On en déduit de ce qui précéde que la forme symplectique ω induit pour chaque fonction diérentiable H : M −→ R, appelée hamiltonien, un champ de vecteurs hamilonien
IdH :M −→TxM, x7−→IdH(x). Autrement dit, le système diérentiel déni par
dx(t)
dt =XH(x(t)) =IdH(x),
est un champ de vecteurs hamilonien associé à la fonction H. Les champs de vecteurs hamiloniens forment une sous-algèbre de Lie de l'espace des champs de vecteurs.
Notons que le otgtX (dénition 10) laisse invariante la forme symplectique ω.
Théorème 47 La matrice associée à un système hamiltonien forme une struc-ture symplectique.
Démonstration : Soit (x1, . . . , xm) un système de coordonnées locales sur M.
On a dx(t)
dt = Xm
k=1
∂H
∂xk
I(dxk) = Xm
k=1
∂H
∂xk
ξk, (6.1)
oùI(dxk) =ξ ∈TxM est déni de telle manière que :
Cette matrice est inversible. En eet, il sut de montrer que le rang de J−1 estm. Par l'absurde, on suppose que rgJ−1 6=m. Donc
Commeω est non-dégénérée, alors Xm
Par conséquent, on peut chercherξk tel que :
J−1
Comme la matrice J (6.2)est inversible, alors le système ci-dessus s'écrit
On montre aisément que la matrice J est antisymétrique. En eet, ω étant symétrique, i.e., alors J−1 est antisymétrique. Dès lors,
I =J.J−1 =¡ on a l'équation suivante :
dxi(t) ou sous forme matricielle
dx(t)
dt =J(x)∂H
∂x,
et qui n'est autre que le champ hamiltonien associé à la fonction H. Le théo-rème est donc démontré.¤
Une variété symplectique étant nécessairement de dimension paire, alors pour l'étude d'un système déni sur une variété de dimension impaire, on utilise une généralisation de la notion de structure symplectique valable en dimension impaire. On munit la variété M d'une structure de Poisson (ou crochet de Poisson), i.e., d'une application bilinéaire
{,}:C∞(M)× C∞(M)−→ C∞(M), (F, G)7−→ {F, G}, oùC∞(M)est l'algèbre commutative des fonctions régulières sur M et
{F, G}=duF (XG) =XGF (u) =ω(XG, XF).
Ce crochet est antisymétrique{F, G}=− {G, F}, vérie la formule de Leibniz {F G, H}=F{G, H}+G{F, H},
et satisfait l'identité de Jacobi
{{H, F}, G}+{{F, G}, H}+{{G, H}, F}= 0,
pour tous F, G, H ∈ C∞(M). La variété M est dite variété de Poisson ou encore variété hamiltonienne. La formule de Leibniz assure que l'application suivante : G 7−→ {G, F} est une dérivation. L'antisymétrie et l'identité de Jacobi assure que {,} est un crochet de Lie, elles munissent C∞(M) d'une structure d'algèbre de Lie de dimension innie. Lorsque cette structure de Poisson est non-dégénérée, on parlera plutôt de structure symplectique.
Considérons maintenant la variété M =Rn×Rn et soit p∈ M. En vertu du théorème 44 de Darboux, on peut choisir dans un voisinage du point p, un système de coordonnées locales (y1, . . . , yn, x1, . . . , xn) tel que la forme ω s'exprime sous la forme
ω = Xn
i=1
dxi∧dyi. Dès lors
XH = Xn
i=1
µ∂H
∂xi
∂
∂yi − ∂H
∂yi
∂
∂xi
¶ , et
XHF ={H, F}= Xn
i=1
µ∂H
∂xi
∂F
∂yi − ∂H
∂yi
∂F
∂xi
¶
, ∀F ∈ C∞(M).
La variétéM munie des coordonnées localesy1, . . . , yn, x1, . . . , xnet du crochet de Poisson canonique ci-dessus est une variété de Poisson.
Dénition 48 Toute fonction F vériant la propriété XHF = 0, est dite intégrale première de XF, celà signie que F est constante sur les trajectoires de XH. En particulier, on a XHH = 0. Deux fonctions F et G sont dites en involution quand leur crochet {F, G} est nul.
Un résultat intéressant est fourni par le théorème de Poisson suivant : Proposition 49 Si F et G sont deux intégrales premières d'un système de hamiltonien H, alors {F, G} est aussi une intégrale première.
