Stockage

Comme nous l’avons dit plus haut, l’information multi-échelles de visibilité peut prendre la forme de constantes ou de distributions directionnelles. Alors que le stockage d’une ou plusieurs constantes par cluster a une incidence faible sur le coût mémoire de notre méthode, la représentation de plusieurs fonctions directionnelles pour chaque cluster peut s’avérer coûteuse.

Pour une efficacité optimale de notre algorithme de calcul du facteur de forme, la mé-thode de stockage que nous employons doit répondre aux conditions suivantes : l’infor-mation multi-échelle de visibilité doit (a) être représentée de façon à permettre un accès rapide lors du calcul des facteurs de forme et (b) occuper le moins de place possible en mémoire.

Ces deux conditions sont par nature opposées. En effet, la manière de représenter une fonction de façon à faciliter au mieux le calcul de ses valeurs est de l’échantillonner. C’est également la méthode la plus gourmande en place mémoire. A l’inverse, représenter une fonction directionnelle comme combinaison linéaire sur une base de fonctions simples, offre souvent un taux de compression très intéressant, mais ralentit considérablement l’ac-cès à ses valeurs. En ce qui concerne les fonctions directionnelles, on utilise le plus souvent une base d’harmoniques sphériques [SDS95] (voir également l’annexe A), ou d’ondelettes sphériques [SS95].

L’expérience montre qu’autant en dimension deux qu’en dimension trois, les fonctions directionnelles relatives à la visibilité d’un groupe d’objets peuvent être extrêmement ir-régulières. Elles se prêtent donc très mal à une représentation dans une base de fonctions comme les harmoniques sphériques, et tendent à provoquer de l’effet de Gibbs autour des discontinuités. En revanche les ondelettes sphériques de faible degré permettent une repré-sentation assez fidèle de ce type de fonction. Pour les raisons d’efficacité citées plus haut, nous avons choisi dans notre implémentation en dimension deux, n’étant pas limité pas la place mémoire, d’utiliser une représentation échantillonnée selon un nombre variable de directions des différentes quantités directionnelles intervenant.

3.7 Conclusion

Nous avons présenté une méthode générale de contrôle de l’erreur dans le calcul du facteur de forme entre deux surfaces, basée sur le pré-calcul et le stockage d’informations de visibilité à tous les niveaux de la hiérarchie des obstacles qui séparent ces surfaces. Grâce à ces informations multi-échelles de visibilité, notre l’algorithme est capable de décider

automatiquement de la profondeur de l’exploration de la hiérarchie des sous-obstacles de manière à produire un résultat dont l’erreur est inférieure à un seuil fixé à l’avance.

Pour une implémentation particulière, il nécessite cependant la spécification d’une ap-proximation de la visibilité à travers un obstacle donné ainsi que le calcul explicite de bornes d’erreur associées à l’utilisation de cette information, et enfin une méthode d’esti-mation de corrélation de la visibilité entre sous-obstacles, au sujet desquels nous sommes volontairement restés très généraux.

Nous présenterons au chapitre 4 l’implémentation de notre algorithme dans le cadre de la radiosité en dimension deux, ce qui nous permettra de prouver par l’exemple son effi-cacité. Nous discuterons ensuite au chapitre 5 de son application au cas tri-dimensionnel. Comme le laisse en effet prévoir la différence de complexité géométrique entre la deuxième et troisième dimension, chacun de ces cas nécessite une étude spécifique.

Chapitre 4

Approximation contrôlée des

facteurs de forme en dimension

deux

L

E CHAPITRE3 nous a permi d’exposer le principe général d’algorithmes de calcul contrôlé du facteur de forme entre deux surfaces, par approximation de la visibi-lité à travers les obstacles qui séparent ces surfaces. Dans le présent chapitre, nous décrivons l’application de ces algorithmes au calcul contrôlé des facteurs de forme dans le cadre de la radiosité en dimension deux. Nous allons donc tout d’abord décrire com-ment fournir une approximation du facteur de forme en approchant la visibilité à travers les obstacles, ainsi que le moyen d’obtenir des bornes sur l’erreur d’approximation. Nous dé-finirons précisément l’information multi-échelles de visibilité permettant de calculer cette approximation ainsi que les bornes d’erreur associées, pour toute configuration de facteur de forme utilisant les obstacles pour lesquels ces informations auront été pré-calculées. Pour finir, nous traiterons de l’estimation de la corrélation entre les sous-obstacles, qui per-met d’effectuer le raffinement du calcul tout en contrôlant la précision. Finalement, nous illustrerons notre méthode par des exemples.

Nous commencerons tout d’abord par une brève introduction à la radiosité en dimen-sion deux en dégageant ses caractéristiques spécifiques.

