Structure liaisons fortes

4.2.1.1 Maille ´el´ementaire

Le graph`ene est un r´eseau d’atomes de carbone en nid d’abeille. La maille ´el´ementaire cor-respondante est une maille contenant deux atomes, not´esA et B, et le r´eseau de Bravais est triangulaire (Fig. (4.1) ). Les vecteurs de bases de ce r´eseau sont :

a1=^a 2^(3,

√

3), a2= ^a

2^(3,−^√3), (4.1) o`u a ' 1.42˚Aest la distance interatomique. Les vecteurs reliant un atome B `a ses trois plus proches voisins sont donn´es par :

δ1= ^a 2^(1,

√

3) δ2=^a

2^(1,−^√3) δ3=−a(1,0) (4.2) Le r´eseau r´eciproque correspondant est d´efini par les vecteurs :

b₁= ^2π 3a^(1,

√

3), b₂= ^2π

3a^(1,−^√3). (4.3) O`u l’on distingue les points de haute sym´etrie, K et K<sup>0</sup>, aux coins de la premi`ere zone de Brillouin : K=^2π 3a 1,√¹ 3 , K⁰=^2π 3a 1,−√¹ 3 . (4.4) 4.2.1.2 Relation de dispersion

La structure ´electronique du graph`ene est bien d´ecrite en liaisons fortes, et les comparaisons avec les calculs ab initio montrent un tr`es bon accord. De par la structure bi-dimensionnelle `

a trois plus proches voisins du syst`eme, les orbitales s et p des atomes de carbone pr´esentent une hybridationsp2. Les trois orbitalessp2 sur chaque atome sont alors orient´ees dans le plan, pointant en direction des premiers voisins. Participant `a la coh´esion structurale du syst`eme, elles sont de tr`es basse ´energie, et ne contribuent pas aux propri´et´es du voisinage de l’´energie de Fermi. L’orbitale p_z restante, perpendiculaire au plan, va alors d´eterminer les propri´et´es ´electroniques du syst`eme. Dans les faits, la simple prise en compte des deux orbitalespz par maille ´el´ementaire et d’un couplage au premier voisin suffit `a d´ecrire l’essentiel des propri´et´es de basse ´energie du syst`eme.

On d´efinit comme fonctions de bases, les orbitalespzlocalis´ees enAetB. Tous les sites ont la mˆeme ´energie, prise ´egale `a 0, tandis que les matrices de saut entre premiers voisins sont ´egales `

aγ, typiquement estim´e `aγ'3eV.

Le Hamiltonien en espace r´eel s’´ecrit alors :

H =γ ^X

hi , ji

Transport ´electronique dans le Graph`ene 77

Fig.^{4.2 – Relation de dispersion dans}

le graph`ene, au voisinage des points de haute sym´etrieKetK<sup>0</sup>d’apr`es [79]. Les bandes de valence, compl`etement rem-plie, et de conduction, compl`etement vide, se touchent en ces points, `a l’´energie de Fermi. La dispersion au-tour de K et K<sup>0</sup> est lin´eaire, et, en premi`ere approximation, isotrope. Quelle que soit la direction de pro-pagation, les ´electrons et les trous se d´eplacent alors `a une vitesse constante, ´egale `a v_F.

En appliquant le th´eor`eme de Bloch, l’´equation aux valeurs propres devient, dans la base des ´etats de Bloch :

det E(k) γ∆(k) γ∆∗(k) E(k) = 0 (4.6)

O`u ∆(k) est la somme sur les premiers voisins d’apr`es les conventions [78].

∆(k) =e^ik(a1)+e^ik(a2)+e^ik(a1+a₂) (4.7) On obtient finalement : E_±(k) = ±γ v u u t1 + 4 cos2(k_y^a √ 3 2 ^{) + 4 cos(ky} a√ 3 2 ^{) cos(kx} 3a 2 ⁾ ! (4.8)

Cette fonction est repr´esent´ee dans la figure (4.2).

On constate que les points de haute sym´etrie K = ²₃^π_a 1,√¹

3 et K⁰ = ²₃^π_a 1,−√1 3 sont les seuls points d’´energie nulle dans la premi`ere zone de Brillouin,E±(k=K) = 0 et E±(k=

K⁰) = 0.

En se rappellant que les deux orbitales p_z sont `a moiti´e occup´ees, on d´eduit que les bandes de valence et de conduction se touchent aux pointsKouK<sup>0</sup>, et que la surface de Fermi se limite donc `a ces deux points.

Si l’on s’int´eresse maintenant `a la relation de dispersion pour deskvoisins deK ouK<sup>0</sup> (ou, autrement dit, `a des ´energies proches du niveau de Fermi), on obtient une relation singuli`ere. Il est, en effet, possible d’´ecrire la relation de dispersion proche du niveau de Fermi avec une expression lin´eaire enδk. En se rappellant quevF = ¹

~ ∂E ∂k, on obtient : E_±(k) = ±vF|∂k| (4.9) v_F = ^3a 2_~^{γ (4.10)} O`uv_F '106m.s⁻1.

Il est int´eressant d’observer que cette relation est non seulement lin´eaire (ne d´epend pas de l’´energie) mais ne fait pas intervenir l’orientation du vecteurδk.

Cette ´equation effective des ´electrons dans le graph`ene `a proximit´e des pointsKetK⁰pr´esente une analogie formelle avec l’´equation d’´electrodynamique quantique dite de Weyl, d´ecrivant `a le comportement relativiste de fermions de Dirac de masse nulle. La masse effective des ´electrons est alors strictement nulle dans la zone o`u la relation de dispersion est lin´eaire.

