2.4 Les réseaux de jonction
2.4.2 SQIF : Superconducting Quantum Interference Filters
Figure 24 : Schéma d’un SQIF série de N SQUIDs
Le SQIF ou (Superconducting Quantum Interference Filter) est une variante du réseau de jonctions Josephson qui consiste à assembler des SQUIDs de surfaces différentes. Lorsqu’ils sont en série, les réponses en tension s’additionnent. Etant donné que la période de la réponse en tension dépend de la surface de boucle, une somme de réponses sinusoïdales de périodes différentes résulte en une réponse non périodique, présentant un anti-pic autour du champ magnétique nul. La Figure 25 illustre une telle caractéristique. Cet effet de « filtrage » de modulations autres que celle à champ nul est à l’origine du mot Filter dans l’acronyme SQIF.
Figure 25 : Schéma de réponses en tension en fonction d’un champ magnétique appliqué pour des SQUIDs DC de différentes surfaces à gauche, et à droite réponse en tension de la somme des réponses de gauche (Saphia Ouanani, 2015) .
En 1997, (Carelli, Castellano, Flacco, Leoni, & Torrioli, 1997) eurent l’idée d’assembler des SQUID de surfaces différentes au sein d’un réseau, afin d’obtenir un magnétomètre absolu. Il est proposé une série de SQUIDS de sensibilités différentes et de mêmes inductances et
51 courants critiques. Ces conditions assurent un point de fonctionnement optimal pour tous les SQUIDs. Pour garder des inductances égales et avoir des sensibilités différentes, l’astuce consiste à utiliser des boucles pour collecter le signal, propres à chaque SQUID. La taille et la forme de chaque boucle garantissent une certaine sensibilité au SQUID qui lui est associé. Par exemple une boucle sous forme de gradiomètre augmente la sensibilité d’une petite boucle, et une simple boucle suffit pour un SQUID de grande taille qui aura plus de sensibilité qu’un SQUID de petite taille.
Une série de SQUIDs de surfaces différentes a été proposée (Häussler, Oppenländer, & Schopohl, 2001) , dont la tension moyenne totale est la somme des tensions de chaque SQUID.
𝑉 = ∑
𝑁𝑛=1〈𝑉
𝑛〉
( 101 ) Avec la tension individuelle de chaque SQUID étant〈𝑉
𝑛〉 = 𝐼
𝑐𝑅√(
𝐼𝑏2𝐼𝑐
)
2−|cos(𝜋
𝜙𝑎𝜙0
)|
2( 102 )
Ici 𝐼𝑐 et 𝑅 sont le courant critique et la résistance des jonctions, 𝐼𝑏 est le courant de polarisation et 𝜙𝑎 est le flux appliqué.
Pour décrire la forme du pic SQIF, (J. Oppenländer, Häussler, & Schopohl, 2001), introduit le facteur de structure, 𝑆(𝐵). C’est une fonction qui rend compte de la sensibilité à un champ magnétique et dépend du choix des surfaces (elle sera détaillée dans une autre partie).
Comme pour les réseaux de SQUID identiques, l’amplitude du signal d’une telle structure est proportionnelle au nombre de SQUIDs en série. La fonction de transfert 𝑉𝐵 = 𝜕𝑉
𝜕𝐵 est proportionnelle à la surface totale du SQIF. En introduisant le facteur de structure Oppenländer inclus l’effet des surfaces des boucles SQUID dans la valeur moyenne de tension d’un SQUID :
〈𝑉
𝑛2〉 = 𝐼
𝑐𝑅√( 𝐽
𝑁)
2− |𝑆(𝐵)|
2 ( 103 )Avec 𝐽𝑁= 𝐼𝑏
2𝐼𝑐 . Cette nouvelle expression indique que la fonction de transfert dépend du choix des surfaces, non seulement de leur taille mais aussi de leur distribution. Par ailleurs il a été montré par simulation que des SQUIDs de surfaces identiques pouvaient montrer une réponse SQIF lorsqu’un champ magnétique est appliqué. Cet effet peut être obtenu lorsque le couplage entre les boucles (l’espacement) varie dans le réseau (Longhini, Berggren, Palacios, In, & De Escobar, 2011). L’emplacement des surfaces dans le réseau a aussi une importance (Longhini, De Escobar, Escobar, In, & Bulsara, 2009).
