2.4.5 Utilisation pratique
Nous nous plaçons pour commencer dans le cadre de la radiosité classique. Notons N le nombre de surfaces élémentaires, et∆Fmax l’erreur maximale sur les facteurs de forme. Nous avons alors :
ρi
∑
j ∆ Fi jρiNj∆FmaxjNρmaxj∆Fmaxj (2.14) D’où la condition plus forte :
∆Fmax 1,ρmax Nρmax 1 1+ kBk∞ ε =) k∆Bk ∞ε (2.15) Exemple
Nous choisissons les valeurs suivantes, représentatives d’une simulation dans une scène de moyenne complexité :ρmax=0:6, N=1000, ε
kBk∞ =5%. Nous obtenons alors la condi-tion
∆Fmax3:10,5
(a) Algorithme pratique
Au vu de l’exemple que nous venons de décrire, la contrainte de précision sur les fac-teurs de forme apparaît comme assez forte. Cela vient du fait que la majoration (2.14) suppose que l’erreur maximale∆Fmax peut être atteinte par tous les facteurs de forme. La déviation de la solution est donc virtuellement considérée comme résultant de l’accumula-tion de toutes ces erreurs potentielles.
Une utilisation plus intelligente des conditions (2.12) et (2.13) correspondrait par exemple à comptabiliser les erreurs sur les facteurs de forme contribuant à la radiosité d’une feuille donnée (une ligne de la matrice∆F en radiosité classique, et P∆FQ en radiosité
hiérar-chique) et imposer que leur somme vérifie la condition (2.12) (ou (2.13)). Cela permettrait une bien meilleure répartition des erreurs, sachant que pour la plupart des éléments de la ligne, l’erreur de calcul est nulle (par exemple dans les cas de visibilité totale) ou très en dessous du seuil imposé par (2.15). Nous n’avons pas encore exploré cette voie, qui parait relativement prometteuse.
2.5 Discussion et conclusion
Nous avons vu deux méthodes d’estimation de l’erreur en radiosité hiérarchique : l’une
a posteriori et l’autre a priori, toutes deux basées sur un encadrement de l’erreur de calcul
du facteur de forme. L’avantage des bornes a posteriori est qu’elles sont en général assez fiables puisqu’elles prennent spécifiquement en compte la solution calculée. En revanche elles ne sont pas compatibles avec le contrôle de l’erreur puisqu’elles ne permettent pas d’en connaître la cause. A l’inverse, les bornes a priori offrent la possibilité d’un contrôle de l’erreur sur la solution, mais sont généralement plus pessimistes, puisque dans une large mesure indépendantes des conditions initiales.
La méthode d’estimation de l’erreur a posteriori introduite par Lischinski et al., ainsi que la méthode d’estimation a priori que nous avons proposée, motivent le développement d’un algorithme de contrôle de l’erreur dans le calcul des transferts d’énergie, c’est à dire un algorithme capable d’assurer une précision donnée sur le résultat du calcul du facteur de forme. L’usage d’un tel outil dépend cependant du type d’estimation de l’erreur utilisé : dans le cadre d’une estimation a priori de l’erreur, l’utilisateur impose une précision donnée sur la solution, laquelle se traduit par un critère de précision sur le calcul du facteur de
forme, que doit respecter l’algorithme de calcul contrôlé. S’il s’agit d’une estimation a
posteriori, l’algorithme de calcul contrôlé du facteur de forme retourne la meilleure valeur
obtenue accompagnée de bornes d’erreur qui sont ensuite utilisées pour borner l’erreur sur la solution.
Nous expliquerons aux chapitres 3, 4 et 5 un système de calcul contrôlé du facteur de forme permettant la production de bornes conservatives en radiosité hiérarchique.
Au chapitre 2, nous avons étudié l’impact des approximations des facteurs de forme sur la solution de l’équation discrète de radiosité. Nous avons vu d’une part qu’assor-tir le calcul des facteurs de forme d’une borne sur l’erreur d’approximation permet d’effectuer une analyse a posteriori de l’erreur sur la solution du système linéaire. Nous avons montré d’autre part, qu’une analyse a priori de l’erreur globale sur la solution peut permettre d’obtenir une solution réalisant une précision imposée à l’avance, si l’on dispose d’un algorithme de calcul des facteurs de forme capable de fournir une approximation de chaque facteur de forme avec une précision fixée. Dans la deuxième partie de ce document, nous allons développer de tels algorithmes, ba-sés sur une formulation hiérarchique de la visibilité. Le chapitre 3 expose le principe général de ces algorithmes. Nous en proposerons ensuite des implémentations dans le cadre de la radiosité en dimension deux et trois aux chapitres 4 et 5.
