Approche a posteriori

Nous présentons dans cette section la méthode d’estimation des bornes a posteriori, introduite par Lischinski et al. en 1994 [LSG94]. Le principe de cette méthode est de définir les itérations suivantes, dont la première est l’itération discrète de propagation de la lumière introduite en 1.1.4.(b). B(n+1) = E+MB(n) B(n+1) = E+MB(n) (2.1) B(n+1) = E+MB(n) (2.2) Avec : B(0) =B(0) =B(0) =E

où les matrices M et M sont obtenues à partir de M en remplaçant chaque facteur de forme par des bornes respectivement inférieures et supérieure du facteur de forme :

F_{i j}F_{i j}F_{i j}

On montre alors que B(n)

, B(n) et B(n) vérifient : 8n B(n) B(n) B(n) (2.3)

2.3. APPROCHE A POSTERIORI 45

Nous allons maintenant rappeler deux résultats importants concernant l’obtention des bornes F_{i j} et F_{i j} sur le facteur de forme, ainsi que la convergence des itérations (2.1) et (2.2).

2.3.1 Obtention des bornes sur le facteur de forme

La méthode d’estimation a posteriori de l’erreur dont nous venons de décrire le prin-cipe requiert des bornes F_{i j}et Fi jsur le facteur de forme. Malheureusement, calculer un encadrement numériquement intéressant de la valeur exacte du facteur de forme Fi j entre deux surfaces Aiet Ajest un problème relativement difficile.

Lorsque la visibilité est totale, et que les surfaces sont polygonales, le calcul de telles bornes ne présente pas d’intérêt théorique puisque l’on connaît une expression analytique du facteur de forme entre deux polygones [SH93]. Il possède cependant un intérêt pra-tique lorsque son coût est suffisamment faible pour contre-balancer avantageusement les approximations.

Les bornes habituellement utilisées peuvent être catégorisées comme suit : on appelle

bornes exactes (ou conservative bounds) les bornes mathématiquement exactes. On appelle bornes approximatives (ou non conservative bounds) celles dont le calcul n’assure pas

l’exactitude, mais qui le sont dans une large mesure. Nous verrons que l’usage de telles bornes est parfois justifié.

(a) Bornes exactes

Dans les cas de visibilité totale, on obtient efficacement des bornes exactes sur le fac-teur de forme à partir des valeurs extrémales du facfac-teur de forme point-polygone F_x;Aj. Lorsque le récepteur est polygonal, cette quantité peut être majorée à l’aide du gradient de l’irradiance aux sommets du récepteur, selon différentes configurations déterminées grâce au signe du déterminant du Hessien de l’irradiance en ces mêmes sommets [Hol96]. La conjecture d’unimodalité (dont nous reparlerons en 7.3.6) est invoquée pour assurer l’exis-tence d’un unique maximum dans le cas d’une source convexe. Lorsque la source n’est pas convexe, elle est remplacée par une source équivalente convexe, aux frais d’approximations supplémentaires [Hol96]. Une méthode du même type est utilisée pour la détermination du minimum.

Lorsque la visibilité n’est que partielle, le calcul du gradient de l’irradiance devient une tâche difficile, mais réalisable [Arv94]. Ne connaissant de plus pas le nombre de ses maxima locaux, le calcul du maximum ou du minimum est alors effectué par une méthode d’optimisation, i.e de descente selon le gradient de l’irradiance, ce qui ne constitue plus une approche purement analytique. Le coût de ces méthodes les rend parfois inutilisables et la détermination de bornes exactes sur le facteur de forme se limite souvent dans les cas de visibilité partielle au choix des valeurs triviales 0 et F₀, où F₀représente le facteur de forme sans occlusion calculé analytiquement.

Les algorithmes que nous présenterons à la partie II permettent notamment d’obtenir de telles bornes.

(b) Bornes approximatives

Le principe général de détermination de bornes approximatives sur le facteur de forme dans les cas de visibilité totale ou partielle, pour une source polygonale A_jest de calculer les valeurs extrémales du facteur de forme point-polygone F_x;Aj sur le récepteur A_i, pour un ensemble d’échantillons x_i. On utilise pour cela des points en nombre suffisant et répartis au mieux, pour que l’encadrement suivant, par ailleurs asymptotiquement exact, soit vérifié le plus souvent possible :

min

i F_xi;A_jF_{i j}max

Dans son implémentation, Lischinski propose d’utiliser cinq points d’échantillonnage par récepteur rectangulaire : un à chaque sommet, et un au centre.

L’intérêt principal des bornes approximatives est leur faible coût, et leur précision moyenne très respectable. Leur inconvénient est qu’elles n’assurent pas d’encadrement ma-thématique de l’erreur d’approximation.

2.3.2 Convergence des itérations

Il est facile de voir à partir des relations (2.1) et (2.2) que chaque composante de B(n)

et

B(n)

croit. Sachant que



B(n) )



nconverge, et grâce à (2.3), on sait que



B(n) 

nconverge. En revanche, on ne sait rien de la convergence de



B(n) 

n. En particulier, l’itération peut diverger dès que l’on a :

ρi

∑

j

F_{i j}1

Pour assurer la convergence des bornes supérieures, Lischinski utilise la méthode sui-vante :

– trier (et renuméroter) tous les liens contribuant à la radiosité d’une feuille donnée de la hiérarchie par ordre décroissant de la radiosité sur l’émetteur.

– calculer la borne supérieure sur la radiosité de la feuille concernée grâce à l’équation suivante : B(n+1) i =E_i+ρi "

∑

∑

L’indice l est défini comme le plus grand indice vérifiant la condition suivante après re-numérotation des indices :

∑

jl

F_{i j}<1

Cette méthode assure la convergence de l’itération puisqu’elle utilise une matrice dont le rayon spectral est par construction strictement inférieur à l’unité. On montre alors que cette méthode de propagation conserve l’encadrement (2.3).

Cette méthode peut également être utilisée pour assurer la convergence de l’itération sur la radiosité elle-même, lorsque l’on n’a pas la relation suivante (Voir la section 1.2.4) :

ρi

∑

j

F_{i j}<1

2.3.3 Utilisation des bornes a posteriori

Les bornes a posteriori fournissent à tout instant un encadrement de la radiosité exacte (i.e calculée avec des facteurs de forme exacts). Elles permettent donc de connaître une borne sur l’erreur d’approximation de la solution obtenue dans l’état de convergence cou-rant. Cet encadrement n’est cependant pas mathématiquement exact dans le cas de bornes

approximatives, bien qu’il le soit expérimentalement la plupart du temps [LSG94].

Ces bornes peuvent également servir à la conduite du raffinement, plus précisément à choisir, à partir du moment où un lien doit être raffiné (voir la section 1.2.1.(a)), entre le raffinement de l’émetteur ou du récepteur. Pour raffiner un lien entre un émetteur A_jet un récepteur A_i, on compare l’erreur due à l’approximation du facteur de forme F_{i j}à celle due à l’approximation de la radiosité sur l’émetteur par une valeur uniforme B_j. L’erreur sur le transfert due l’approximation de F_{i j}est mesurée par :