La densité spectrale de bruit en tension d’un SQIF série est donnée par la relation
𝑆
𝑉= [1 +
1 2(
𝑁𝐼𝑐𝐼𝑏
)
2]
4𝑘𝐵𝑇𝑅𝐷252 Avec 𝑅𝐷 = (1
𝐼𝑐) (𝜕𝑉
𝜕𝐽𝑁) la résistance dynamique du SQIF au point de polarisation 𝐼𝑏. De l’expression (104) on remarque que le bruit en tension est proportionnel à √𝑁. (V. Schultze et al., 2003), (Volkmar Schultze, Ijsselsteijn, & Meyer, 2006), montrent qu’on peut augmenter la sensibilité avec une boucle de concentration de flux.
La densité spectrale de flux 𝑆𝜙 est aussi proportionnelle à N et la densité spectrale en champ 𝑆𝐵 à 1/𝑁.
𝑆
𝜙=
𝑆𝑉𝑉𝐵2 ( 105 )
𝑆
𝐵=
𝑆𝜙𝑆𝑒𝑓𝑓2 ( 106 )
Un autre facteur permettant de décrire le comportement d’un SQIF est la dynamique. Elle est définie par le rapport
𝐷 =
∆𝑉𝐷𝐶𝑚𝑎𝑥√𝑆𝑣 ( 107 )
On caractérise souvent les SQIFs par leur amplitude de pic maximale, ∆𝑉𝐷𝐶 et par leur sensibilité. Cette dernière est définie comme 𝑉𝐵.
Bien que possédant de propriétés très intéressantes, l’électronique à base de supraconducteurs a longtemps été freinée par les difficultés techniques à utiliser la cryogénie dans un environnement autre qu’un laboratoire. La démonstration de mesures SQIF faites à l’aide d’un cryo-réfrigérateur miniature (Joerg. Oppenländer et al., 2005) ouvre la possibilité à l’utilisation des SQIFs dans des applications sortant du cadre de la recherche expérimentale.
Le SQIF série est le plus simple à réaliser, mesurer et modéliser. Théoriquement on pourrait obtenir d’excellentes performances DC avec un simple SQIF série étant donné que la tension moyenne est la somme des tensions des SQUIDs du réseau. Pour citer un exemple de réalisation un SQIF de 2000 SQUIDs en série faits par la technique d’irradiation ionique permit d’obtenir 5 mV d’amplitude et 1000 V/T (S. Ouanani et al., 2016). En réalité il existe une limite technologique, car il n’est pas possible d’assembler des SQUIDs en série à l’infini, l’optimisation des caractéristiques DC d’un tel réseau se voit limitée par la longueur du réseau. D’autre part un tel système est fragile étant donné que le courant qui traverse les SQUIDs n’a qu’un seul chemin possible, un court-circuit ou un défaut peuvent endommager le réseau entier. Pour les mêmes raisons, les réseaux série sont très sensibles aux phénomènes de dispersion, dans une étude (Crete et al., 2018) il a été montré que pour opérer un SQIF avec de la dispersion de courants critiques il est nécessaire de polariser chaque SQUID individuellement, ce qui n’est pas raisonnable, voire possible lorsque l’on travaille avec un très grand nombre de SQUIDs. Si l’on envisage des mesures radiofréquence, le problème de l’adaptation d’impédance se pose. Ce type de réseau a l’avantage de la simplicité mais n’est pas le candidat idéal lorsque l’on souhaite optimiser les performances des SQIFs.
53
2.4.2.2 Réseau parallèle
Figure 26 : Schéma d’un SQIF parallèle de M SQUIDs
Les jonctions Josephson en parallèle ont été étudiées longtemps avant l’apparition des SQIFs. Ce type de réseaux est plus difficile à modéliser, le couplage entre les jonctions Josephson étant plus complexe. Un exemple de Schéma est montré en Figure 26.
