Z 1
0
d
dtgt∗ωdt,
= Z 1
0
gt∗(LXω)dt (d'après (3.1)),
= Z 1
0
gt∗(diXω)dt, (d'après théorème 18 et le fait que dω= 0)
= Z 1
0
dgt∗iXωdt, (car df∗ω =f∗dω).
On peut donc trouver une forme diérentielle λ telle que : ω=dλ, où λ=
Z 1
0
gt∗iXωdt.
4 Structure symplectique sur une variété
Soit M une variété diérentiable de dimension paire.
Dénition 24 Une structure symplectique (ou forme symplectique) surM est une2-forme diérentielleω fermée, i.e., dω= 0 et partout non dégénérée, i.e.,
∀p∈M, ∀ξ 6= 0, ∃η:ω(ξ, η)6= 0, (ξ, η ∈TpM). Le couple (M, ω) (ou simplement M) s'appelle variété symplectique.
Dès lors, en un point p ∈ M, on dispose d'une forme bilinéaire antisymé-trique non dégénérée sur l'espace tangent TpM, ce qui explique que la dimen-sion de la variété M est paire.
Exemple 25 L'espace M =R2m muni de la 2-forme ω=
Xm
k=1
dxk∧dyk,
(où x1, ..., xm, y1, ..., ym sont des coordonnées locales) est une variété symplec-tique. Les vecteurs
µ ∂
∂x1
¶
p
, ..., µ ∂
∂xm
¶
p
, µ ∂
∂y1
¶
p
, ..., µ ∂
∂ym
¶
p
, p∈M constituent une base symplectique de l'espace tangent TpM.
Exemple 26 L'espace C (coordonnées z1, ..., zm), muni de la forme ω= i
2 Xm
k=1
dzk∧dzk,
est une variété symplectique. Notons que cette forme coincide avec celle de l'exemple précédent moyannant l'identication Cm 'R2m, zk=xk+iyk. Exemple 27 Comme autres exemples de variétés symplectiques, on peut citer les surfaces de Riemann1 (X, volX) (voir [9] pour plus de détail), les variétés kählériennes 2 ainsi que les variétés projectives complexes.
Nous allons voir que le bré cotangent T∗M (i.e., l'union de tous les es-paces cotangents à M) admet une structure symplectique naturelle. Les es-paces de phases des systèmes hamiltoniens étudiés plus loin sont des variétés symplectiques et souvent ce sont des brés cotangents équipés de la structure canonique.
Proposition 28 Soit M une variété diérentiable de dimension m et soit T∗M son bré cotangent. Alors T∗M possède une structure symplectique et dans les coordonnées locales(x1, . . . , xm, y1, . . . , ym),cette structure est donnée par
ω= Xm
k=1
dxk∧dyk.
Démonstration : Soit(U, ϕ)une carte locale au voisinage de p∈M, ϕ:U ⊂M −→Rm, p7−→ϕ(p) =
Xm
k=1
xkek,
oùek sont les vecteurs de base de Rm. Considérons les projections canoniques T M −→M et T(T∗M)−→T∗M, des brés tangents respectivement à M et àT∗M sur leurs bases. On note π∗ :T∗M −→M, la projection canonique et dπ∗ :T(T∗M)−→T M, son application linéaire tangente. On a
ϕ∗ :T∗M −→R2m, α7−→ϕ∗(α) = Xm
k=1
(xkek+ykεk),
1Ce sont des variétés analytiques de dimension1complexe (2réelle) munies d'atlas dont les changements de cartes sont holomorphes.
2Une variété kählérienne est une variété complexe munie d'une métrique hermitienne dont la partie imaginaire, qui est une2-forme ω de type (1,1) relativement à la structure complexe, est fermée.
oùεk sont les formes de bases de T R et α désigneαp ∈T M. Dès lors, si α est une1-forme surM et ξα est un vecteur tangent à T∗M, alors
dϕ∗ :T(T∗M)−→TR2m =R2m, ξα 7−→dϕ∗(ξα) = Xm
k=1
(βkek+γkεk), oùβk, γk sont les composantes de ξα dans la carte locale de R2m. Posons
λα(ξα) = α(dπ∗ξα) =α(ξ),
où ξ est un vecteur tangent à M. Dans un système de coordonnées locales (x1, ..., xm, y1, ..., ym)compatible avec une trivialisation locale du bré tangent T∗M, on a3
λα(ξα) = α ÃXm
k=1
βkek
! ,
= Xm
k=1
(xkek+ykεk) Ã m
X
j=1
βjej
! ,
= Xm
k=1
βkyk.
