2.2 Accélération par onde de choc
2.2.3 Spectres en loi de puissance
2.3 Injection des particules . . . 32 2.4 Énergie maximale . . . 34 2.4.1 Critère de Hillas . . . 34 2.4.2 Autres eets limitants . . . 34 2.5 Propagation des rayons cosmiques . . . 36
Plusieurs théories ont été développées pour tenter d'expliquer comment sont accélérés les rayons cosmiques qui produisent les rayons gamma. Ces mécanismes doivent être su samment e caces pour reproduire le spectre observé des cosmiques, c'est à dire atteindre des énergies
jusqu'à 1015 eV au moins (correspondant au genou) et suivant une loi de puissance d'indice
2.7 après avoir tenu compte des eets liés à la propagation. Une manière courante d'accélérer des particules peut se faire grâce à un champ électrique. Cependant, comme l'Univers est globalement électriquement neutre, ce type d'accélération n'est possible que localement près de certains objets comme les pulsars ou grâce à la reconnexion magnétique. Nous verrons ce type d'accélération dans la section 2.1.
Un autre type d'accélération des particules se fait par l'intermédiaire de chocs, soit des chocs diusifs où les particules vont subir des ré exions sur des inhomogénéités magnétiques, soit des ondes de choc produites par la propagation de plasma dans le milieu interstellaire. En 1949, Fermi propose l'accélération par diusion sur des inhomogénéités magnétiques, dite
de second ordre, où les particules gagnent de l'énergie à chaque diusion [Fermi 1949]. Le
second mécanisme est l'accélération de premier ordre et met en jeu une onde de choc que les particules traversent à plusieurs reprises, gagnant de l'énergie à chaque passage. Ce processus peut notamment avoir lieu dans les vestiges de supernovae, qui présentent une onde de choc produite par le plasma éjecté lors de l'explosion de la supernova. Ces mécanismes sont décrits plus en détail dans la section 2.2.
Nous verrons ensuite que les mécanismes simpli és ne décrivent pas parfaitement la réalité car les particules accélérées vont avoir une répercussion sur le choc et modi er sa structure. Ces
eets non linéaires sont donc à prendre en compte dans les modèles. En n nous verrons dans quelle mesure les particules peuvent être injectées dans les zones accélératrices, quelle énergie elles sont susceptibles d'atteindre et quels sont les eets limitants à cette énergie maximale.
2.1 Accélération par champ électrique
Les cosmiques (électrons/positrons ou protons) étant des particules chargées, ils peuvent être accélérées grâce à un champ électrique. Cependant, ce type d'accélération n'est possible que si le milieu n'est pas localement électriquement neutre. Cette condition peut être remplie près des pulsars grâce à une diérence de potentiel créée par un dé cit de charge ou par reconnexion magnétique pouvant se produire dans le vent émis par les pulsars ainsi qu'au
sein des noyaux actifs de galaxie [Larrabee 2003]. Ces objets, aussi appelés AGNs pour Active
Galactic Nuclei, seront décrits au chapitre 4.
Nous allons nous intéresser de plus près au cas de l'accélération par champ électrique au voisinage des plusars. Les pulsars sont des étoiles à neutrons en rotation rapide (période de
l'ordre de 0.1 à 1 seconde) et disposant d'un très fort champ magnétique de surface (de 1011 à
1013G). Leurs propriétés seront décrites plus en détail dans le chapitre 4. Les forces électroma-
gnétiques présentes dans l'environnement immédiat du pulsar sont susceptibles d'arracher des particules à la surface de l'étoile à neutron. Supposons que le pulsar est un dipôle fortement magnétisé, dont la direction du champ magnétique ~B est diérente de l'axe de rotation ~Ω. À l'intérieur de l'étoile à neutron, le champ électrique est perpendiculaire au champ magnétique
(~E.~B = 0) [Kawaler 1995]. Mais si l'on considère un dé cit de charges à l'extérieur de l'étoile,
une diérence de potentiel entre la surface du pulsar et sa magnétosphère va se créer. Ainsi, à une distance r du centre de l'étoile, un champ électrique E ∝k (~Ω×~r)× ~B k parallèle au champ magnétique va se développer et permettre aux particules chargées de gagner de l'énergie en
suivant les lignes de champ. La diérence de potentiel est donnée par [Kawaler 1995] :
∆Φ = 3 × 1016 B 1012 G P 1 s −1 V
pour une étoile de rayon 1 km. On a donc un potentiel de l'ordre de 3 × 1016 V pour un pulsar
classique de période 1 s, ce qui est largement su sant pour arracher des particules à sa surface.