C’est de cette identit´e que vient la d´esignation des ´electrons de conduction dans le graph`ene, sous le nom d’«´electrons de Dirac de masse nulle». Les points Ket K⁰ sont appel´es«points de Dirac».

Fig.4.3 – Zone de Brillouin et surface de Fermi du graph`ene au voisinage des points de haute sym´etrieKetK0, aussi appel´es points de Dirac. La relation de dispersion implique que les ´etats du graph`ene au voisinage deKetK0 sont contenus dans des«poches». Dans celles-ci, le vecteur

δk forme un angleθ avec l’axek_x. La sym´etrie des ´etats propres au voisinage des pointsK et

K⁰ par rapport `a cet angleθ donne lieu `a la propri´et´e dite de chiralit´e.

4.2.1.3 Etats propres^´

Si l’on ´etudie les ´etats propres au voisinage du pointKsoit `ak=K+δk=²₃^π_a +δk_x, ^2π

3a√ 3+δk_y On peut d´eduire : |Ψ_±(k'K)i= √¹ 2 e⁻iθ 2 ±e^iπ2 eiθ 2 ! (4.11)

O`uθest l’angle form´e par le vecteur δkavec l’axekxcomme indiqu´e sur la figure (4.3). De la mˆeme fa¸con, `a proximit´e de K⁰ soit `a k =K⁰+∂k =²₃^π_a +∂kx,− 2π

3a√ 3+∂ky , on obtient : |Ψ_±(k'K⁰)i=√¹ 2 eiθ 2 ±e^iπ2e⁻iθ 2 ! (4.12)

On voit que les ´etats propres proposent un d´ephasage deπentre les pointsKetK⁰. De plus, il existe une correspondance entre |Ψ₋(k ' K0)i et |Ψ₊(k ' K)i, et entre |Ψ₊(k ' K0)i et

|Ψ₋(k'K)i.

Le d´eveloppement d’une fonction sur la base des ´etats propres au voisinage deKetK⁰va donc faire apparaˆıtre des sym´etries dues au d´ephasage entre les contributions de chaque sous-r´eseau. Ces sym´etries auront un rˆole pr´epond´erant dans la valeur des ´el´ements de matrices hΨ_±(k '

K/K⁰)|O|Ψ_±(k'K/K⁰)i, o`uOest un op´erateur. Une des manifestations les plus spectaculaires est l’apparition d’une phase de Berry deπ, qui va, entre autres choses, s’additionner `a la phase accumul´ee sur l’orbite cyclotron des ´electrons en pr´esence d’un champ magn´etique. Cela conduira `

a un d´ecalage de la quantification des niveaux de Landau.

Si l’on poursuit alors l’analogie avec l’´electrodynamique quantique, il est possible de se servir de ce d´ephasage entre les contributions des sous-r´eseaux en exprimant la fonction d’onde sous forme d’un spineur, faisant intervenir, non pas le spin des ´electrons, mais la contribution des deux sous-r´eseaux, appel´ee pseudo-spin σ. Cette description, faisant intervenir les indices +/−

(´electrons-trous) etK/K⁰, est tr`es similaire au spineur utilis´e en ´electrodynamique quantique, `

a la diff´erence faite que le pseudo-spinσ est associ´e aux sous-r´eseaux plutˆot qu’au spin r´eel des ´

electrons. On introduit ainsi la notion de chiralit´e, projection du pseudo-spin sur la direction de propagation, qui est oppos´ee pour les ´electrons et pour les trous. Ces concepts prennent une importance particuli`ere dans la description des processus ´electroniques dans le graph`ene [80].

Transport ´electronique dans le Graph`ene 79

Fig.^{4.4 – Niveaux de Landau d’apr`es}

[79]. Gauche : Dans le cas de syst`emes bidimensionnels classiques, le spectre des niveaux de Landau est compos´e de niveaux de Landau r´eguli`erement es-pac´es. Dans le graph`ene (droite), la quantification est donn´ee par En =

±vF

√

2eB_~n donnant `a la fois un ni-veau d’´energie nulle, sans ´equivalent classique, et des ´ecarts de niveaux d´ependants de l’´energie.

4.2.1.4 Comportement en champ magn´etique

Si l’on s’int´eresse au comportement du syst`eme plac´e dans un champ magn´etique perpendicu-laire, il faut obtenir les valeurs propres du Hamiltonien dans lequelkest remplac´e park+eA/_~

o`u Aest le potentiel vecteur.

Dans le cas du graph`ene, le spectre d’´energie est tout `a fait singulier (Fig. (4.4)), puisque la quantification en champ magn´etique est :

E_n=±v_F√

2eB_~n (4.13) qui remplace la quantification usuelle En=±_~ωc(n+ 1/2) dans le cas des ´electrons ayant une relation de dispersion parabolique.

La premi`ere singularit´e est la variation en√

n, et non plus enn de l’´energie des niveaux de Landau, qui conduit les ´etats `a n’ˆetre plus r´eguli`erement espac´es en ´energie.

De plus, la seconde caract´eristique est l’existence d’un niveau d’´energie nulle, partag´e entre ´

electrons et trous. Cet effet est une manifestation de la propri´et´e de chiralit´e vue au paragraphe pr´ec´edent. La somme de la phase accumul´ee lorsque l’´electron parcourt l’orbite cyclotron et de la phase de Berry, va ainsi conduire `a un d´ecalage de 1/2 du nombre quantiquen.

Enfin, tous les niveaux de Landau ont la mˆeme d´eg´en´erescence, celle-ci vaut :

n_LL = 4^eB

h ^(4.14)

Si la d´ependance en 2^eB_h est usuelle, le facteur 4 provient de la d´eg´en´erescence enKetK⁰ de la surface de Fermi (appel´ee aussi d´eg´en´erescence de vall´ee), qui s’ajoute `a celle de spin.