Soit λ la1-forme surT∗M qui àα fait correspondre λα. On a λ(α) =
Xm
k=1
yk(α)dxk(α), et
λ(α)(ξα) = Xm
k=1
yk(α)dxk(α) ÃXm
j=1
βjej +γjεj
! ,
= Xm
k=1
ykβk,
= λα(ξα).
D'où
λ= Xm
k=1
ykdxk.
3Soit (x1, ..., xm) un système de coordonnées locales autour de p ∈ M. Comme tout α ∈ T∗M peut s'écrire dans la base (dx1, ..., dxm) sous la forme α = Pm
k=1αkdxk, alors en dénissant des coordonnées localesy1, ..., ym paryk(α) =yk, k= 1, ..., m, la 1-formeλ s'écritλ=Pm
k=1ykdxk.
La structure symplectique deT M est donnée par la dérivée extérieure de λ, i.e., la 2-forme ω = −dλ. On peut visualiser tout ceci à l'aide du diagramme suivant :
T∗(T∗M)
↑λ
R λ←−α(ξ) T(T∗M) −→ T∗M −→ϕ∗ R2m
↓dπ∗ ↓π∗
R ←−α(ξ) T M −→ M −→ϕ Rm
Evidemment, la formeω est fermée : dω = 0puisque d◦d= 0 et elle est non dégénérée. Pour montrer cette dernière propriété, on peut utiliser un calcul direct 4 ou tout simplement remarquer que la forme est bien dénie indépen-damment des coordonnées choisies. Dans le système de coordonnées locales (x1, ..., xm, y1, ..., ym) mentionné ci-dessus, cette forme symplectique s'écrit
ω= Xn
k=1
dxk∧dyk, ce qui achève la démonstration.¤
Dénition 29 La1-formeλdénie ci-dessus sur la bré cotangent T∗M s'ap-pelle forme de Liouville. Les formes λ et ω sont dites formes canoniques sur T∗M.
Remarque 30 Pour qu'une 2-forme diérentielle ω fermée sur une variété diérentiable de dimension 2m soit symplectique, il faut et il sut que ωm soit une forme volume. Celà est dû au fait que la non-dégénérescence de ω est équivaut à ce que ωm ne soit jamais nulle.
4Soient ξ= (ξ1, ..., ξ2m)∈TpM et η= (η1, ..., η2m)∈TpM. On a
ω(ξ, η) = Xm k=1
dxk∧dyk(ξ, η) = Xm k=1
(dxk(ξ)dyk(η)−dxk(η)dyk(ξ)).
Or dxk(ξ) = ξm+k((m+k)ièmecomposante deξ) et dyk(ξ) = ξk(kièmecomposante deξ), donc
ω(ξ, η) = Xm k=1
(ξm+kηk−ηm+kξk) = (ξ1...ξ2m)
µ O −I
I O
¶
η1
...
η2m
,
avecO(resp.I) la matrice nulle (resp. unité) d'ordrem. Dès lors, pour toutx∈M et pour toutξ= (ξ1, ..., ξ2m)6= 0, il existeη= (ξm+1, ..., ξ2m,−ξ1, ...,−ξm)tels que :
ω(ξ, η) = Xm k=1
¡ξ2m+k−ξ2k¢ 6= 0, carξk 6= 0,∀k= 1, ...,2m.
Proposition 31 Toute variété symplectique est orientable.
Démonstration : Dans un système de cartes symplectiques(x1, ..., x2m), on a ω =dx1∧dxm+1+...+dxm∧dx2m.
Dès lors
ωm = dx1∧dxm+1∧...∧dxm∧dx2m,
= (−1)m(m−1)2 dx1∧dx2∧...∧dx2m,
ce qui signie que la 2m-forme ωm est une forme volume sur la variété M et donc celle-ci est orientable. Autrement dit, l'orientation associée à la forme diérentielleω est l'orientation canonique de R2m. ¤
Remarque 32 Toute variété orientable de dimension2est symplectique. Celà résulte du fait que toute 2-forme diérentielle sur une variété de dimension 2 est toujours fermée. Par contre en dimensions paires plus grandes que 2, ceci n'est plus vrai.