L'énergie maximale pouvant être atteinte par une particule de charge Z est [Goldreich 1969] :
Emax = 3 × 1012 Z R 1 km 3 B 1012 G P 1 s −2 eV (2.1)
où R est le rayon du pulsar, B son champ magnétique et P sa période de rotation. Ainsi, dans le
cas des pulsars millisecondes, l'énergie maximale peut en théorie atteindre 1018eV. Cependant,
même à plus basse énergie, la quantité de particules pouvant être accélérées de cette manière reste faible et ne peut expliquer le ux total des cosmiques observé sur Terre.
En n, les théories divergent sur la région où les particules sont accélérées. Diérents mo- dèles sont évoqués : ceux où les particules sont accélérées dans les régions proches des pôles
2.1. Accélération par champ électrique 19
magnétiques du pulsar (voir la revue [Harding 2007]) comme le modèle de calotte polaire dit
Polar Cap [Ruderman 1975, Arons 1979] ou celui Slot Gap [Arons 1983, Muslimov 2003],
et le modèle Outer Gap pour lequel les particules seraient accélérées dans la cavité externe
de la magnétosphère, près du cylindre de lumière [Cheng 1986, Romani 1996]. Les zones d'ac-
célération correspondantes à chaque modèle sont représentées sur la gure 2.1. Cependant, de récents résultats semblent défavoriser les modèles pour lesquels l'accélération a lieu près du
pulsar [Aliu 2011, Parent 2011], ces modèles seront donc seulement détaillés dans l'annexe A.
D'autres modèles ont toutefois été proposés, comme celui du vent strié décrit ci-après.
Figure 2.1 Schéma de la magnétosphère des pulsars représentant les diérentes zones d'ac- célération correspondant aux modèles de calotte polaire (Polar cap) en jaune, cavité à fentes (Slot gap) en rose et cavité externe (Outer Gap) en bleu. Crédit : A. Harding.
Striped wind et reconnexion magnétique
Ce modèle d'accélération de particules au voisinage des pulsars a été proposé plus récemment
(voir par exemple [Coroniti 1990,Michel 1994,Kirk 2002]). Dans ce modèle, l'accélération des
particules aurait lieu en dehors de la magnétosphère, dans le vent relativiste produit par le pulsar.
Le vent émis par le pulsar va créer un objet appelé nébuleuse de pulsar, représenté de façon schématisée sur la gure 2.2. Lorsque le pulsar est situé au sein d'un reste de supernova (SNR pour Supernova Remnant), vestige de l'explosion de l'étoile qui a créé le pulsar, la dynamique de la nébuleuse va être modi ée par la présence d'un choc retour dû à l'interaction des éjectas de l'étoile avec le milieu interstellaire (voir description dans la section 4.1.1). Dans ce cas, la nébuleuse de pulsar présente un choc terminal correspondant à la frontière entre le vent choqué, un plasma chaud émettant en synchrotron, et le vent froid non choqué mais émettant
Figure 2.2 Schématisation d'une nébuleuse de pulsar au sein d'un SNR. Le pulsar et sa magnétosphère sont au centre en rouge. Ce dernier émet un vent froid ultra-relativiste de par- ticules (en vert) qui se propage au sein du reste de supernova, dé nissant la nébuleuse. À la périphérie, les éjectas du SNR interagissent avec le milieu interstellaire en produisant un choc retour (voir section 4.1.1). Cette onde de choc retour va se propager vers l'intérieur de la né- buleuse, choquant le vent de pulsar (en bleu). Le choc terminal correspond à la position de ce choc retour, frontière entre le vent choqué chaud et démagnétisé et le vent froid magnétique non choqué. Crédit : J. Pétri.
peu et donc di cilement détectable (voir gure 2.2). Les particules du vent non choqué peuvent néanmoins émettre des gammas par diusion Compton inverse sur les photons dius du CMB, les photons synchrotron par processus SSC, les photons thermiques en rayons X émis par le pulsar ou le rayonnement optique/UV de l'étoile compagnon dans le cas des systèmes binaires. Les caractéristiques et la dynamique des nébuleuses à vent de pulsar seront décrites plus en détail dans la section 4.1.3.
Si l'on considère les pulsars comme des rotateurs obliques [Bogovalov 1999], le vent du
pulsar va avoir une structure particulière, en spirale comme représentée sur les gures 2.3 et 2.4 (vue en 3D).