Deuxième partie
Calcul contrôlé des facteurs de
forme
Chapitre 3
Contrôle de l’erreur
d’approximation de la visibilité
dans le calcul des facteurs de
forme
U
N ALGORITHMEde calcul contrôlé des facteurs de forme est une méthode permet-tant de calculer un facteur de forme assorti de bornes sur l’erreur d’approximation, ou encore d’effectuer ce calcul le plus rapidement possible, tout en assurant que le résultat ne diffère pas plus qu’une borne imposée, de la valeur exacte du facteur de forme.Nous avons pour cela construit une méthode d’approximation des facteurs de forme basée sur le pré-calcul d’un certain nombre d’informations de visibilité dans la hiérarchie de tous les obstacles possibles [SS96b, SS96a]. Cette information est ensuite utilisée dans chaque calcul de facteur de forme pour accéder à la fois à une représentation approximative du facteur de forme, et à une borne sur l’erreur d’approximation, grâce à un algorithme hiérarchique.
Nous resterons, dans ce chapitre, volontairement très généraux quant aux détails liés à l’implémentation pratique des algorithmes développés, sachant que nous présenterons au chapitre 4 l’implémentation de ces algorithmes dans le cadre de la radiosité en dimension deux, et discuterons au chapitre 5 de leur application au cas tri-dimensionnel.
3.1 Définitions
Nous introduisons dans cette section les notions de mesure d’un ensemble de droites de
l’espace, transmittance et transmittance directionnelle, utilisées tout au long de ce chapitre.
Définition 7 Il existe en deux (resp. en trois) dimensions, une unique mesure définie à un
facteur multiplicatif près, sur l’espace des droites, qui soit invariante par le groupe des déplacements du plan (resp. de l’espace) [San76].
Nous utiliserons la notation suivante, indépendante de la paramétrisation et de la di-mension de l’espace, pour exprimer la mesure d’un ensemble
S
de droites :Z
SdL
De même, la mesure des droites rencontrant un ensemble de points S sera notée :
Z
Nous verrons par ailleurs au chapitre 4 l’expression pratique d’une telle mesure, en dimen-sion deux.
Définition 8 On appelle transmittance d’un objet ou d’un groupe d’objets le long d’une
droite L, le coefficientτ(L)par lequel est multipliée l’intensité lumineuse d’un rayon re-présenté par L et traversant l’objet :
Iout(L)=τ(L)Iin(L)
Pour des objets opaques, la transmittance vaut donc 0 ou 1 selon que le rayon porté par L rencontre l’objet ou pas. Pour des milieux semi-transparents, il est toujours possible de définir la transmittance de cette façon pourvu que la lumière traverse le milieu sans changement de direction ni diffusion. Elle est alors représentée par un réel de l’intervalle
[0;1]. Enfin, étant définie sur l’ensemble des droites de l’espaces, la transmittance est une fonction de quatre variables en dimension trois, et de deux variables en dimension deux.
Définition 9 La transmittance directionnelle d’un objet ou d’un groupe d’objets dans la
direction d est la moyenneτ(d)de sa transmittance, calculée sur l’ensemble des droites parallèles d qui rencontrent sa boîte englobante.
Dans cette définition, nous appelons boîte englobante d’un objet ou d’un groupe d’ob-jets, le plus petit parallélépipède aux cotés parallèles aux axes du repère, le contenant. Dans la pratique, la transmittance directionnelle peut donc être mesurée en projetant orthogona-lement l’objet considéré, ainsi que sa boîte englobante, sur un hyperplan normal à d. La quantitéτ(d)vaut alors le complément à l’unité, du rapport des aires des projections de l’objet et de sa boîte englobante.
Comme son nom l’indique, la transmittance directionnelle est une fonction
direction-nelle, i.e définie sur l’ensemble des directions. Elle prend donc la forme d’une fonction de
deux variables en dimension trois et d’une seule variable en dimension deux.
3.1.1 Expression du facteur de forme en terme de mesures de droites
Comme nous l’avons expliqué au chapitre 1, le facteur de forme entre deux surfaces
Siet Sjreprésente la fraction d’énergie lumineuse qui, quittant Si, atteint Sj. Dans le vide et, en première approximation, dans l’air la lumière se propage en ligne droite. D’autre part sous les hypothèses du modèle Lambertien, l’intensité de l’énergie lumineuse quittant ou rencontrant une surface en un point donné ne dépend pas de la direction incidente du rayon lumineux considéré à la surface. La proportion d’énergie lumineuse qui, quittant une surface Siatteint une surface Sjvaut donc le rapport entre la mesure des droites qui coupent
Siet Sj, et la mesure de celles qui coupent Si:
Fi j= R (L\Si6=/0)^(L\Sj6=/0) dL R L\Si6=/0dL
Nous verrons au chapitre 4 comment s’écrit cette expression dans le cas de la radiosité en dimension deux.
En présence d’obstacles, il faut soustraire de l’ensemble des droites considérées, celles qui rencontrent un des obstacles. En notant C l’ensemble des obstacles situés entre Siet Sj, on a alors : Fi j= 1 R L\Si6=/0dL Z (L\Si6=/0)^(L\Sj6=/0)^(L\C=/0) dL
Cette formulation en termes de mesures de droites a été utilisée par Sbert [Sbe93] et Pellegrini [Pel95] pour le calcul de facteurs de forme par des méthodes d’échantillonnage aléatoire. Nous nous en servirons à la section 3.4 pour exprimer le facteur de forme en présence d’obstacles, en fonction de facteurs de forme considérant des sous-parties de ces obstacles.