Proposition 33 Soit α une 1-forme diérentielle sur la variété M et dési-gnons par α∗λ l'image réciproque de la forme de Liouville λ sur le bré cotan-gent T∗M. Alors, on a α∗λ=α.
Démonstration : Puisque α : M → T∗M, on peut donc considérer l'image réciproqueα∗ :T∗T∗M →T∗M, de la forme de Liouville λ:T∗M →T∗T∗M, telle que, pour tout vecteurξ tangent à M, on ait
α∗λ(ξ) =λ(α)(dαξ).
Commedα est une application T M →T T∗M, alors α∗λ(ξ) = λ(α)(dαξ),
= λα(dαξ),
= αdπ∗dα(ξ),
= αd(π∗α)(ξ),
= α(ξ),
car π∗α(p) = p oùp∈M et le résultat en découle. ¤
Dénition 34 Une sous-variété N d'une variété symplectique M est dite la-grangienne si pour tout p∈N, l'espace tangent TpN coincide avec l'espace de conguration suivant :
{η∈TpM :ωp(ξ, η) = 0,∀ξ∈TpN}.
Sur l'espace ci-dessus la 2-forme dxk∧dyk qui dénit la structure sym-plectique est identiquement nulle. Les sous-variétés lagrangiennes sont consi-dérées parmi les plus importantes sous-variétés des variétés symplectiques. No-tons quedimN = 12dimM et que pour tous champs de vecteursX, Y surN, on a ω(X, Y) = 0.
Exemple 35 Si (x1, ..., xm, y1, ..., ym) est un système de coordonnées locales (voir proposition 28) sur un ouvertU ⊂M, alors le sous-ensemble de U déni par y1 =...=ym = 0 est une sous-variété lagrangienne de M.
Remarque 36 La sous-variété α(M) (voir proposition 33) est lagrangienne dans T∗M si et seulement si la forme α est fermée. En eet, on a
0 =α∗ω =α∗(−dλ) = −d(α∗λ) =−dα.
SoitM une variété diérentiable,T∗M son bré cotangent muni de la forme symplectiqueω, et
sα :U →T∗M, p7→α(p),
une section sur un ouvertU ⊂M. De l'expression locale deω (proposition 28), on déduit que la section nulle du bré T∗M est une sous-variété lagrangienne de T∗M. Si sα(U) est une sous-variété lagrangienne de T∗M, alors sα est dite section lagrangienne. On a (voir proposition 33), s∗αλ = α et d'après la remarque 36,sα(U) est une sous-variété lagrangienne de T∗M si et seulement si la formeα est fermée.
Soient (M, ω)et(N, η) deux variétés symplectiques de même dimension et f :M −→N, une application diérentiable.
Dénition 37 On dit que f est un morphisme symplectique s'il préserve les formes symplectiques, i.e., f vérie f∗η = ω. Lorsque f est un diéomor-phisme, on dira que f est un diéomorphisme symplectique ou encore f est un symplectomorphisme.
Remarque 38 Un morphisme symplectique est un diéomorphisme local. En eet, la 2-forme ω étant non dégénérée alors la diérentielle
df(p) :TpM −→TpM, p∈M,
est un isomorphisme linéaire. Par conséquent, f est un diéomorphisme local en vertu du théorème d'inversion locale. Une autre preuve similaire, consiste à noter que
f∗ηm= (f∗η)m =ωm.
L'applicationf est de rang constant 2m carωm etηm sont des formes volumes sur M et N respectivement. Et le résultat en découle.
Remarque 39 On déduit de la remarque précédente que les diéomorphismes symplectiques ou symplectomorphismes conservent la forme volume et donc l'orientation. Le déterminant du jacobien de la transformation est égal à +1. Remarque 40 Si f : M −→ N est un symplectomorphisme, alors l'inverse f−1 :N −→M est aussi un symplectomorphisme.
Soient (M, ω), (N, η)deux variétés symplectiques et pr1 :M ×N −→M, pr2 :M×N −→N,
les projections deM ×N sur ses deux facteurs. Les deux formes pr1∗ω+pr∗2η et pr∗1ω−pr∗2η sur la variété produit M ×N sont des formes symplectiques.