Le paramètre de magnétisation σ est dé ni comme :
σ = flux de Poynting
flux d′enthalpie des particules ≡
densit´e d′´energie ´electromagn´etique
densit´e d′´energie cin´etique des particules
Près du pulsar, le champ magnétique est intense et l'énergie cinétique des particules est faible, on a donc σ ≫ 1. Or, dans la nébuleuse c'est la situation inverse : le champ ~B est faible mais les particules chargées sont accéléres à des vitesses ultra-relativistes et rayonnent en synchrotron. On a donc σ ≪ 1. Comment eectuer la transition entre ces deux valeurs extrêmes pour le paramètre de magnétisation et convertir l'énergie électromagnétique en énergie cinétique
capable d'accélérer les particules ? Une solution proposée par Sweet et Parker [Parker 1957,
2.1. Accélération par champ électrique 21
Figure 2.3 En haut : structure des lignes de champ et des couches de courant dans le plan
poloidal du pulsar. En bas : idem dans le plan équatorial. Figure issue de [Bogovalov 1999].
Figure 2.4 Vue 3D de la structure des couches de courant pour un rotateur oblique. À la traversée d'une couche, le champ magnétique est inversé. Cette structure se propage radialement
Figure 2.5 Schématisation du vent de pulsar idéal en fonction de φ = r/rL, rL dénotant le rayon de Larmor des particules. Les bandes grises sont les stries du vent. Le champ magnétique est représenté en trait plein, il est nul à l'intérieur des stries et s'inverse lors de la traversée d'une strie. La densité de particules chargées est représentée en tirets et la pression du plasma
en pointillés. Figure tirée de [Lyubarsky 2001].
de champ magnétique à cause de la résistivité nie du plasma. Elle peut avoir lieu dans les plasmas fortement conducteurs, dans le vent des pulsars ou au sein des jets de galaxies à noyau
actif par exemple [Romanova 1992, Larrabee 2003]. Lors de la reconnexion, le réarrangement
de la topologie du champ magnétique permet de convertir l'énergie magnétique en énergie cinétique et d'accélérer les particules.
Deux types de reconnexion sont possibles : la reconnexion forcée à cause de la compression du plasma par écoulement, et la reconnexion spontanée pour laquelle le plasma est sujet à une instabilité. Cette dernière peut notamment avoir lieu au sein des stries du vent du pulsar. Pour simpli er, on considère la description en coupe du vent strié représentée sur la gure 2.5. Les particules chargées sont concentrées dans les stries, tandis que le champ magnétique y est nul et s'inverse au passage au travers des stries. Les particules vont être accélérées par un champ électrique créé au niveau des stries où le champ magnétique s'annule. Elles vont ainsi gagner une énergie initiale à ce niveau, puis eectuer plusieurs cycles lors desquels elles s'éloignent alternativement de part et d'autre des couches de courant, ramenées au centre par le champ magnétique non nul hors des stries. Elles vont ainsi être accélérées davantage,
proportionnellement à leur énergie de départ [Bulanov 1976]. Cette méthode d'accélération
peut permettre aux électrons d'atteindre de très grands facteurs de Lorentz [Larrabee 2003].
Le choc terminal pourrait aussi être un site favorable à l'accélération des particules chargées
par onde de choc [Hoshino 1992,Gallant 1994] ou également par reconnexion magnétique forcée
[Lyubarsky 2003]. Après étude sur des simulations MHD simpli ées, [Pétri 2007] ont montré
que la reconnexion magnétique devait eectivement être importante au niveau du choc terminal et pourrait donc accélérer e cacement les particules chargées.
2.2. Accélération par onde de choc 23
2.2 Accélération par onde de choc
L'accélération par onde de choc nécessite deux conditions : un choc et des centres de diusion (généralement des champs magnétiques) qui vont permettre aux particules chargées de passer à travers le choc à plusieurs reprises et ainsi d'atteindre des énergies conséquentes.
En pratique, une onde de choc est créée lorsque de la matière se propage plus vite que la vitesse du son dans le milieu. Les ondes de choc astrophysiques sont non collisionnelles, c'est à dire que les collisions entre particules peuvent être négligées par rapport aux interactions entre
les particules chargées constituant le plasma et les modes collectifs du plasma [Drury 1995].
Les uctuations du champ magnétique présent dans le milieu vont jouer le rôle des centres diuseurs, permettant aux particules de traverser à nouveau le choc, gagnant de l'énergie à chaque passage.
On distingue deux types d'accélération par onde de choc : la première est l'accélération
stochastique proposée par E. Fermi en 1949 [Fermi 1949], ou encore appelée Fermi du 2e ordre,
pour laquelle les inhomogénéités magnétiques se déplacent aléatoirement et les particules peuvent être accélérées par des chocs diusifs. La seconde, proposée plus récemment, est l'ac-
célération régulière, ou Fermi du 1er ordre [Fermi 1954]. Nous allons décrire plus précisément
ces deux types d'accélération dans la suite.
