrir a diagramas, se pudiera establecer ciertas propiedades de las curvas por medio del cálculo de las diferencias.

Según Kleiner (2001), Leibniz consideraba que una curva correspondía a un polígono con infinitos lados, cada uno de longitud infinitesimal. Por tanto, para él cada curva estaba defi-nida por una secuencia infinita (discreta) de abscisas x₁, x₂, x₃,..., y una secuencia infinita de ordenadas y₁, y₂, y₃,..., donde ( ,x y_{i i}) son las coordenadas de los puntos que la con-formaban. A la diferencia entre dos valores sucesivos de x, la denominó diferencial de x y la denotó por dx; análogamente definió el diferencial de y como dy. Para Leibniz el dife-rencial dx es una cantidad fija no nula, pero infinitamente pequeña en comparación con x, es decir, que es un infinitesimal y lo mismo para dy.

Con base en los diferenciales dx y dy, Leibniz indica que cualquier curva está constituida por los lados dsdel polígono, en donde dstambién es un infinitesimal que corresponde a la hipotenusa del famoso y característico triángulo diferencial de Leibniz con lados infinitesi-males dx, dy y ds, los cuales satisfacen la relación (ds)² (dx)²(dy)² (ver Figura 4). El lado ds de la curva (polígono) se toma como coincidente en el caso de la recta tangente a la curva (en el punto x). En este sentido, según Kitcher (1983) Leibniz puntualiza que:

Figura 4. Triángulo diferencial de Leibniz

Sólo tenemos que tener en cuenta que encontrar una tangente significa trazar una línea que conecta dos puntos de la curva a una distancia infinitamente pequeña, o el lado continuo de un polígono con un número infinito de ángulos, lo que para nosotros toma el lugar de la curva. Esta distancia infinitamente pequeña siempre puede expresarse por un diferencial conocida como ds. (p. 234-235)

A partir de aquí la pendiente de la tangente a la curva en el punto ( , )x y , es entonces ^dy dx, al cual que Leibniz denominó cociente diferencial (Kleiner, 2001).

Leibniz trató durante algún tiempo encontrar las reglas correctas para diferenciales de pro-ductos y cocientes. Cuando las encontró, las “demostraciones” eran fáciles. Por ejemplo para el diferencial del producto establece que:

( ) ( )( )

d xy  xdx ydy xyxy x dy y dxdx dy xy x dy y dx

En este desarrollo Leibniz omite el producto dx dy , pues hace notar que es “infinitamente pequeño en comparación con el resto” (Edwards, 1979, p.225). De esta forma, Leibniz con-sigue encontrar un lenguaje universal mediante el cual, por medio de sencillas manipulacio-nes, se obtienen fórmulas que resultan ser las verdaderas. Este es quizás, su mayor contribu-ción al Cálculo, pues su lenguaje aún es utilizado (Muñoz-Legana y Román-Roy, 1999). En este mismo sentido Edwards expresa lo siguiente:

El Cálculo Infinitesimal de Leibniz es el ejemplo supremo en toda la ciencia y las matemáticas, de un sistema de notación y terminología tan perfectamente acoplado con su sujeto en cuanto que reflejan fielmente las operaciones básicas lógicas y los procesos de aquel sujeto. (p. 232)

Según Gordillo y Pino-Fan (2016) Leibniz abordó situaciones problemáticas sobre valores extremos, tangentes y puntos de inflexión. Clara muestra de ello se observa en su obra titu-lada “Nova methodus pro maximis et minimis, intemque tangetibus, qua nec irrationales quantitates moratur”, en la cual se observa por primera vez el uso de la expresión “Cálculo Diferencial” y proporciona las fórmulas de derivación para: productos, cocientes, potencias y raíces, todas ellas acompañadas de aplicaciones geométricas tales como la búsqueda de tangentes, máximos y mínimos, y de los puntos de inflexión.

Tanto Newton como Leibniz lograron un avance sustantivo en el de generalización y siste-matización, obteniendo métodos muy potentes para solucionar gran parte de los problemas planteados por sus antecesores. A pesar de ello, sus trabajos fueron fuertemente criticados por falta de rigor. Tanto Newton como Leibniz eran conscientes de los problemas de rigor

en sus trabajos e intentaron dar una fundamentación rigurosa de sus métodos, pero recono-cieron que la fuerza de sus trabajos en Cálculo no era su capacidad de dar respaldo lógico a sus procedimientos y algoritmos (Kleiner, 2001). En este sentido, Newton afirmó que su método de fluxiones estaba “brevemente explicado y escasamente demostrado” (Edwards, 1972, p.201). Por su parte, Leibniz sostuvo con respecto a la fundamentación de sus diferen-ciales que “basta con hacer uso de ellas como una herramienta que tiene ventajas para el Cálculo, del mismo modo que los algebristas conservan raíces imaginarias con gran benefi-cio” (Edwards, 1972, p.265). En relación con ello Kitcher (1981) hace una interesante ob-servación:

Hemos encontrado una situación en la cual una demanda por el rigor emerge de manera legítima.

[…] muestra que cierto tipo de razonamiento nos lleva a conclusiones verdaderas, sin embargo, cuando intentamos encontrar un argumento riguroso que nos muestre por qué el razonamiento nos lleva a conclusiones verdaderas, fallamos. [...] Newton y Leibniz desarrollaron una técnica para la solución de problemas. La técnica fue racionalmente aceptada porque los resultados que generaba eran bien confirmados, y porque prometía sistematización de los resultados. Pero una demanda de rigor era razonable debido a las dificultades de comprensión del por qué la técnica era exitosa. (p. 479)

1.1.4. La conceptualización y el rigor: hacia la definición del concepto de