4.1 La radiosité en dimension 2

La radiosité en dimension deux, a souvent servi de premier domaine d’expérimentation d’algorithmes de calcul de l’éclairage [Ort97, HW91b] : on remarque en effet que la répar-tition de l’énergie lumineuse et les relations géométriques entre les objets sont plus simples à visualiser, les méthodes brutales de calcul utilisées pour produire des solutions de réfé-rence sont généralement plus efficaces et les calculs de facteurs de forme (par exemple en utilisant une intégration par méthode de Monte-Carlo) convergent relativement plus vite. Ces raisons font que les algorithmes sont en moyenne plus faciles à mettre au point en dimension deux, et nous bénéficierons dans ce chapitre des divers avantages de cette ap-proche.

Comme en dimension trois, nous verrons que le problème de calculer la radiosité en dimension deux conduit à une équation intégrale, dont on ne connaît par ailleurs de solu-tion analytique que dans un nombre très restreint de cas simples. Plusieurs approches ont été développées pour résoudre le problème, utilisant par exemple une méthode de Monte-Carlo [VFGP93], des éléments finis [HW91b], ou encore une méthode de collocation [Atk]. Des études plus poussées concernant les discontinuités de divers ordres ont également

été menées [HW91b, Atk]. Enfin, des outils spécifiques ont été développés, comme par exemple le complexe de visibilité 2D [ORDP96].

On pourra remarquer que le problème du calcul de la radiosité en dimension deux est équivalent au problème tri-dimensionnel obtenu en prolongeant infiniment la géométrie le long de la normale au plan de l’espace plat, ce qui justifie dans une certaine mesure son étude en vue d’approximations grossières du calcul dans des situations tri-dimensionnelles particulières.

Nous commencerons notre étude par quelques définitions, avant d’entrer dans le vif du sujet.

4.1.1 Définitions

Nous définissons dans cette section quelques notations essentielles, intervenant dans la modélisation de l’équilibre des échanges lumineux en dimension deux.

(a) Les objets du monde plat

En dimension deux, les objets sont délimités par des courbes de dimension un. Dans le cadre d’une simulation informatique des interactions lumineuses nous nous limitons donc à des courbes polygonales bornées. Les objets du monde deux-dimensionnel sont donc des segments.

Par convention, chaque segment admet une face extérieure et une face intérieure, défi-nies par l’orientation du segment. Dans une scène correctement constituée les faces inté-rieures ne reçoivent jamais de lumière, comme dans l’exemple indiqué sur la figure 4.1.

Enfin, nous modélisons par ailleurs les rayons lumineux par des droites du plan.

FIG. 4.1: Exemple de scène à deux dimensions. Les segments sont orientés. Seules les faces

extérieures (i.e celles situées sur le coté droit) reçoivent de la lumière.

(b) Coordonnées polaires

Les droites du plan sont parametrées, comme indiqué sur la figure 4.2, par un angleθ

et une déviationρ. L’équation cartésienne d’une droite D(ρ;θ)s’écrit donc

,x sinθ+y cosθ=ρ

Nous repérons dans ce contexte les directions par l’angleθcommun à tous leurs repré-sentants.

(c) Mesures dans l’espace des droites

Comme nous l’avons annoncé au chapitre 3, il existe une unique mesure définie sur l’ensemble des droites du plan invariante par le groupe des déplacements du plan [Ort97].

4.1. LA RADIOSITÉ EN DIMENSION 2 71 x 0 r θ y D (r,q)

FIG. 4.2: Repérage d’une droite du plan par ses coordonnées polaires

Pour un ensemble

X

de droites du plan, cette mesure s’exprime naturellement en fonction de la paramétrisation des droites que nous utilisons comme :

µ(

X

)= Z

f(ρ;θ)jD(ρ;θ)2Xg

dρdθ (4.1)

En dimension deux, d’élégantes propriétés permettent de plus d’exprimer simplement la mesure de divers ensembles particuliers. Nous en rappelons deux :

Propriété 4 (Santalo [San76]) La mesure de l’ensemble des droites qui rencontrent un

convexe est égale au périmètre de ce convexe.

En considérant un segment comme un convexe dont le périmètre vaut deux fois le dia-mètre, la mesure de l’ensemble des droites qui rencontrent un segment de longueur L vaut alors : µ(S)=2L (4.2) C C C ^Ci 1 2 1 2 e C C

FIG. 4.3: Enveloppe convexe et courbe croisée de deux convexes disjoints. Soient deux convexes bornés C₁et C₂disjoints. On définit alors les courbes C_e et C_i comme étant respectivement la frontière de l’enveloppe convexe de C₁[C₂et de la courbe croisée s’appuyant sur C1et C2, définie sur la figure 4.3. Nous notons également Leet Li

les périmètres respectifs de ces courbes. On montre alors la propriété suivante :

Propriété 5 (Santalo [San76]) La mesure de l’ensemble des droites qui rencontrent deux

convexes disjoints C₁et C₂vaut :

µ(C₁;C₂)=L_i,L_e (4.3)

Nous utiliserons ces propriétés dans le calcul du facteur de forme entre deux segments, notamment dans les cas de visibilité totale.

Dans le document Représentations hiérarchiques de la visibilité pour le contrôle de l'erreur en simulation de l'éclairage (Page 68-73)