4.3 Transport ´ electronique dans le graph` ene ´ epitaxi´ e
4.3.4 Effets du couplage inter-plan sur la structure ´ electronique
4.3.4.1 Influence de R
Dans cette partie, nous nous concentrerons sur le voisinage de l’´energieEL0, ´energie du niveau de Landau n= 0 : z = EL0+i. Nous n’avons par la suite pas besoin de consid´erer que EL0
soit strictement ´egale `aEF, cependant, ´etant donn´e que le niveau de Landaun= 0 est `a moiti´e rempli,EL0 est dans les faits toujours proche du niveau de Fermi.
La limite `a grandR donne :
G1(z=EL0+i)' −iπn0 (4.23) et ainsin1(EL0)'n0
D’apr`es les ´equations (4.18) `a (4.22), cela arrive quand
|ImΣ1(EL0+i)|/~ω >>1 (4.24) Dans cette limite, les parties r´eelles des Self-´energies et des fonctions de Green ReG1/2(EL0+
i) et ReΣ1/2(EL0+i) sont n´egligeables.
Utilisant l’identit´e ~/τ = 2ImΣ, o`u τ est le temps de vie ´electronique, on peut ´ecrire les ´
equations SCBA dans une forme identique `a la r`egle d’or de Fermii.e.:
~ τ1 = ~ τ1,1 + 2πV2n2 (4.25) ~ τ2 = ~ τ2,2 + 2πV2n1 (4.26) O`u les densit´es d’´etats sont
n1 ' n0 (4.27)
n2 = RN(B)2τ2
π~ (4.28)
Ces ´equations nous permettent d’obtenir le taux de diffusion dans le plan dop´e :
~ τ1 ' ~ τ1,1 +2R π ~ω 1 +α (4.29) avec α= ~/τ2,2 2πV2n0 (4.30)
α correspond au rapport des ´elargissements du niveau de Landau n = 0 du plan «2 »
cons´ecutifs respectivement au m´ecanisme de diffusion intra-plan~/τ2,2et au couplage inter-plan 2πV2n0.
On voit que le taux de diffusion dans le plan dop´e est logiquement l’addition de deux termes : le taux de diffusion intra-plan dans le plan dop´e ~/τ1,1, et le taux de diffusion cons´ecutif au couplage avec le plan«2».
Ce dernier terme est proportionnel `a ~ω et le taux de diffusion total dans le plan dop´e
d´epend donc lin´eairement du champ magn´etique. Le couplage inter-plan dans la limite `a grandRnous permet donc d’obtenir un m´ecanisme de diffusion compatible avec le comportement exp´erimental.
Si l’on s’int´eresse aux plans non dop´es au travers du termeα, la largeur du niveau de Landau
n= 0 est due `a~/τ2,2et 2πV2n0,i.e.au d´esordre dans le plan«2»et au couplage avec le plan
«1»dans la limite o`u sa densit´e estn0. On voit ainsi que le d´esordre dans le plan«2»(~/τ2,2) tend `a diminuer le taux de diffusion dans le plan dop´e, tandis que le d´esordre dans le plan«1»
~/τ1,1tend `a l’augmenter.
En effet, la diffusion par le plan«2»est favoris´ee par une grande densit´e d’´etats dans le plan
«2», tandis que le terme~/τ2,2agit de sorte `a r´eduire cette densit´e.
Si α >>1, le couplage entre les plans«1» et «2»n’a globalement pas d’effet (i.e.ωτ1'
ωτ1,1), mais dans la limite oppos´eeα <<1 le taux de diffusion pour un ´electron dans le plan«1»
la diffusion dans le plan «2» permet donc de retrouver la saturation du produitωτ1 observ´ee dans deux des ´echantillons.
Si l’on essaie de comprendre d’o`u provient cette d´ependance en champ magn´etique, ce m´ecanisme de diffusion peut s’interpr´eter dans des termes de r`egle d’or de Fermi : les matrices de saut|V|2
entre les plans«1»et«2»sont constantes avec le champ magn´etique, cependant que la densit´e d’´etats dans le niveau n= 0 augmente lin´eairement. En effet, la d´eg´en´erescence des niveaux de Landau du graph`ene varie en 4eB/h.
On voit ainsi que notre mod`elea minima nous permet de retrouver, dans la limite de grand
R, un m´ecanisme de diffusion dont l’intensit´e croˆıt avec le champ magn´etique. De plus, pour une intensit´e de couplage V comparable `a la diffusion intra-plan dans le plan «2», on retrouve la saturation `a fort champ du produitωτ1. Il est important de signaler que ce m´ecanisme de diffusion est provoqu´e `a la fois par le caract`ere multi-couche du syst`eme mais aussi par la non-d´erive en champ magn´etique du niveau de Landaun= 0 -caract´eristique du graph`ene isol´e- : c’est-`a-dire exactement par les sp´ecificit´es du graph`ene sur SiC (000¯1). Notre mod`ele ne permettrait pas de retrouver un r´esultat similaire sans celles-ci.