Démonstration : L'identité de Jacobi s'écrit
{{H, F}, G}+{{F, G}, H}+{{G, H}, F}= 0.
Par hypothèse, on a
{H, F}={H, G}= 0, d'où
{{F, G}, H}= 0,
ce qui montre que {F, G} est une intégrale première et la démonstration s'achève.¤
Remarque 50 Si on connait deux intégrales premières, on peut d'après le théorème de Poisson trouver de nouvelles intégrales. Mais signalons tout de même que souvent on retombe sur des intégrales premières connues ou une constante.
SoientM etN deux variétés diérentiables etf ∈ C∞(M, N). L'application linéaire tangente àf au point p est l'application induite
f∗ :TpM −→Tf(p)N, entre les espaces tangents TpM etTf(p)N, dénie par
f∗v(ϕ) = v(ϕ◦f),
oùv ∈TpM et ϕ∈ C∞(N,R). Soit L :T M −→ R une fonction diérentiable (lagrangien) sur le bré tangent T M. On dit que (m, L) est invariant sous l'application diérentiableg :M −→M si pour tout v ∈T M, on a
L(g∗v) =L(v).
Le théorème 51 de Noether ci-dessous, exprime l'existence d'une intégrale pre-mière associée à une symétrie du lagrangien. Autrement dit, à chaque para-mètre d'un groupe de transformations correspond une quantité conservée. Une
des conséquences de l'invariance du lagrangien par rapport à un groupe de transformations est la conservation des générateurs du groupe. Par exemple, l'intégrale première associée à l'invariance par rapport aux rotations est le moment cinétique. De même, l'intégrale première associée à l'invariance par rapport aux translations est l'impulsion. Le théorème de Noether s'applique à certaines classes de théories, décrites soit par un lagrangien ou un hamiltonien.
Nous donnerons ci-dessous le théorème dans sa version originale, qui s'applique aux théories décrites par un lagrangien. Il y a aussi une version qui s'applique aux théories décrites par un hamiltonien (voir par exemple [1]). On peut aussi généraliser le théorème de Noether au cas des systèmes non autonomes.
Théorème 51 Si(M, L) est invariant sous un groupe à un paramètre de dif-féomorphismes gs :M −→M, s ∈R, g0 =E, alors le système d'équations de Lagrange,
d dt
∂L
∂q. = ∂L
∂q,
correspondant à L admet une intégrale première I :T M −→R avec I(q,q) =. ∂L
∂q.
dgs(q) ds
¯¯
¯¯
s=0
≡constante, les q étant des coordonnées locales sur M.
Démonstration : Notons tout d'abord que l'intégrale première en question est indépendante du choix des coordonnées locales q sur M. On peut donc se contenter de considérer le cas M =Rn. Soit
f :R−→M, t7−→q =f(t),
une solution du système d'équations de Lagrange ci-dessus. Par hypothèse,g∗s laisse Linvariant, donc
gs◦f :R−→M, t7−→gs◦f(t),
satisfait aussi au système d'équations de Lagrange. On translate la solution f(t) en considérant l'application
F :R×R−→Rn, (s, t)7−→q=gs(f(t)).
Le fait que gs laisse invariant L implique que : 0 = ∂L(F,F.)
∂s ,
= ∂L
∂q
∂F
∂s +∂L
∂q.
∂F.
∂s,
= ∂L
∂q
∂q
∂s+ ∂L
∂q.
∂q.
∂s. (6.3)
CommeF est aussi une solution du système d'équations de Lagrange, i.e., alors en notant que :
∂q.
∂s = d dt
∂q
∂s, l'équation (6.3) s'écrit sous la forme
0 = ∂q ce qui achève la preuve du théorème.¤
Donnons-nous une autre formulation de la dénition du crochet de Poisson.
Celui-ci est donné par {F, G}=
Nous allons chercher des conditions sur la matriceJ (faciles à utiliser en pra-tique) pour que l'identité de Jacobi soit satisfaite. C'est l'objet de la proposition suivante : alors J satisfait à l'identité de Jacobi.
Démonstration : Considérons l'identité de Jacobi
{{H, F}, G}+{{F, G}, H}+{{G, H}, F}= 0.
