La edad media y la idea del movimiento

Durante más de una decena de siglos no se realizaron mayores contribuciones en el desarro-llo específico del concepto de derivada, ni a otras nociones relacionas con el Cálculo. Sin embargo, en la edad media se realizaron importantes avances relacionados con el tratamiento de problemas que involucran la comprensión de una variedad de fenómenos: físicos, astro-nómicos y/o geométricos, que fueron abordados por medio del desarrollo de diversos méto-dos que involucraban el estudio de cantidades pequeñas o infinitesimales.

Muñoz-Legana y Román-Roy (1999) señalan que la situación a mediados del siglo XVII era aproximadamente la siguiente:

Además de tener readquiridos los resultados y métodos de la matemática griega, el desarrollo de la geometría analítica (el método de las coordenadas) había permitido plantear y resolver algunos problemas relacionados con curvas, de las cuales se conocían muchos tipos. Por otra parte, la física proporcionaba un punto de vista cinemático: una curva podía interpretarse como la trayec-toria de un punto material móvil. Varios tipos de problemas se planteaban sobre las curvas. Aun-que la clasificación existente en aAun-quel momento era más amplia (pues se utilizaba un método apropiado para cada problema), se va a simplificar utilizando el punto de vista, e incluso el len-guaje, actuales. (p.4)

En este periodo, los aportes de Galileo, Kepler, Cavalieri, Barrow, Fermat, entre otros, fue-ron fundamentales y permitiefue-ron trazar la ruta que permitió avanzar en el desarrollo del con-cepto de derivada en épocas posteriores.

En los siguientes párrafos, se exponen de manera general y cronológica, algunos de los apor-tes desarrollados por los matemáticos anapor-tes mencionados.

A Kepler (1571-1630), se le conoce por el método denominado como “Los Infinitésimos”.

Este método se utilizó para resolver problemas que involucran el cálculo de volúmenes y áreas. El procedimiento empleado por Kepler partía de la premisa que todos los cuerpos se podrían descomponer en infinitas partes, infinitamente pequeñas (indivisibles) de áreas o de otros volúmenes ya conocidos. Así determinó el volumen de más de noventa cuerpos

dife-rentes (Muñoz-Legana y Román-Roy, 1999). Posteriormente, Galileo (1564-1642) cons-truyó un método similar para mostrar que el área encerrada bajo la curva tiempo-velocidad es el espacio recorrido por el objeto.

Una herramienta (geométrica) importante para la investigación de problemas de cálculo co-rrespondió a la noción de un “indivisible”. Si bien los “indivisibles” fueron utilizados en el cálculo por Galileo y otros matemáticos a comienzos del siglo XVII, fue Cavalieri (1598-1647), quien era alumnos de Galileo, el que utilizó de manera sistemática estas técnicas in-finitesimales para resolver la tipología de problemas de la época y las plasmó en su obra

“Los Indivisibles” de 1635 (Kleiner, 2001). Su método consiste en considerar que una figura geométrica está compuesta de un número infinito de indivisibles de dimensión inferior. Así, una superficie consiste en un número infinito de líneas paralelas equidistantes, y un sólido, de un número infinito de planos paralelos igualmente espaciados.

El procedimiento de Cavalieri para encontrar el área (o el volumen) de una figura es compa-rarla con una segunda figura de igual altura (o anchura), cuya área (o volumen) es conocida, estableciendo una correspondencia uno a uno entre los elementos indivisibles de las dos fi-guras y utilizando el principio de que lleva su nombre, el cual indica que “Si los elementos indivisibles correspondientes están siempre en una proporción dada, entonces las áreas (o volúmenes) de las dos figuras están en la misma proporción” (Kleiner, 2001, p.140). El mé-todo propuesto por Cavalieri es de naturaleza dinámica y supone una ruptura con los proce-dimientos previos de los griegos y de Kepler. Asimismo, su postura puede resumirse en una frase que se le atribuye “el rigor es cosa de la filosofía, no de la geometría" (Kline, 1972, p.

383). Esto muestra que él estaba más interesado en los resultados prácticos de los cálculos que en la justificación de estos. Además, Cavalieri fue uno de los primeros en indicar que la tangente a una curva estaba definida por dos puntos sucesivos sobre la misma, como en un collar de perlas muy pequeñas, una al lado de otra (Ferrante, 2009). Esto supone que en el razonamiento de Cavalieri existe la idea intuitiva de la aproximación a la recta tangente por medio de las secantes.

Otro de los matemáticos destacados que realizaron contribuciones importantes al desarrollo del concepto de derivada es Pierre de Fermat (1601-1665). A él se le atribuye la invención de dos métodos conocidos como “Método de Fermat” para la determinación de valores ex-tremos y el “Método de las Tangentes”. Fermat ilustró su primer método con un problema simple y fácil de resolver, cuya solución era bien conocida: “dada una línea, dividirla en dos

partes, de tal forma que el producto de las partes sea máxima” (Grabiner, 1983, p. 195). Para resolver el problema consideró una línea de longitud B y un segmento de longitud A, sobre la primera parte de la línea, de modo que la longitud de la segunda parte fuese BA (ver Figura 3).

