Calcul des G r/a C

GC_L/R(z)P_C⁽¹⁾

L/R n´ecessaire `a l’expression des ˜ΣL/R.

Si l’on veut maintenant obtenir des grandeurs de la formeP_C⁽¹⁾

L/R ˜ GC_L/R(z)P_C^(NCL/R) L/R , on peut d´emontrer que : P_C⁽¹⁾ L/R ˜ G_CL/R(z)P_C^(NCL/R) L/R = P_C⁽¹⁾ L/R ˜ G_CL/R(z)P_C⁽¹⁾ L/RHP_C⁽²⁾ L/R ˜ G_CL/R−(1)(z)P_C^(NCL/R) L/R Et que : P_C⁽ⁿ⁾ L/R ˜ G_{CL/R−(1,···,n−1)}(z)P_C^(NCL/R) L/R = P_C⁽ⁿ⁾ L/R ˜ G_{CL/R−(1,···,n−1)}(z)P_C⁽ⁿ⁾ L/RHP_C⁽ⁿ⁺¹⁾ L/R ˜ G_{CL/R−(1,···,n−1)}(z)P_C^(NCL/R) L/R

En bout de chaˆıne, l’´el´ement de matriceP_C^(NCL/R−1)

L/R ˜ G_{CL/R−(1,···,N} CL/R⁻²⁾(z)P_C^(NCL/R) L/R , sera fonction uniquement deP_C^(NCL/R) L/R ˜ G_{CL/R−(1,···,N} CL/R⁻¹⁾(z)P_C^(NCL/R) L/R et deP_C^(NCL/R−1) L/R ˜ G_{CL/R−(1,···,N} CL/R⁻²⁾(z)P_C^(NCL/R−1) L/R

qui sont 2 termes diagonaux calcul´es au paragraphe pr´ec´edent. Il suffira donc d’it´ererNC_L/R−2 fois pour obtenir le termeP_C⁽¹⁾

L/R

˜

GC_L/R(z)P_C^(NCL/R)

L/R n´ecessaire `

a l’expression des ˜Γ_L/R, le termeP_C^(NCL/R)

L/R

˜

GC_L/R(z)P_C⁽¹⁾

L/R s’obtenant de fa¸con identique. Nous sommes donc d´esormais en mesure de calculer les ˜Γ_L/R et ˜Σ_L/R par des produits de matrices de tailled_CL/R×d_CL/R. La m´ethode d´evelopp´ee dans ce paragraphe est exacte dans son principe, et g´en`ere en pratique un bruit num´erique beaucoup plus faible qu’une inversion directe du hamiltonien totalH. A titre d’exemple, l’application de ces transformations a permis un gain d’un facteur 30000 sur le temps de calcul dans les syst`emes ´etudi´es au chapitre 4.4, rendant le coˆut calculatoire du probl`eme de transport g´en´eralement n´egligeable.

3.5.3 Calcul des G^r/a_C

C

Une fois en possession des ˜Σ_L/R, nous sommes en mesure de calculer les fonctions de Green de la zoneconducteur. Ce calcul peut se faire de diff´erentes mani`eres. La m´ethode«standard» est bien entendu l’inversion directe. Celle-ci est d’autant plus l´egitime que la taille de la zone conduc-teur CC est en g´en´eral r´eduite.

Cependant, nous mentionnons ici une autre possibilit´e, utilis´ee lors de ce travail. En effet, nous avons jusqu’ici fait l’´economie de d´efinir une structure interne au sous-espace C_C. Dans certains cas, il est cependant possible de d´efinir une structure en forme de chaˆıne 1D, dont seules les extr´emit´es sont coupl´ees auxfils. Ce sera par exemple le cas pour l’´etude du transport dans un nano-fil, un nano-ruban, oua fortiori un brin d’ADN.

Dans ce cas, il sera possible d’utiliser la mˆeme m´ethode que pour les ˜G_L/R(z), sachant que la formule de Fisher-Lee g´en´eralis´ee ne requiert la connaissance que de l’´el´ement de matrice

P_C^(L) CGr C_C(z)P_C^(R) C et de son conjugu´eP_C^(R) C Ga C_C(z)P_C^(L) C, o`u lesP_C^(L/R)

C sont les projecteurs sur les sous-espaces deCC coupl´es aux parties L/R.