Prenons le cas où dimM = dimN = 2m et considérons une application dié-rentiablef :M −→N, ainsi que son graphe déni par l'ensemble
A={(x, y)∈M ×N :y=f(x)}.
Notons que l'application
g :M −→A, x7−→(x, f(x)),
est un diéomorphisme. On montre queAest une sous-variété lagrangienne de dimension 2m de (M ×N, pr∗1ω−pr2∗η) si et seulement si l'image réciproque depr∗1ω−pr∗2η par l'applicationg est la forme identiquement nulle surM. Dès lors, pour que l'application diérentiable f soit un morphisme symplectique, il faut et il sut que le graphe de f soit une sous-variété lagrangienne de la variété produit(M ×N, pr∗1ω−pr2∗η).
Proposition 41 a) Si f : M −→ M est un diémorphisme, alors f∗ : T∗M −→T∗M est un symplectomorphisme.
b) Sig :T∗M −→T∗M est un diémorphisme tel que :g∗λ=λ, alors il existe un diéomorphisme f :M −→M tel que : g =f∗.
Démonstration : a) Montrons que f∗∗ω=ω. On a f∗∗λ(α)(ξα) = λ(f∗(α))(df∗ξα),
= f∗(α)dπ∗df∗(ξα),
= α(df dπ∗df∗(ξα)),
= α(d(f ◦π∗◦f∗)(ξα)).
Or
f∗α = αf−1(p), π∗f∗α = f−1(p),
donc
f◦π∗◦f∗(α) =p=π∗α, d'où
f◦π∗◦f∗ =π∗ (4.1)
et
f∗∗λ(α)(ξα) = α(dπ∗(ξα)),
= λα(ξα),
= λ(α)(ξα).
Dès lors, f∗∗λ=λ et doncf∗∗ω =ω. b) Commeg∗λ =λ, alors
g∗λ(η) = λ(dgη),
= ω(ξ, dgη),
= λ(η),
= ω(ξ, η).
(4.2) Par ailleurs, on a g∗ω =ω, d'où
ω(dgξ, dgη) =ω(ξ, η) = ω(ξ, dgη), et
ω(dgξ−ξ, dgη) = 0, ∀η.
La forme ω étant non-dégénérée, on en déduit que dgξ =ξ et que g conserve les courbes intégrales de ξ. Sur la section nulle du bré tangent (i.e., sur la variété), on aξ= 0et dès lorsg|M est une applicationf :M −→M. Montrons que :
f◦π∗◦g =π∗ =f◦π∗◦f∗. En eet, en prenant la diérentielle, on obtient
df◦dπ∗◦dg(ξ) = df ◦dπ∗(ξ), car dg(ξ) =ξ,
= df(ξp), oùξp ≡dπ∗(ξ),
= ξp,
= dπ∗(ξ).
Dès lors, df ◦ dπ∗ ◦ dg = dπ∗ et f ◦ π∗ ◦ g = π∗. Or d'après (4.1), on a f◦π∗◦f∗ =π∗, doncg =f∗.¤
Proposition 42 Soit
I :Tx∗M −→TxM, ωξ1 7−→ξ, une application telle que :
ω1ξ(η) = ω(η, ξ), ∀η∈TxM.
AlorsI est l'isomorphisme engendré par la forme symplectique ω.
Démonstration : Désignons parI−1 l'application
I−1 :TxM −→Tx∗M, ξ 7−→I−1(ξ)≡ω1ξ, avec
I−1(ξ) (η) =ωξ1(η) =ω(η, ξ), ∀η∈TxM.
Commeω est bilinéaire, on a
I−1(ξ1+ξ2) (η) = ω(η, ξ1+ξ2),
= ω(η, ξ1) +ω(η, ξ2),
= I−1(ξ1) (η) +I−1(ξ2) (η), ∀η ∈TxM.
Pour montrer que l'applicationI−1 est bijective, il sut de montrer qu'elle est injective puisquedimTxM = dimTx∗M. On a
KerI−1 = ©
ξ∈TxM :I−1(ξ) (η) = 0, ∀η∈TxMª ,
= {ξ ∈TxM :ω(η, ξ) = 0, ∀η∈TxM},
= {0},
car la formeω est non-dégénérée. Donc I−1 est un isomorphisme et par consé-quentI est aussi un isomorphisme puisque on l'obtient par l'inverse d'un iso-morphisme.¤