Il a été montré, (De Waele et al., 1968) que pour un réseau de M jonctions en parallèle, la figure d’interférence du courant critique en fonction du champ appliqué possède M-1 maxima, et qu’un de ces maxima est prédominant, comme pour des interférences entre fentes d’Young.
Figure 27 : Profils de courant critique en fonction du nombre de jonctions en parallèle. Mesures à gauche et simulations à droite (De Waele et al., 1968).
L’expérience réalisée consiste à relier deux blocs d’étain isolés par un film en mylar. Les deux parties sont connectés par l’intermédiaire de vis en niobium, la pointe de la vis sert de lien faible. Les vis permettent ainsi de choisir combien de liens faibles connecter en parallèle. Dans cette étude la forme des caractéristiques du courant critique en réponse à un champ appliqué a été simulée puis mesurée, la Figure 27 montre à gauche les mesures
54 et à droite des simulations. La tension mesurée est la transformée de Fourier du profil du courant critique.
Ce qui est observé est qu’en disposant jusqu’à 6 jonctions en parallèle, la réponse en tension suit le motif d’interférences analogue aux fentes d’Young. Au-delà les maximas secondaires disparaissent. Dans la Figure 27 à gauche les minimas en tension correspondent aux maximas de courant critique de la partie de droite de la figure. Une autre observation est que l’emplacement des jonctions dans le réseau à une importance. Comme on peut le voir sur la Figure 27, la réponse de 3 jonctions en parallèle est différente dans le cas c) et f) où seulement l’emplacement des jonctions varie. Bien que la ressemblance soit forte, les mesures expérimentales ne se superposent pas exactement aux calculs. La raison est que les effets d’auto-inductance et de mutuelle inductance n’ont pas été pris en compte dans les calculs. Les calculs prédisent une sensibilité améliorée lorsque le nombre de jonctions en parallèle augmente. Ceci revient à réduire la largeur à mi-hauteur du pic principal, ou augmenter sa pente. On a vu que la sensibilité d’un réseau série était définie comme la dérivée de la tension par rapport au champ magnétique. Avec les réseaux parallèles on peut trouver dans la littérature une définition de la sensibilité comme étant la dérivée du courant par rapport au champ magnétique (Jeng et al., 2007). Les deux expressions sont reliées par la résistance dynamique :
𝑉
𝐵= 𝐼
𝐵𝑅
𝑑( 108 ) Avec 𝐼𝐵 = 𝜕𝐼
𝜕𝐵.
Comme nous l’avons vu précédemment on introduit (J. Oppenländer et al., 2001) le facteur de structure caractéristique des SQIF. C’est une fonction qui rend compte de la sensibilité à un champ magnétique et dépend du choix des surfaces. La formule générale est valable pour M jonctions en parallèle. Formule générale :
𝑆
𝑀=
1 𝑀∑
𝐼𝑐,𝑚 𝐼𝑐 𝑀 𝑚=1exp [
2𝜋𝑖 𝜙0∑
𝑚−1𝑛=0〈𝐵, 𝑆
𝑛〉]
( 109 )Dans cette formule 〈𝐵, 𝑆𝑛〉 est le produit scalaire entre le champ appliqué et une surface d’indice n. C’est le flux appliqué à cette surface qui tient compte de l’angle entre le champ appliqué et la surface. Ceci rend compte de l’importance de l’orientation de la surface. L’expression du flux de champ magnétique à travers la surface est :
𝜙𝑎 = |𝐵𝑆| cos 𝛼 ( 110 )
Avec « S » la surface de boucle et 𝛼 l’angle entre le champ appliqué et le vecteur normal à la surface.
La réponse d’un réseau parallèle de SQUID identiques est périodique et équivalente à celle d’un SQUID de surface équivalente à la surface totale du réseau parallèle. Pour que la réponse devienne non périodique, il faut que les surfaces du réseau soient différentes ou différemment orientées. Des surfaces différentes n’est pas une condition suffisante, il faut aussi que les tailles soient incommensurables, c’est-à-dire qu’il n’y ait pas de diviseur commun entre deux tailles de boucle. Autrement le filtrage des modulations n’est pas obtenu.