En d´epit du fait que l’applicabilit´e de cette m´ethode soit moins grande que celle de l’inversion directe, il faut noter que le calcul est d’ordreN (contreN3dans le cas de l’inversion directe) avec la taille de la zoneconducteur, permettant ainsi de traiter des syst`emes beaucoup plus grands. Cette m´ethode se montrera d’ailleurs pr´ecieuse dans le calcul des oscillations de Fabry-Perot dans les nano-rubans de graph`ene.

3.6 Conclusion

Nous avons, dans ce chapitre, d´evelopp´e une nouvelle approche exacte du calcul des r´esistances de contact, fond´ee sur une g´en´eralisation du concept de canal de Landauer en canal effectif de conduction. Cette approche est g´en´erale et peut en principe s’appliquer `a tout syst`eme dont le Hamiltonien est exprim´e sur une base locale orthonorm´ee.

M´ethode des canaux effectifs et formule de Fisher-Lee g´en´eralis´ee 73

Notre approche permet un calcul exact des canaux effectifs de conduction, par la m´ethode de la r´ecursion matricielle. Les coefficients de la r´ecursion matricielle d´efinissent l’ensemble desfils

ainsi que des contacts du formalisme de Landauer. Les deux calculs de r´ecursion n´ecessaires `a l’obtention de ceux-ci de part et d’autre de la zoneconducteur permettent de d´efinir un syst`eme effectif de dimension en pratique tr`es faible compar´ee `a celle de l’espace de Hilbert complet, sans pour autant constituer une approximation.

De plus, dans le cas du transport non-interagissant, nous nous sommes bas´es sur la structure unidimensionnelle des chaˆınes de r´ecursion pour d´eriver une formule de Fisher-Lee g´en´eralis´ee. Cette formule permet, d’une part, une interpr´etation physique plus conforme `a la formulation de Landauer que la formule de Fisher-Lee initiale, ainsi qu’un coˆut calculatoire drastiquement r´eduit, tout en offrant une analogie formelle tr`es forte.

Sur le plan de l’impl´ementation pratique, cette m´ethode est parfaitement compatible avec les sch´emas de calcul de la structure ´electronique, que ceux-l`a soientab initio ou liaisons fortes.

Sur le plan du coˆut calculatoire, cette m´ethode requiert, une fois le Hamiltonien connu, de faire 2 calculs suppl´ementaires que sont les calculs des canaux effectifs `a «droite»et `a «gauche»de la nano-jonction, avant de proc´eder au calcul de la conductance. Ces deux calculs sont d’ordre

N avec la dimension de l’espace de Hilbert total_tot, et varient enn2

ef f o`un<sub>ef f</sub> est le nombre de canaux effectifs. Ce surcoˆut calculatoire est ais´ement compens´e par les cons´equences sur le calcul de la conductance, de la structure unidimensionnelle des chaˆınes de r´ecursion. Cette structure permet ainsi un calcul de conductance d’ordreN vis-`a-vis de la taille du syst`emefil-conducteur

-fil, et varie enn2

ef f.

La faiblesse actuelle de la m´ethode r´eside principalement dans le calcul des Σ_L/R et Γ_L/Rdes

contacts, `a partir de coefficients de r´ecursion certes converg´es mais non-constants. La r´esolution de ces difficult´es, par exemple au travers des voies propos´ees plus haut, permettrait imm´ediatement un usage tr`es ais´e par l’ensemble de la communaut´e, y compris les non-sp´ecialistes.

Cette approche sera appliqu´ee au chapitre suivant, dans le cadre des nano-rubans de graph`ene. Elle permettra entre autres choses une mise en ´evidence d’effets de r´esistance de contact qui n’´etaient pas calculables par les m´ethodes traditionnelles.

Transport ´electronique dans le

Graph`ene

4.1 Introduction

Nous pr´esentons, dans ce chapitre, les r´esultats de deux ´etudes, portant sur les propri´et´es de transport du graph`ene. La premi`ere se consacre `a l’explication des propri´et´es de magn´ eto-transport du graph`ene ´epitaxi´e, tandis que la seconde traite de la transmission des constrictions nanom´etriques `a base de graph`ene.

