= {ξ ∈TxM :ω(η, ξ) = 0, ∀η∈TxM},
= {0},
car la formeω est non-dégénérée. Donc I−1 est un isomorphisme et par consé-quentI est aussi un isomorphisme puisque on l'obtient par l'inverse d'un iso-morphisme.¤
5 Lemme de Moser et théorème de Darboux
Nous allons étudier dans cette section un théorème central de la géomé-trie symplectique à savoir le théorème de Darboux : les variétés symplectiques (M, ω) de dimension 2m sont localement isomorphes à (R2m, ω). Plus pré-cisément, si (M, ω) est une variété symplectique de dimension 2m, alors au voisinage de chaque point de M, il existe des coordonnées locales (x1, ..., x2m) telles que :
ω = Xm
k=1
dxk∧dxm+k.
En particulier, il n'y a aucun invariant local en géométrie symplectique, ana-logue à la courbure en géométrie riemannienne. La preuve classique donnée par Darboux du théorème qui porte son nom se fait par récurrence sur la di-mension de la variété (voir à ce sujet l'excellent livre d'Arnold [2]). Nous en donnerons un aperçu dans la remarque 45. Une autre preuve, se basant sur un résultat de Moser [26], a été donnée par Weinstein (voir [30]). Nous allons dans ce qui suit donner une preuve du lemme de Moser et ensuite passer à la démonstration du théorème de Darboux.
Lemme 43 Soit {ωt}, 0≤ t ≤ 1, une famille de formes symplectiques dié-rentiables en t. Alors, pour tout p ∈ M, il existe un voisinage U de p et une fonction gt:U −→ U, telle que :
½ g∗0 = identité, gt∗ωt= ω0.
Démonstration : Cherchons une famille de champs de vecteurs Xt sur U tels que ces champs engendrent localement un groupe à un paramètre de diéo-morphismesgt avec
d
dtgt(p) = Xt(gt(p)), g0(p) = p.
Notons tout d'abord que la forme ωt est fermée (i.e., dωt = 0) ainsi que dtdωt puisque
dd
dtωt = d
dtdωt = 0.
Dès lors, en dérivant la relationg∗tωt =ω0 et en utilisant la formule LXt =iXtd+diXt, (théorème 18),
tout en tenant compte du fait queωtdépend du temps, on obtient l'expression d
dtgt∗ωt = gt∗ µd
dtωt+LXtωt
¶ ,
= gt∗ µd
dtωt+diXtωt
¶ .
D'après le lemme de Poincaré (remarque 23), la forme ∂t∂ωt est exacte dans le voisinage dep. Autrement dit, on peut trouver une forme λt telle que :
d
dtωt=dλt.
D'où d
dtgt∗ωt=gt∗d(λt+iXtωt). (5.1)
On veut montrer que pour tout p ∈ M, il existe un voisinage U de p et une fonctiongt:U −→ U, telle que : g0∗ =identité et gt∗ωt=ω0, donc telle que :
d
dtgt∗ωt= 0.
Et d'après (5.1), le problème revient à chercher Xt tel que : λt+iXtωt= 0.
Comme la formeωt est non dégénérée, alors l'équation ci-dessus est résoluble par rapport au champ de vecteursXt et dénit la famille{gt}pour0≤t≤1. Plus précisément, en coordonnées locales (xk) de la variété M de dimension 2m, avec³
∂
∂xk
´une base deT M et(dxk)la base duale de³
∂
∂xk
´,1≤k ≤2m, on a
λt = X2m
k=1
λk(t, x)dxk,
Xt = X2m
k=1
Xk(t, x) ∂
∂xk, ωt =
X2m
k,l=1
k<l
ωk,l(t, x)dxk∧dxl,
iXtωt = 2 X2m
l=1
Ã2m X
k=1
ωk,lXk
! dxl.
Il faut donc résoudre le système d'équations en Xk(t, x) suivant : λl(t, x) + 2
X2m
k=1
ωk,l(t, x)Xk(t, x) = 0.
La formeωtétant non dégénérée, alors la matrice(ωkl(t, x))est non singulière et par conséquent, le système ci-dessus admet une solution unique. On détermine ainsi le champ de vecteurs Xt et donc les fonctions g∗t telles que : gt∗ωt = ω0, ce qui achève la démonstration.¤
Théorème 44 Toute forme symplectique sur une variétéM de dimension 2m est localement diéomorphe à la forme standard sur R2m. Autrement dit, si (M, ω) est une variété symplectique de dimension 2m, alors au voisinage de chaque point de M, il existe des coordonnées locales (x1, ..., x2m) telles que :
ω = Xm
k=1
dxk∧dxm+k.