Il nous reste d´esormais, dans la limite de grandR, `a examiner la s´eparation entre niveaux de Landau dans le plan«1». Celle-ci est en effet un pr´erequis `a l’apparition d’oscillations de Shubnikov-de Haas dans la r´esistivit´e longitudinaleρxx, et,a fortiori, de l’observation de l’effet Hall quantique.
Si l’on ´etudie plus en d´etail l’apparition du r´egime de densit´e uniforme en ´energie (et donc incompatible avec des oscillations de Shubnikov-de Haas) :
G1(z=EL0+i)' −iπn0 (4.31) On voit qu’il survient syst´ematiquement pour des valeurs suffisamment grandes deR.
En effet, si l’on se place dans le cas le plus propice `a la bonne quantification des niveaux de Landau (qui est aussi le cas le plus simple `a ´etudier analytiquement), c’est-`a-dire ~/τ2,2 = ~/τ1,1= 0, on voit, d’apr`es les ´equations (4.18) `a (4.22) :
G1(z=EL0+i) =G1,0(z−RN(B)
G1(z)) (4.32) Cette ´equation est ind´ependante de la force du param`etre de couplageV, et dans ce casn1/n0
et 2ImΣ1/~ω= 1/ωτ1 sont seulement fonctions deEL0/~ω etR. Nous nous trouvons donc dans la limite o`u seule la position relative du niveau de Landaun = 0 compte. Cette position varie entre un niveau align´e sur des niveaux de Landau du plan «1» : EL0/~ω = 0, 1,· · ·; et un niveau de Landaun= 0 entre les niveaux du plan«1»: 0< EL0/~ω <1.
Les oscillations de Shubnikov-de Haas apparaˆıtront dans le syst`eme quand la densit´e de porteurs du syst`eme `a l’´energie de Fermi variera beaucoup avec le champ magn´etique, c’est-` a-dire lorsque le rapportn1(EF)/n0variera beaucoup en fonction de la position relative du niveau de Landaun= 0. Les cas extrˆemes sont, bien entendu, les cas align´e et au milieu de deux niveaux du plan«1», soitEL0/~ω= 0 etEL0/~ω= 1/2.
Par ailleurs, si l’on condid`ere ces cas sym´etriques o`u le niveau de Landau n= 0 est align´e avec un niveau du plan «1», et le cas o`u le niveau de Landaun = 0 est entre 2 niveaux du plan «1», ce qui, par sym´etrie, assure que les parties r´eelles des Self-´energies et des fonctions de Green sont strictement nulles, le cas est soluble analytiquement.
On peut ainsi d´eduire la variation de n1(EF)/n0 en fonction de R. Le r´esultat est montr´e dans la figure (4.12).
Pour les grands R, typiquement R & 1.5−2, on obtient n1(EF)/n0 ' 1. `A ce point la diff´erence entre les cas pourtant extrˆemes o`u le niveau de Landau n= 0 est plac´e entre deux niveaux du plan«1»et en correspondance avec un niveau«1» devient n´egligeable : la densit´e d’´etats dans le plan«1»induite par la diffusion dans le plan«2»est `a peu pr`es constante. Par ailleurs, cette valeur deR est aussi le crit`ere pour le r´egime de forte diffusion par le plan «2». Dans ce cas on obtient la limite~/τ1 '2R/π~ω, i.e.ωτ1 =π/2R, ainsi que des oscillations de Shubnikov-de Haas inexistantes.
Une autre remarque est que, pourR= 1 et pourEL0/~ω= 0, la densit´e d’´etats dans le plan
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Fig.4.12 – Comportements de la densit´e et du produitωτ en fonction deR. Gauche : valeur de
n1(EF)/n0pourEFen correspondance avec un niveau du plan«1»,EL0/~ω= 0 (ligne continue) et pourEFentre 2 niveaux du plan«1»EL0/~ω= 1/2 (ligne en pointill´es). Droite : Mˆeme chose pour le produitωτ. Le produitωτ obtenu de la sorte correspond aux valeurs exp´erimentales `a fort champ. La difference entre les courbes des rapportsn1(EF)/n0 est directement proportionnelle `
que dans les niveaux de Landau du plan «1». Cela implique la pr´esence d’´etats non coupl´es dans le plan«1»et donc une densit´en1(EF) infinie.
Nous voyons ainsi que, postuler une valeur de Rsup´erieure `a 1,5 dans notre mod`ele permet de reproduire l’ensemble des grandes lignes du comportement exp´erimental, sans faire varier la valeur deV. Le seul postulat ´etabli sur celle-ci est pour l’instant que le termeαne diverge pas. Nous allons maintenant examiner l’influence pr´ecise deV.