Figura 3. Ejemplo del Método de Fermat para valores extremos

De aquí se obtiene que el producto de los dos segmentos determinados sobre la línea de longitud B es:

( ) 2

A BA ABA

Se considera que Fermat conocía los escritos del matemático griego Pappus de Alejandría y sabía que el problema tiene, por lo general, dos soluciones deberá tener sola una solución para el caso específico de un máximo (Grabiner, 1983). Considerando este hecho Fermat fue capaz de desarrollar su método para determinar valores extremos, utilizando la idea de que la segunda solución se basaba en un incremento del primer segmento sobre la línea de lon-gitud B. Para determinar la solución, consideró que la primera parte de la línea tenía longitud

A E , entonces la segunda parte de la línea tendría longitud B(A E )  B A E. Mul-tiplicando las dos partes obtuvo que el producto era:

2 2

(A E B )(  A E) ABA 2AEBEE

Así, al considerar el principio de Pappus para el máximo, que indica que en lugar de dos soluciones, existe solo una. Estableció que ambas expresiones deben ser iguales, esto es a lo que Fermat denominó pseudo-igualdad (Grabiner, 1983):

2 2 2

2

AB A AB A  AE BE E 

Multiplicando y reduciendo Fermat simplifica la expresión obteniendo que 2A E B, ade-más, suprime el término E por lo que obtiene:

2 A B

Hay que observar que Fermat consideró que el término E debe suprimirse, sin embargo, no entrega ninguna justificación al respecto. Además, Fermat tampoco considera a este término como un infinitesimal, ni como un límite, él no explicó el porqué se podía dividir en primer lugar por E (considerando a E0) y entonces eliminarlo (como si fuera cero). Es más,

Fermat tampoco explicó explícitamente que usaba un caso especial de un concepto más ge-neral, que más tarde se convertiría en la derivada, la razón de cambio, o incluso la pendiente de la recta tangente. Asimismo, él no había comprendido la relación entre su método de extremos y la manera de calcular una tangente, que correspondía a su segundo método. En realidad, él siguió su tratamiento de extremos diciendo que el mismo método se podría uti-lizar para encontrar tangentes pues eran equivalentes (Grabiner, 1983).

Por otra parte, Descartes (1596-1650) afirma que el problema geométrico que más deseos tiene de solucionar es el trazado de tangentes. Su procedimiento se enmarca, más bien, en la geométrica estática de los griegos y consiste en trazar la circunferencia con centro en el corte de la normal a la curva (en el punto que se considere) con el eje de abscisas y que pase por el punto en cuestión. Todo esto con la condición de que la circunferencia no corte a la curva en ningún otro punto, de esta manera, se tiene como tangente a la curva, la de la circunfe-rencia en este punto. Este método es útil para curvas del tipo y f x( ), en donde y( ( ))f x ² es un polinomio sencillo. Tanto este método como el de Fermat fueron refinados con poste-rioridad (Muñoz-Legana y Román-Roy, 1999).

Las aportaciones realizadas por Fermat al desarrollo del Cálculo Diferencial a través de sus trabajos sobre valores extremos y tangentes, hacen que importantes matemáticos del siglo XVIII, tales como Laplace (1749-1827) y Lagrange (1736-1813), lo consideren como el ver-dadero inventor del Cálculo Diferencial. Incluso su influencia es tal que, el mismo Newton (1643.1727) menciona que algunas de sus primeras ideas sobre el trazado de tangentes a curvas y el estudio de valores extremos provenían directamente de los trabajos de Fermat (Durán, 1996).

Por otra parte, durante esta época histórica Barrow (1630-1677) realiza un importante aporte al desarrollo del concepto de derivada. Específicamente, utilizando un procedimiento aná-logo al que usó Fermat, Barrow desarrolla un método es conocido como “Método de Ba-rrow”, en el cual en lugar de realizar un incremento (E en el Método de Fermat) introduce dos incrementos en e y a, los cuales son equivalentes a los incrementos x y y que uti-lizamos actualmente (Boyer, 1999). A partir de estas observaciones se cree que Barrow in-tuye la idea de que la tangente es el límite de las secantes al aplicar el método de Fermat a curvas dadas en forma implícita f x y( , )0, pero esto no fue así, pues Barrow seguía con la idea griega de que la tangente era la recta que cortaba a la curva en un solo punto, sin

embargo, más tarde su discípulo Newton da solución a esta cuestión (Muñoz-Legana y Ro-mán-Roy, 1999).

Finalmente, Barrow señaló la relación entre los problemas de la tangente y del área, pero esto fue para casos específicos, el reconocimiento claro y explícito, en su generalidad com-pleta, de lo que ahora llamamos “Teorema Fundamental del Cálculo” pertenece a Newton y Leibniz (1646-1716) (Kleiner, 2001).