55 Comme nous l’avons vu plus tôt, le courant à travers une jonction est donné par la relation (37). Pour un réseau de M jonctions en parallèle, d’après les lois de Kirchhoff, le courant total traversant le réseau est :
𝐼 = ∑ [𝐼
𝑐,𝑚sin 𝜑
𝑚+
𝑑𝜑𝑚𝑑𝜏
+ 𝐼
𝑇,𝑚]
𝑀𝑚=1 ( 111 )
Dans cette expression 𝐼𝑇,𝑚 est le courant de fluctuation thermique de la jonction m. La phase d’une jonction m dans le réseau est reliée à celle de sa jonction voisine par la relation
𝜑
𝑚+1− 𝜑
𝑚=
2𝜋𝜙0
𝜙
𝑎,𝑚 ( 112 )Ici 𝜙𝑎,𝑚 est le flux appliqué à la surface d’indice 𝑚, interrompue par les jonctions d’indice 𝑚 et 𝑚 + 1.
La tension aux bornes d’une jonction est celle entre les bornes de polarisation. La tension aux bornes de la première jonction s’écrit
𝑉
1=
ℏ2𝑒
𝜑̇
1 ( 113 )Dans cette dernière expression 𝜑̇1 est la dérivée temporelle de la phase de la jonction d’indice 1. D’après la loi des mailles et la relation (112) on peut déduire la relation entre les tensions de chaque jonction dans le réseau selon la relation
𝑉
𝑚+1− 𝑉
𝑚= 𝜙
𝑎,𝑚̇
( 114 )Pour chaque boucle d’un réseau parallèle, la phase s’ajuste pour que la différence de potentiel soit la même que celle entre les bornes de polarisation.
Dans le cas de petites inductances, la contribution du flux dû aux courants d’écrantage peut être négligée. Dans ce cas, le flux dans les boucles est directement le flux appliqué. La relation (114) est alors la même pour toutes les jonctions et la phase peut se ramener à une expression unique valable pour toutes les jonctions. Alors le réseau se comporte comme une unique jonction dont le courant critique est la somme des courants critiques des jonctions et la résistance leur résistance équivalente.
Pour une polarisation inférieure aux courants critiques des M+1 jonctions, l’expression du courant critique global est
𝐼
𝑐 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑒= 𝑀𝐼
𝑐|𝑆
𝑀|
( 115 )Pour une polarisation supérieure aux courants critiques des M+1 jonctions, la tension aux bornes du SQIF a pour expression
𝑉
𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑒= 𝐼
𝑐𝑅√(
𝐼𝑏2𝐼𝑐
)
2− |𝑆
𝑀|
2 ( 116 )Dans le cas où les inductances des boucles ne sont pas négligeables, il faut tenir compte du flux généré par les courants d’écrantage, et l’inductance mutuelle due aux jonctions adjacentes dans le réseau. Ce cas a été étudié, (Miller, Gunaratne, Huang, & Golding, 1991),
56 et on montre que la forme du courant critique dépends du paramètre d’écrantage des boucles. Plus il est important, plus le pic principal à flux 𝜙𝑎 = 0 est réduit, mais il apparait un nouveau maximum de plus faible amplitude à 𝜙𝑎 = 1/2 et ses multiples.
Nous avons vu que l’amplitude des SQIFs série est proportionnelle au nombre de SQUIDs en série. Pour des réseaux parallèles ceci n’est plus vrai, l’amplitude du réseau équivaut à l’amplitude d’un seul SQUID. Dans l’optimisation des caractéristiques SQIF on ne gagnera pas d’amplitude de tension avec les réseaux parallèles. La sensibilité cependant est proportionnelle au nombre M de SQUIDs en parallèle. L’expression (104) de la densité de bruit en tension est aussi valable pour les réseaux parallèles, ainsi que les expressions de densité de bruit magnétique et en flux. La dynamique est plus faible que pour un réseau série car l’amplitude en tension est indépendante du nombre de SQUIDs dans le réseau. A priori les réseaux parallèles 1D ne sont pas plus avantageux que les réseaux série. L’avantage à utiliser ce type de réseau apparait lorsque l’on souhaite construire des réseaux 2D.