Démonstration : Soit {ωt}, 0 ≤ t ≤ 1, une famille de 2-formes diérentielles qui dépend diérentiablement det et posons
ωt=tω+ (1−t)ω0, avec
ω0 = Xm
k=1
dxk∧dm+k,
où (x1, ..., x2m) sont des coordonnées locales de M. Notons que les 2-formes ωt sont fermées. Au point p∈ M, on a ωt(p) = ω0(p) = ω(p). Par continuité, on peut trouver un petit voisinage de p où ωt(p) est non dégénérée. Donc les 2-formes ωt sont non dégénérées au voisinage de p et indépendantes de t en p. Autrement dit, ωt sont des formes symplectiques et d'après le lemme 43 de Moser, pour tout p ∈ M, il existe un voisinage U de p et une fonction gt :U −→ U telle que : gt∗ =identité et g∗tωt =ω0. En dérivant cette relation par rapport àt, on obtient (comme dans la preuve du lemme de Moser),
d
dtgt∗ωt = 0, g∗t
µd
dtωt+LXtωt
¶
= 0, gt∗
µd
dtωt+diXtωt
¶
= 0.
Dès lors,
diXtωt=−d dtωt,
et comme la forme dtdωtest exacte dans le voisinage dep(lemme de Poincaré), alors
diXtωt=dθt,
oùθtest une1-forme diérentielle. Par ailleurs,ωtétant non dégénérée, l'équa-tion iXtωt=θt est résoluble et détermine de manière unique le champ de vec-teursXtdépendant det. Notons que pourt= 1,ω1 =ωet pourt= 0,ω0 =ω0 et en outre on peut trouverg1∗ tel que :g1∗ω=ω0. Au champ de vecteursXtest associé la famille cherchée{gt},0≤t≤1, à un paramètre de diéomorphismes et la démonstration s'achève.¤
Remarque 45 Comme nous l'avons signalé au début de cette section, nous allons donner un aperçu sur la preuve classique donnée par Darboux de son théorème. On procède par récurrence sur m. Supposons le résultat vrai pour m≥1 et montrons qu'il est aussi pourm. Fixons x et soit xm+1 une fonction
diérentiable surM dont la diérentielle dxm+1 n'est pas nulle au pointx. Soit X l'unique champ de vecteurs diérentiable satisfaisant à la relation
iXω=dxm+1.
Comme ce champ de vecteurs ne s'annule pas en x, alors on peut trouver une fonction x1 dans un voisinage U de x telle que : X(x1) = 1. Considérons un champ de vecteurs Y sur U satisfaisant à la relation iYω = −dx1. Puisque dω= 0, alors
LXω=LYω= 0,
en vertu de la formule de Cartan (théorème 18). Dès lors i[X,Y]ω = LXiYω,
= LX(iYω)−iY(LXω),
= LX(−dx1),
= −d(X(x1)),
= −d(1),
= 0,
d'où [X, Y] = 0, puisque ω est de rang en tout point égal à 2m. D'après le théorème de redressement 5, il s'ensuit qu'il existe des coordonnées locales x1, xm+1, z1, z2, ..., z2m−2 sur un voisinage U1 ⊂ U de x telles que :
X = ∂
∂x1, Y = ∂
∂xm+1. Considérons maintenant la forme diérentielle
λ =ω−dx1∧dxm+1. On adλ = 0 et
iXλ=LXλ=iYλ =LYλ= 0.
Donc λ s'exprime comme une 2-forme diérentielle uniquement en fonction des variables z1, z2, ..., z2m−2. En particulier, on a λm+1 = 0. Par ailleurs, on a
06=ωm =mdx1∧dxm+1∧λm−1.
La2-forme λ est fermée et de rang maximal (rang moitié)m−1sur un ouvert de R2m−2. Il sut dès lors d'appliquer l'hypothèse de récurrence à λ.
5Soientx∈M etX1, ..., Xrdes champs de vecteurs diérentiables sur une variétéM. On suppose que pour tousk, l= 1, ..., r,[Xk, Xl] = 0et que X1(x), ..., Xr(x)sont linéairement indépendants. Alors, il existe un ouvertU deM contenantxet un système de coordonnées locales surU tel que :
X1|U = ∂
∂x1
, ..., Xr|U = ∂
∂xr
.
Remarque 46 Supposons que la variété M soit compacte et connexe.
a) Si Z
M
ωt= Z
M
ω0,
où {ωt}, 0 ≤ t ≤ 1 est une famille de formes volume, alors on peut trouver une famille de diéomorphismes gt : M −→ M, telle que : g∗0 = identité et gt∗ωt = ω0. (Indication : il sut d'utiliser un raisonnement similaire à celui fait dans la preuve du lemme 43 de Moser, à condition de remplacer le lemme de Poincaré qui n'est que local par le théorème de De Rham qui lui est global.
Ce dernier signie qu'une forme volume ω sur M est exacte si et seulement si R
Mω = 0).
b) Si ω1 et ω2 sont deux formes volume sur M, alors il existe un diéomor-phisme g tel que
g∗ω1 =Cω2, où C =
R
Mω1
R
Mω2 est une constante.