2.2.1 Fermi du 2
eordre
Ce type d'accélération peut avoir lieu lorsque les particules chargées entrent en collision avec des nuages magnétisés. En multipliant les ré exions sur les inhomogénéités magnétiques comme schématisé sur la gure 2.6, celles-ci peuvent gagner de l'énergie petit à petit.
Figure 2.6 Schématisation de l'accélération de Fermi du 2ème ordre : la particule de vitesse
v entre en collison avec une inhomogénéité magnétique se déplaçant à la vitesse V, puis est
A n de calculer le gain moyen en énergie correspondant à ce type d'accélération, on consi- dère que le nuage magnétisé se déplace à la vitesse V et que cette vitesse reste inchangée lors de la collision avec une particule. On exprime l'énergie et l'impulsion de la particule avant et après le choc grâce à une transformation de Lorentz. La particule arrive sur le nuage à vitesse
v et avec un angle θ par rapport à la vitesse V du nuage. On a donc dans le référentiel R′ du
nuage :
E′ = γ(E − V p)
p′c = γ(pc − V
cE)
(2.2) avec γ le facteur de Lorentz du nuage magnétisé. En projetant sur l'axe Ox parallèle à la vitesse du nuage on obtient :
E′ = γ(E + V p cos θ)
p′
x = γ(p cos θ + cV2E)
(2.3) On eectue à présent une seconde transformation de Lorentz pour revenir au référentiel de la particule, p′
x devenant −p′x. L'énergie de la particule est donc :
E′′= γ(E′+ V p′x) (2.4)
En remplaçant ensuite par les expressions obtenues à l'équation 2.3, on a :
E′′ = γ2E(1 + 2V p cos θ +V
2
c2 ) (2.5)
Or, comme p/E = v/c2, et en développant γ2 = (1 −V2
c2)−1 au second ordre en V/c, le gain
relatif en énergie devient : ∆E E = E′′− E E = γ 2(2V v cos θ c2 + 2 V2 c2 ) (2.6)
Pour estimer le gain moyen sur tous les angles θ, on utilise la probabilité d'une collision à
un angle θ, P(θ), qui est proportionnelle à γ(1 +V
c cos θ). De plus on se place dans le cas d'un
choc non relativiste (γ = 1), mais dans la limite v → c car les particules sont relativistes. On a donc, en intégrant sur tous les angles entre 0 et π :
∆E E = 2V c Z 1 −1 cos θ (1 + V c cos θ) d cos θ Z 1 −1 (1 + V c cos θ) d cos θ + 2V 2 c2 (2.7)
Ce qui donne au nal [Longair 2011] :
∆E E = 8 3β 2
où β = V/c, V étant la vitesse du nuage magnétisé. Le gain d'énergie est du deuxième
2.2. Accélération par onde de choc 25 puissance comme nous le verrons dans la section 2.2.3, en accord avec le spectre observé des rayons cosmiques. Cependant, ce processus n'est pas très e cace car les nuages magnétisés se déplacent lentement et aléatoirement, la probabilité d'eectuer une collision fuyante est donc non négligeable, et cela a pour eet de faire perdre de l'énergie aux particules. De plus,
β est petit car V≪c, et le gain en énergie, proportionnel à β2, est donc très faible. Ce type
d'accélération est donc très lent. Le temps caractéristique d'accélération est de 108 ans environ,
supérieur au temps moyen passé dans la galaxie de 107 ans, et par conséquent insu sant pour
expliquer le ux de cosmiques mesuré sur Terre.
2.2.2 Fermi du 1
erordre
Ce mécanisme concerne quant à lui l'accélération par un choc fort à géométrie particulière pour laquelle seules les collisions frontales peuvent avoir lieu. Ce type d'accélération peut notamment avoir lieu dans le plasma au sein des jets des AGNs ou dans les restes de supernovae où le plasma éjecté lors de l'explosion de la supernova va créer une onde de choc en se propageant dans le milieu interstellaire.
Le principe de cette accélération est schématisé sur la gure 2.7. La particule d'énergie E traverse une première fois le choc en gagnant de l'énergie, puis est diusée dans le milieu aval et traverse à nouveau le choc en gagnant une nouvelle fois de l'énergie. La particule a ainsi
eectué un cycle complet et a gagné une énergie ∆E=E′′− E. Comme on le voit sur les gures
2.8 (c) et (d) qui représentent le choc vu depuis les référentiels amont et aval, les particules du milieu aval voient le milieu amont arriver vers elles et inversement. Elles subissent donc une collision frontale quelque soit le sens de traversée du choc et gagnent ainsi de l'énergie à chaque passage.