2.4.2.3 Réseaux 2D
Les réseaux 2D sont les plus prometteurs en termes d’optimisation des caractéristiques DC (J. Oppenländer et al., 2003). Ils sont plus robustes à la fabrication et moins sensibles à la dispersion des courants critiques, étant donné que les courants de polarisation ont plus de flexibilité pour se redistribuer. L’avantage majeur est la possibilité d’adapter l’impédance à un circuit de mesure. Avec ce type de circuit il est possible d’inclure un très grand nombre de jonctions dans le réseau. Des dispositifs de 20 000 jonctions step-edge ont été produits (Mitchell et al., 2016) avec une sensibilité de 1530 V/T. Il a été démontré qu’un réseau 2D de SQUIDs haute température critique à une densité de bruit magnétique inférieure à celle d’un SQUID individuel basse température critique (Boris Chesca, John, & Mellor, 2015).
Il existe plusieurs façons d’assembler des SQUIDs dans un réseau 2D. Il est possible de connecter des SQIF série en parallèle, comme on peut le voir sur la Figure 28, ou des SQIFs parallèle en série. Le désavantage de la première configuration est qu’en connectant les réseaux en parallèle il peut se former des boucles qui piègeront du flux de champ magnétique, ce qui risque d’annuler les modulations des SQUIDs du réseau. La deuxième proposition ne présente pas ce problème.
57 Figure 28 : Schémas de deux configurations de réseaux SQIF 2D. A gauche réseau parallèle-série, fait de SQIFs série, connectés en parallèle. A droite réseau série parallèle, fait de SQIFs parallèles connectés en série.
Une troisième configuration est le réseau compact comme représenté sur la Figure 29. Contrairement aux réseaux série-parallèle, les réseaux compacts n’ont pas d’espace qui sépare les SQIFs parallèles. Dans cette configuration les boucles parasites sont évitées. L’effet de focalisation pourrait être plus important pour une structure compacte que pour les autres types de réseaux 2D. L’inconvénient de cette configuration est que le couplage entre les SQUIDs risque d’être important. Des simulations (Dalichaouch, Cybart, & Dynes, 2014) montrent en effet, que lorsque l’on prend en compte la mutuelle inductance, l’amplitude des signaux est diminuée, ainsi que la sensibilité, d’autant plus que les paramètres d’écrantage des boucles sont supérieurs à 1. Des réalisations expérimentales, (Cybart et al., 2012) confirment cette analyse.
Figure 29 : Réseau SQIF 2D sous forme de structure compacte.
D’autres structures sont possibles dans une configuration 2D. Des simulations ont montré qu’une structure triangulaire était possible, (E. A. S. Berggren, Fagaly, & Leese De Escobar, 2015), et pourrait aboutir à un détecteur 3D sous forme de pyramide.
Dans le but d’augmenter la plage de linéarité de la caractéristique tension en fonction du champ appliqué, une configuration astucieuse (V. Kornev, Soloviev, Klenov, & Mukhanov,
58 2008) consiste à disposer des SQIFs série ou parallèle, de façon à ce que le champ appliqué soit opposé d’un réseau à l’autre. On appelle un tel réseau un SQIF différentiel. Un exemple de réalisation (Victor K Kornev, Soloviev, Klenov, & Mukhanov, 2009),(V. K. Kornev, Soloviev, Klenov, & Mukhanov, 2011), (V. Kornev et al., 2014) d’une telle structure est représenté sur la Figure 30. Par le biais d’une ligne de contrôle le flux appliqué est opposé dans les deux parties du réseau différentiel. La caractéristique de tension en fonction du champ appliqué ne présente plus un anti-pic à champ magnétique nul. La plage de linéarité est ainsi augmentée.