Si cette th`ese portait jusqu’ici sur des aspects th´eoriques et m´ethodologiques du transport quantique, le pr´esent chapitre se consacre enti`erement `a l’´etude des propri´et´es de transport de ce mat´eriau, synth´etis´e pour la premi`ere fois en 2004. Le d´ebut de ce travail de th`ese co¨ıncide ainsi avec les premi`eres synth`eses exp´erimentales de ce mat´eriau, et avec le formidable engouement de la communaut´e qui s’en est suivi.

La d´ecouverte d’un nouvel allotrope du carbone, que cela fˆut dans le cas des fuller`enes ou des nanotubes, a toujours ´et´e un ´ev´enement majeur pour la communaut´e scientifique. En effet, en plus des formes «naturelles» que sont le graphite et le diamant, l’enthousiasme associ´e `a la d´ecouverte des fuller`enes en 1985 puis des nanotubes en 1991, a ´et´e renforc´e par le fait que les formes carbon´ees ont jusqu’ici toujours pr´esent´e des propri´et´es remarquables et ´etonnantes, qu’elles soient ´electroniques, m´ecaniques ou autres. Sur ce point, le graph`ene n’a pas d´erog´e `a la r`egle, ayant pr´esent´e d`es sa synth`ese des propri´et´es de coh´erence remarquables ainsi que des mobilit´es ´electroniques tr`es importantes, auxquelles s’ajoute en 2006 l’observation de l’effet Hall quantique anormal `a temp´erature ambiante.

Le graph`ene pr´esente l’originalit´e d’avoir eu ses propri´et´es ´etudi´ees depuis de nombreuses ann´ees avant sa synth`ese. Les premiers calculs sont ainsi dus `a Wallace en 1947, qui cherchait alors `a d´eriver la structure ´electronique du graphite `a partir de celles de ses feuillets individuels, les plans de graph`ene. De mˆeme, les travaux sur les nanotubes et les fuller`enes avaient entrain´e dans leur sillage des ´etudes sur leur forme sans courbure, celle de plans de graph`ene adjoints de conditions p´eriodiques.

Dans ce contexte, la synth`ese de ce mat´eriau bi-dimensionnel, que l’on croyait jusqu’alors im-possible pour des raisons de stabilit´e thermodynamique, a ´et´e un v´eritable coup de tonnerre dans la communaut´e. En effet, les r´esultats th´eoriques pr´ec´edents avaient d´ej`a mis en ´evidence que les ´electrons dans le graph`ene pr´esentaient la particularit´e d’ob´eir `a une relation de dispersion lin´eaire. Celle-ci leur conf`ere des propri´et´es intrigantes et contre-intuitives, aux analogies fortes avec la physique des hautes ´energies et l’´electrodynamique quantique. Bien que la vitesse des ´

electrons (10⁶m.s⁻¹) dans le graph`ene n’en fasse pas des particules relativistes, l’´equation effec-tive d’un ´electron `a proximit´e de l’´energie de Fermi pr´esente ainsi une ressemblance formelle avec l’´equation de Dirac de particules de masse nulle. Celle-ci est, de plus, particuli`erement ais´ee `a d´eriver dans une cellule ´el´ementaire ne contenant que deux orbitales. L’ensemble de ces attributs font du graph`ene un formidable terrain de jeu pour le monde de la physique th´eorique.

De plus, la nature surfacique du graph`ene laisse pr´esager de la fabrication de dispositifs pouvant exploiter les propri´et´es pr´ec´edentes. Le graph`ene pr´esente ainsi l’avantage intuitif, en

Transport ´electronique dans le Graph`ene 75

regard des nanotubes et des fuller`enes, de pouvoir s’int´egrer avec plus de facilit´e aux processus de lithographie actuels. Dans ce contexte, les longueurs de coh´erence tr`es importantes du mat´eriau font rejaillir les rˆeves d’une ´electronique coh´erente, attirant l’attention et les efforts du monde de la physique appliqu´ee.

C’est donc tout naturellement que nous nous sommes orient´es vers l’´etude des propri´et´es de transport de ce mat´eriau.