Par symétrie, nous avons immédiatement {{F, G}, H} et{{G, H}, F}. D'où Notons que les indicesi, j, k et l jouent un rôle symétrique. Dès lors, en appli-quant dans le terme (6.7) la permutation
i←−l, j ←−k, k ←−i, l ←−j, et en ajoutant le terme (6.4) on obtient l'expression
X
qui découle du lemme de Schwarz (sur l'interversion des dérivées secondes) et du fait queJlk =−Jkl. Dans le terme (6.8) appliquons la permutation
i←−k, j ←−l, k ←−j, l ←−i,
et ajoutons le terme (6.5). Et pour les mêmes raisons que ci-dessus, on obtient X
Enn dans le terme (6.9) appliquons la permutation i←−l, j ←−k, k ←−i, l ←−j, et ajoutons le terme (6.6). On obtient également
X En appliquant les permutations d'indices suivantes
i←−l, j ←−i, k ←−k, l ←−j, pour (6.10) et
i←−j, j ←−l, k ←−k, l ←−i, pour (6.11), on obtient
{{H, F}, G} + {{F, G}, H}+{{G, H}, F} Or l'idendité de Jacobi doit s'annuler, donc
X2n ce qui achève la démonstration.¤
Nous avons ainsi une caractérisation complète du champ de vecteurs ha-miltonien
dx(t)
dt =XH(x(t)) =J∂H
∂x, x∈M, (6.12)
où H : M −→ R, est une fonction de classe C (l'hamiltonien) et J = J(x) est une matrice réelle antisymétrique satisfaisant à l'identité de Jacobi :
{{H, F}, G}+{{F, G}, H}+{{G, H}, F}= 0, sont les crochets de Poisson.
7 Exemples
Exemple 53 Si nous nous plaçons dans le cas où J =
µ O −I
I O
¶ ,
avec O (resp. I) la matrice nulle (resp. unité) d'ordre n, alors la condition (voir proposition précédente) sur J est trivialement remplie. En eet, ici la matrice J ne dépend pas des variables xi et nous avons
{H, F} =
Nous retrouvons ainsi la dénition première du crochet de Poisson vu précé-demment et que l'on rencontre dans le formalisme hamiltonien classique. En outre, les équations (6.3) se transforment immédiatement en un système de n équations diérentielles :
où
q1 =x1, . . . , qn =xn, p1 =xn+1, . . . , pn=x2n.
Telles sont les équations de Hamilton, appelées aussi équations canoniques ; elles montrent qu'il sut de connaître la fonction hamiltonienne H pour dé-terminer les équations du mouvement. On les interprète souvent en considérant que les variables pk et qk sont les coordonnées d'un point qui se meut dans un espace à 2n dimensions, appelé espace de phase. Le ot associé au système ci-dessus laisse évidemment invariante chaque hypersurface d'énergie constante H = c. Les équations de Hamilton ci-dessus, peuvent encore s'écrire sous la forme
dqi
dt = {H, qi}= ∂H
∂pi, dpi
dt = {H, pi}=−∂H
∂qi,
où 1 ≤ i ≤ n. Notons que les fonctions 1, qi, pi (1 ≤ i ≤ n), vérient les relations de commutation suivantes :
{qi, qj}={pi, pj}={qi,1}={pi,1}= 0, {pi, qj}=δij, 1≤i, j ≤n.
Ces fonctions constituent une base d'une algèbre de Lie réelle, de dimension 2n+ 1, appelée algèbre de Heisenberg.
Exemple 54 Les équations diérentielles non-linéaires de Hénon-Heiles sont dénies par
dy1
dt = x1, dx1
dt =−Ay1−2y1y2, dy2
dt = x2, dx2
dt =−By2−y21 −εy22,
où A, B sont des constantes. On peut réecrire les équations ci-dessus sous la forme d'un champ de vecteurs hamiltonien
dx
dt =J∂H
∂x, x= (y1, y2, x1, x2)>, où
H = 1
2(x21+x22+Ay12+By22) +y12y2+ε 3y23, est l'hamiltonien et
J =
µ 0 −I I 0
¶
est la matrice associée au champ de vecteurs.