Figure 30 : Schéma et caractéristique normalisée de tension en fonction d’un champ magnétique appliqué pour un SQIF différentiel. En haut à gauche, deux réseaux SQIF sont connectés en configuration différentielle, de façon qu’ils voient un flux de champ magnétique opposé. En haut à droite, schéma d’une possibilité de réalisation avec mise en évidence du flux vu par chaque circuit. En bas caractéristique en tension, présentant une large plage de linéarité et pas d’anti pic SQIF (Victor K. Kornev, Soloviev, Klenov, & Mukhanov, 2009).
Les bi-SQUIDs sont également utilisées dans des réseaux 2D afin d’optimiser les caractéristiques tension en fonction du champ magnétique (Longhini et al., 2012), (S. Berggren et al., 2013). Le motif de base du réseau 2D est un assemblage de 2 bi-SQUIDs comme représentés sur la Figure 31. Bien que la réponse en tension du motif de base soit presque triangulaire, celle du réseau entier présente l’anti-pic caractéristique SQIF.
Figure 31 : Schéma et caractéristique tension en fonction du champ appliqué pour une structure de bi-SQUID sous forme de « diamant » (S. Berggren et al., 2013). Dans l’ordre, de gauche à droite : Le schéma d’un motif fait de deux Bi-SQUIDs, schéma d’un réseau de ces motifs, photographie optique d’une réalisation de réseau et mesure de la réponse en tension en fonction du champ appliqué.
59 Pour conclure la description théorique des réseaux de jonctions, le tableau suivant rappelle les caractéristiques DC des différents types de réseaux et les rapports de proportionnalité en fonction du nombre de SQUIDs.
Tableau 5 : Caractéristiques DC des réseaux SQIF. Réseau Amplitude Sensibilité Impédance Bruit en
tension Bruit magnétique Dynamique
Δ𝑉𝐷𝐶 Δ𝑉𝐵 𝑍 √𝑆𝑣 √𝑆𝐵 𝐷 N SQUID en série ∝ 𝑁 ∝ 𝑁 ∝ 𝑁 ∝ √𝑁 ∝ 1 √𝑁 ∝ √𝑁 M SQUID en parallèle ∝ Δ𝑉𝐷𝐶 𝑆𝑄𝑈𝐼𝐷 ∝ 𝑀 ∝ 1 𝑀 ∝ √𝑀 ∝ 1 √𝑀 ∝ 1 √𝑀 N SQUID en série et M SQUID en parallèle ∝ 𝑁 ∝ 𝑁𝑀 ∝ 𝑁 𝑀 ∝ √𝑁𝑀 ∝ 1 √𝑁𝑀 ∝ √𝑀𝑁
60
3 Fabrication et
caractérisation de jonctions
irradiées
Au chapitre précédent nous avons traité des notions générales permettant de comprendre le fonctionnement des dispositifs Josephson. Dans ce chapitre nous aborderons plus en détail la description des jonctions irradiées dans la partie 3.1.
Il est important de s’attarder sur les caractéristiques de ce type de jonction, car cela permettra de mieux comprendre les démarches expérimentales qui seront menées. C’est l’objectif de la partie 3.2. Nous verrons que pour trouver le point de fonctionnement d’une jonction irradiée, plusieurs mesures sont nécessaires. Le banc de mesure ayant servi aux travaux de cette thèse sera aussi décrit dans cette partie, ainsi que le protocole de mesure. En 3.3 sera décrite la méthode de conception de circuits que nous avons étudié. Un masque de lithographie a été conçu, pouvant permettre la fabrication de circuits sur un wafer deux pouces. Dans cet ensemble de circuits, il y a une puce qui permet d’étudier en détail l’inductance des boucles SQUID. Comme elle n’a pas pu être caractérisée, elle ne sera pas décrite dans le chapitre dédié aux mesures DC, et elle sera décrite ici.
Enfin en 3.4 seront décrites les différentes réalisations technologiques de circuits au cours de cette thèse ainsi que les problématiques rencontrées. Nous finirons par aborder les limites de résolution spatiale liée à la méthode de fabrication employée.