Nous avons eu la chance, lors de ce travail, de b´en´eficier de fortes collaborations d´ej`a existantes au sein du groupe, avec l’un des groupes pionniers de la synth`ese du graph`ene, `a savoir l’´equipe de Walt de Heer au Georgia Institute of Technology, `a Atlanta. Ce groupe a d´evelopp´e une des deux voies«historiques»de synth`ese du graph`ene, `a savoir celle de l’´epitaxie sur des substrats de carbure de silicium, l’autre ´etant l’exfoliation par clivage micro-m´ecanique. Si le syst`eme obtenu par ´epitaxie pr´esente un grand nombre de propri´et´es communes avec l’abstraction th´eorique d’un plan de graph`ene isol´e, ses propri´et´es de transport montrent des diff´erences notables avec celles d’´echantillons obtenus par exfoliation.

Notre premi`ere ´etude intervient dans ce contexte de compr´ehension des propri´et´es de magn´ eto-transport exp´erimentales du graph`ene ´epitaxi´e. En sus des collaborations avec le groupe d’At-lanta, elle a b´en´efici´e des expertises, au sein de l’Institut N´eel, concernant les propri´et´es ´electronique et structurale du graph`ene ´epitaxi´e. Elle a permis d’expliquer qualitativement les comportements principaux observ´es dans ce syst`eme complexe.

Dans un second temps, notre travail s’est concentr´e sur la pr´ediction de la conductance de dispositifs nanom´etriques `a base de graph`ene. L’originalit´e de notre ´etude provient du fait, qu’en plus de plusieurs types de constrictions nanom´etriques, nous avons ´etudi´e les effets de r´esistance de contact dans de tels dispositifs. Ce travail a constitu´e une premi`ere application de notre m´ethode de calcul des r´esistances de contact. Elle a permis de montrer qu’en d´epit de l’ho-mog´en´eit´e chimique des contacts et des dispositifs nanom´etriques, l’injection des ´electrons dans ceux-ci tient encore un rˆole central dans la caract´eristique de conductance, et donne naissance `a une physique tr`es riche.

Les deux parties de notre travail, magn´eto-transport sur le graph`ene ´epitaxi´e et transport dans les nano-constrictions, sont compl`etement s´epar´ees, et peuvent ˆetre lues de fa¸con ind´ependante. Apr`es une rapide introduction expliquant les propri´et´es ´electroniques du graph`ene isol´e qui seront n´ecessaires `a la suite de l’´etude, nous donnons un bref aper¸cu du contexte exp´erimental, en pr´ecisant les m´ethodes de synth`ese disponibles `a ce jour. Cette description des m´ethodes de synth`ese et des propri´et´es structurales des syst`emes obtenus nous permettra d’aborder la premi`ere partie de notre travail : l’´etude du magn´eto-transport dans le graph`ene ´epitaxi´e sur le carbure de silicium. Ce travail a ´et´e fait en forte collaboration avec des exp´erimentateurs du groupe de Walt de Heer au Georgia Institute of Technology, `a Atlanta. Puis nous aborderons la deuxi`eme partie de notre travail sur le graph`ene, `a savoir l’´etude des propri´et´es de transport de constrictions nanom´etriques de graph`ene. `A la diff´erence de la section pr´ec´edente, cette partie ne vient pas `a l’appui de mesures d´ej`a r´ealis´ees, et constitue un travail th´eorique autonome. Ce travail constitue la premi`ere application de la m´ethode de calcul des r´esistances de contact d´evelopp´ee au chapitre 3.

4.2 (Quelques) propri´et´es du graph`ene

Bien que nous n’ayons pas l’intention, dans ce chapitre, de nous lancer dans une ´enum´eration des (tr`es) nombreuses propri´et´es pr´edites ou observ´ees du graph`ene, nous nous permettons de donner une description succincte de la structure ´electronique, et de la description en liaisons fortes du plan de graph`ene isol´e. Outre sa simplicit´e et sa pr´ecision en regard de calculs plus per-fectionn´es, cette derni`ere pr´esente l’int´erˆet de permettre d’introduire des propri´et´es non-intuitives comme le pseudo-spin et la d´ependance non-triviale en champ magn´etique des ´electrons dits de Dirac. Nous terminons cette section en mentionnant le contexte exp´erimental et les voies de synth`ese actuelles du graph`ene, ce qui nous permettra d’introduire la structure du graph`ene ´

a a 1 2 b b 1 2 K Γ k k x y 1 2 3 M δ ^δ δ A B K’

Fig.^{4.1 – R´eseau de Bravais et premi`ere zone de Brillouin du graph`ene isol´e.}