Figure 2.7 Schématisation de l'accélération de Fermi du 1er ordre.
Relations de Rankine-Hugoniot
Les conditions en aval du choc dépendent entièrement de celles en amont et de la vitesse V du choc. Ces deux états sont décrits par les relations de Rankine-Hugoniot qui viennent de la
continuité de la masse, de l'impulsion et des ux énergétiques au niveau de l'onde de choc. Pour cela, on se place dans un petit élément de volume incluant le choc et on exprime la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie entre le milieu amont et le mileu aval : ρ1v1 = ρ2v2, (2.8) ρ1v12+ P1 = ρ2v22+ P2, (2.9) 1 2v1 2+ h 1 = 1 2v2 2+ h 2 (2.10)
où ρiest la densité, vila vitesse et Pi est la pression dans le milieu i. hi = CpTiest l'enthalpie
et Cp est la capacité calori que à pression constante.
La vitesse du son cs dans le milieu i est donnée par :
cs =
s ∂Pi
∂ρi (2.11)
Or pour une transformation adiabatique on a : P ∝ kργ, γ étant ici l'indice adiabatique, ce
qui donne pour l'équation 2.11 :
cs = s
γP
ρ (2.12)
D'après l'équation d'état des gaz parfaits on a P V = nRT , donc
cs =pγRT et h =
c2 s
γ − 1 (2.13)
En remplaçant à présent dans l'équation 2.10 on a : 1 2v1 2+ c2s1 γ − 1 = 1 2v2 2+ c2s2 γ − 1 (2.14)
On dé nit le taux de compression r = v1
v2. D'après l'équation 2.8, on a r =
ρ2
ρ1. En utilisant
les équations 2.9 et 2.14 on peut montrer que1 :
r = (γ + 1)M 2 1 (γ − 1)M2 1 + 2 (2.15)
où M1 est le nombre de Mach, dé ni comme M1 =
v1
cs1. Un choc se forme lorsque M > 1, c'est
à dire que la vitesse du milieu est supérieure à la vitesse du son. Dans la limite des chocs forts,
on a M ≫ 1 et le taux de compression devient r = γ + 1
γ − 1.
On remarque que dans cette limite, le taux de compression dépend donc uniquement de l'indice adiabatique γ du gaz considéré.
2.2. Accélération par onde de choc 27 On peut de la même façon calculer le rapport des pressions et des températures entre le mileu amont et aval :
P2 P1 = 2γM 2 1 − (γ − 1) γ + 1 (2.16) T2 T1 = (2γM 2 1 − (γ − 1))((γ − 1)M12+ 2) (γ + 1)2M2 1 (2.17) qui peuvent se simpli er dans la limite des chocs forts (M ≫ 1) par :
P2 P1 = 2γ γ + 1M 2 1 (2.18) T2 T1 = 2γ(γ − 1) (γ + 1)2 M 2 1 (2.19)
On remarque que ces rapports dépendent du nombre de Mach et par conséquent ne sont pas limités contrairement au taux de compression.
Pour un indice adiabatique γ = 5/3 correspondant à un gaz parfait monoatomique, on
obtient un taux de compression r=42. Si on ne considère pas les eets non linéaires (détaillés
dans la section suivante), ce taux de compression conduit à un spectre en loi de puissance d'indice Γ = 2 comme nous le verrons par la suite.
Gain en énergie
Calculons maintenant le gain en énergie ∆E correspondant à un cycle complet eectué
par un rayon cosmique. De la même façon que pour l'accélération de Fermi du 2e ordre, on
exprime l'énergie et l'impulsion de la particule après changement de référentiel (amont → aval) [Longair 2011] : E′ = γ(E − V p) p′ = γ(p − V c2E) (2.20) où γ = 1
1−β2 est le facteur de Lorentz, avec β = Vc.
On projette ces relations sur l'axe Ox, perpendiculaire au plan du choc. On a donc :
E′ = γ(E + V p cos θ)
p′ = γ(p + V
c2E)
(2.21) où θ est l'angle d'incidence de la particule dans le milieu amont. Le gain en énergie après
avoir traversé une fois le choc est donné par ∆E=E′ − E. On suppose que le choc n'est pas
relativiste, on a donc V ≪ c et γ = 1, mais les particules le sont, donc E=pc et p = E
c cos θ. On a donc, après un passage à travers le choc :
∆E
E =
V
c cos θ (2.22)
On moyenne ensuite ce rapport sur les angles θ entre 0 et π/2, sachant que la probabilité