Nous allons voir dans cette partie, comment dénir une structure symplec-tique sur l'orbite de la représentation coadjointe. Soit x ∈ G∗, ξ le vecteur tangent en x à l'orbite. Comme G∗ est un espace vectoriel, alors évidemment ξ∈TxG∗ =G∗. Rappelons que
OG∗(x) ={Ad∗g(x) :g ∈G} ⊂ G∗.
Pourx∈ O∗G(x), il existe g ∈Gtel que : x=Ad∗g. Soita∈ G eteta un groupe à un paramètre dansG avec eta|t=0 =g et
d
dtAd∗eta(x)
¯¯
¯¯
t=0
=ξ.
Or d
dtAd∗eta(x)
¯¯
¯¯
t=0
≡ad∗a(x) = {a, x},
donc le vecteurξpeut-être représenté comme le vecteur vitesse du mouvement dexsous l'action d'un groupeeta,a∈ G. Autrement dit, tout vecteurξtangent à l'orbite O∗G(x) s'exprime en fonction de a∈ G par
ξ={a, x}, a ∈ G, x∈ G∗. (8.1)
Par conséquent, on peut déterminer la valeur d'une 2-forme Ω sur l'orbite O∗G(x) comme suit : Soient ξ1 et ξ2 deux vecteurs tangents à l'orbite de x. D'après ce qui précède, on a
ξ1 ={a1, x}, a1 ∈ G, x∈ G∗, ξ2 ={a2, x}, a2 ∈ G, x∈ G∗. On vérie aisément que la2-forme diérentielle
Ω(ξ1, ξ2)(x) =hx,[a1, a2]i, a1, a2 ∈ G, x∈ G∗, (8.2) surO∗G(x) est bien dénie ; sa valeur ne dépend pas du choix de a1 et a2. En outre, elle est antisymétrique, non-dégénérée et fermée.
Pour déterminer la structure symplectique sur l'orbite OSO(3)∗ (X), on pro-cède comme suit : D'après (8.2), on a
Ω(ξ1, ξ2)(X) =hX,[A, B]i,
oùA, B ∈so(3), X ∈(so(3))∗ =so(3) et en vertu de (8.1), ξ1 ={A, X}, ξ2 ={B, X},
sont deux vecteurs tangents à l'orbite enX ou ce qui revient au même d'après le théorème 9 c),
ξ1 = [X, A], ξ2 = [X, B].
En utilisant le lemme 8, i.e., l'isomorphisme entre (so(3),[,]) et(R3,∧), on a aussi
ξ1 =x∧a, ξ2 =x∧b, avec
Ω(ξ1, ξ2)(x) =hx, a∧bi.
D'après le théorème 9 b), l'orbite coadjointe deSO(3) est
OSO(3)∗ (A) = {C ∈so(3) : C=Y−1AY, spectre de C = spectre deA}, oùA∈so(3) etY ∈SO(3). Déterminons le spectre de la matrice
A=
0 −a3 a2
a3 0 −a1
−a2 a1 0
∈so(3).
On a
det(A−λI) =−λ(λ2+a21+a22+a23) = 0,
d'où λ= 0, λ=±i a1+a2+a3. Donc isomorphe à une sphèreS2de rayonr. Puisque les vecteursξ1,ξ2appartiennent au plan tangentTXO∗SO(3) enX, ils appartiennent aussi au plan tangent TxS2 enx. Soit
S2 =©
(y1, y2, y3)∈R3 :y12+y22+y32 =r2ª ,
la sphère de rayonr, alors le plan tangent à cette sphère en xde coordonnées (x1, x2, x3) est Cette dernière est équivalente au système
dont la solution est a=
La forme symplectique surS2 que l'on cherche à déterminer étant intrinsèque, i.e., ne dépend pas du choix des coordonnées locales, on peut donc choisir comme coordonnées locales x1, x2 et le même raisonnement sera valable pour les autres cas, i.e.,x2,x3 etx3,x1. Nous allons donc calculeraetbrelativement
On a
Comme nous l'avons déjà signalé la forme symplectique étant intrinsèque, on aura nalement
Ω = dx1∧dx2
x3 = dx2∧dx3
x1 = dx3∧dx1 x2 .
Remarque 61 Il est à noter que la structure symplectique obtenue ici est équivalente à celle associée au système (7.1). En eet, d'après (6.2), on sait que donc la matrice associée à la forme
Ω = dx1∧dx2
. Montrons qu'il y'a équivalence entre
dx(t)
En eet, on a
dm1
dt = −m3 ∂H
∂m2
,
= −m3 µ∂H
∂m2
+ ∂H
∂m3
∂m3
∂m2
¶ , et
dm2
dt = m3 ∂H
∂m1,
= m3 µ∂H
∂m1 + ∂H
∂m3
∂m3
∂m1
¶ . Or d'après l'exemple 55, on a
dm3 =−m1dm1+m2dm2 m3
,
d'où dm3
dm2
=−m2 m3
, dm3 dm1
=−m1 m3
, et par conséquent
dm1
dt = (λ3−λ2)m2m3, dm2
dt = (λ1−λ3)m1m3.
Pour déterminer la structure symplectique sur l'orbite coadjointe du groupe SO(4), on peut suivre le même cheminement que dans le cas précédent mais le calcul serait plus long. Par contre, on peut obtenir aisément le résultat en utilisant une approche géométrique en observant que so(4) se décompose en deux copies de so(3) et que les orbites génériques sont un produit de deux sphères. Plus précisément, à partir de SO(4) = SO(3) ⊗SO(3), il est plus intéressant de considérer les coordonnées (x1, x2, x3), (x4, x5, x6) avec (x1, x2, x3)⊕(x4, x5, x6)∈so(4) 'so(3)⊕so(3). On obtient
Ω =−x3dx1 ∧dx2−x6dx1∧dx5+x6dx2∧dx4−x3dx4∧dx5.
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