Exemple 55 Les équations d'Euler du mouvement de rotation d'un solide au-tour d'un point xe, pris comme origine du repère lié au solide, lorsqu'aucune force extérieure n'est appliquée au système, peuvent s'écrire sous la forme
dm1
étant les moments d'inertie. Ces équations s'écrivent sous forme d'un champ de vecteurs hamiltonien
l'hamiltonien. Pour déterminer la matrice J = (Jij)1≤i,j≤3, on procède comme suit : Comme J est antisymétrique, alors évidemment
Jii= 0, Jij =−Jji, 1≤i, j ≤3,
En comparant (7.1) et (7.2), on déduit immédiatement que : J12=−m3, J13=m2, J23=−m1,
est la matrice du champ de vecteurs hamiltonien. On vérie aisément qu'elle satisfait à l'identité de Jacobi ou ce qui revient au même (d'après la proposition 52) à la formule :
Exemple 56 Les équations du ot géodésique sur le groupe SO(4) peuvent s'écrivent sous la forme
dx1
où λ1, ..., λ6 sont des constantes. Ces équations forment un champ de vecteurs hamiltonien
En procédant de façon similaire à l'exemple précédent, on obtient
J =
Exemple 57 Le mouvement de la toupie de Kowalewski est régi par les équa-tions
dm
dt = m∧λm+γ ∧l, dγ
dt = γ∧λm,
oùm, γ etl désignent respectivement le moment angulaire, le cosinus directeur de l'axe desz (xé dans l'espace), le centre de gravité lequel peut se ramener à l = (1,0,0) et λm =¡m
1
2 ,m22, m3¢
. Le système ci-dessus s'écrit sous la forme d'un champ de vecteurs hamiltonien
dx
Exemple 58 Le mouvement d'un solide dans un uide parfait est décrit à l'aide des équations de Kirchho :
dp de ce mouvement est un cas limite du ot géodésique sur SO(4). Dans le cas de Clebsch, on a
H= 1
Le système ci-dessus peut s'écrire sous la forme d'un champ de vecteurs ha-miltonien
dx
dt =J∂H
∂x, x= (p1, p2, p3, l1, l2, l3)|, où comme précédemment, on montre que
J =
Exemple 59 Soit df dt =
Xn
k=1
µ∂f
∂pkp˙k+ ∂f
∂qkq˙k
¶ +∂f
∂t,
la dérivée totale d'une fonctionf(p, q, t) par rapport àt. En tenant compte des équations d'Hamilton, on obtient l'expression
df
dt ={f, H}+ ∂f
∂t.
On en déduit que f est une intégrale première d'un système décrit par un hamiltonien H(p, q, t) dépendant explicitement de t si et seulement si
{f, H}+ ∂f
∂t = 0, (7.3)
et évidemment si f ne dépend pas explicitement de t, on a {f, H}= 0. A titre d'exemple, considérons un hamiltonien
H = 1
2m(p21+p22+p23) +V(r, t), r = q
q12+q22+q32,
décrivant le mouvement d'une particule de masse m plongée dans un potentiel V(r, t). Les deux composantes du moment cinétique
H1 = q2p3−q3p2, H2 = q3p1−q1p3,
sont des intégrales premières. D'après le théorème 49 de Poisson, on a {H1, H2}=q1p2−q2p1 =H1,
ce qui montre que H3 est aussi une intégrale première. Notons aussi que : {H3, H1} = H2 et {H2, H3} = H1. Par conséquent, si dans un système deux composantes du moment cinétique sont des intégrales premières, alors la troi-sième composante est aussi une intégrale première.
Exemple 60 On a déjà vu que dans un système conservatif, le hamiltonien H(p, q) est une intégrale première. Si F(p, q, t) désigne une autre intégrale première dépendant explicitement det, alors d'après le théorème 49 de Poisson {F, H} est aussi une intégrale première. Dès lors,
∂F
∂t =−{F, H},
est une intègrale première en vertu de (7.3). De même, on a {∂F
∂t, H}+∂2F
∂t2 = 0,
ce qui montre que ∂∂t2F2 =−{∂F∂t, H} est aussi une intégrale première. Et ainsi de suite, on montre que ∂∂tkFk est une intégrale première. Par exemple, soit
H = 1
2mp2+mω2 2 q2,
l'hamiltonien de l'oscillateur harmonique. On vérie aisément que F =qcosωt− 1
mωpsinωt,
et ∂F
∂t =−ωqsinωt− 1
mωpcosωt,
sont des intégrales premières du système hamiltonien associé à H.