45 Définition 7.1. — Soient𝐸une catégorie,𝐶une sous-catégorie pleine de𝐸. On dit que𝐶est une sous-catégorie de𝐸génératrice par épimorphismes stricts (resp. par épimorphismes)si pour tout objet𝑋de𝐸, la famille des flèches de𝐸de but𝑋, de source𝑋′∈ob𝐶, est épimor-phique (resp. épimorépimor-phique stricte) (1.3). On dit que𝐶est une sous-catégorie de𝐸génératrice (resp. génératrice pour les monomorphismes, resp. génératrice pour les monomorphismes stricts)si pour toute flèche𝑢 ∶ 𝑌 → 𝑋(resp. tout monomorphisme de𝐸, resp. tout mono-morphisme strict de𝐸 (10.5)), telle que pour tout𝑋′ ∈ ob𝐶, l’application correspondante Hom(𝑋′, 𝑌 ) → Hom(𝑋′, 𝑋)soit bijective,𝑢est un isomorphisme. Enfin, on dit qu’une fa-mille(𝑋𝑖)d’objets de𝐸est génératrice par épimorphismes stricts (resp. …) si la sous-catégorie pleine𝐶de𝐸engendrée par cette famille est génératrice par épimorphismes stricts (resp. …).
7.1.1. — Notons qu’en termes de la famille(ℎ𝑋′)𝑋′∈ob𝐶des foncteurs ℎ𝑋′ ∶ 𝐸 ⟶ (Ens) (𝑋′∈ob𝐶)
représentés par les 𝑋′ ∈ ob𝐶, on peut exprimer la condition que 𝐶 soit génératrice (resp. génératrice pour les monomorphismes, resp. génératrice pour les monomorphismes
stricts) par celle que le famille(ℎ𝑋′)soitconservative (resp. conservative pour les mono-morphismes, resp. conservative pour les monomorphismes stricts) (6.1). Il résulte également immédiatement des définitions que𝐶est génératrice par épimorphismes si et seulement si la 46
famille(ℎ𝑋′)𝑋′∈ob𝐶estfidèle(6.1). On donnera aussi ci-dessous (7.2(i)) une interprétation analogue pour la condition sur𝐶d’être génératrice par épimorphismes stricts.
7.1.2. — Comme pour les notions introduites dans6.1, les notions de7.1sont surtout utiles lorsque𝐸possède des propriétés d’exactitude convenables, auquel cas les diverses notions introduites ont une nette tendance à être toutes équivalentes (7.3). C’est pourquoi la question de savoir laquelle de ces notions7.1doit être considérée comme la plus importante ne se pose guère ; dans les cas les plus importants, ces notions coïncident et le terme « sous-catégorie génératrice » peut donc être interprété indifféremment comme se rapportant à n’importe laquelle des propriétés envisagées dans7.1(par exemple la première, qui est la plus forte de toute comme nous allons voir (7.2(ii))).
7.1.3. — Supposons que𝐸soit une𝒰-catégorie, et considérons le foncteur canonique
(7.1.3.1) 𝜑 ∶ 𝐸 ⟶ ̂𝐶 =Hom(𝐶, 𝒰-Ens)
composé des foncteurs𝐸 → ̂𝐸 → ̂𝐶, où le premier foncteur est le foncteur canonique (1.3.3), et le deuxième le foncteur restriction à𝐶. Notons qu’il est évident qu’il revient au même de dire que le foncteur précédent𝜑est conservatif (resp. fidèle), ou de dire que la famille des foncteurs ℎ𝑋′ ∶ 𝑋 → Hom(𝑋′, 𝑋) = 𝜑(𝑋)(𝑋′), pour𝑋′ ∈ ob𝐶variable, est une famille conservative (resp. fidèle), c’est-à-dire aussi (7.1.2) que𝐶est génératrice (re-sp. génératrice par épimorphisme). De même𝜑est conservative pour les monomorphismes 47
(resp. pour les monomorphismes stricts) si et seulement la famille desℎ𝑋′(𝑋′∈ob𝐶)est conservative pour les monomorphismes (resp. pour les monomorphismes stricts), i.e. si et seulement si la sous-catégorie𝐶de𝐸est génératrice pour les monomorphismes (resp. pour les monomorphismes stricts).
Proposition 7.2. — Soient𝐸une𝒰-catégorie,𝐶une sous-catégorie pleine.
(i) Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) 𝐶est une sous-catégorie génératrice par épimorphismes stricts.
b) Pour tout𝑋 ∈ob𝐸, désignant par𝐶/𝑋la sous-catégorie pleine de𝐸/𝑋formée des flèches𝑋′→ 𝑋de source𝑋′∈ob𝐶, la flèche naturelle du foncteur d’inclusion 𝑗 ∶ 𝐶/𝑋→ 𝐸dans le foncteur constant sur𝐶/𝑋de valeur𝑋fait de𝑋une limite inductive de𝑗:
𝑋←−∼ lim
𝐶/𝑋𝑋′.
c) Le foncteur canonique𝜑de (7.1.3.1) est pleinement fidèle.
(ii) On a entre les notions de7.1les implications suivantes : 1)C génératrice par épim.
stricts (𝜑pleinement fidèle)
#+2)C génératrice par épimorphismes
(𝜑fidèle)
3)C génératrice (𝜑conservatif) 4)C génératrice pour
mono-morphismes (𝜑conservatif pour mon.) 5)C génératrice pour mon.
stricts
(𝜑conservatif pour mon. stricts).
(iii) On a les implications conditionnelles suivantes :
48
a) Si dans𝐸les familles épimorphiques de flèches sont épimorphiques strictes, on a 2) ⇒ 1). Si dans𝐸les monomorphismes sont stricts, on a5) ⇒ 4).
b) Si dans𝐸les noyaux de couples de flèches (resp. les produits fibrés) sont repré-sentables, alors on a3) ⇒ 2)(resp.4) ⇒ 3)).
c) Si dans𝐸toute famille de morphismes 𝑋𝑖 → 𝑋 de même but𝑋se factorise en une famille épimorphique stricte (resp. épimorphique)𝑋𝑖 → 𝑌suivie d’une monomorphisme (resp. d’une monomorphisme strict)𝑌 → 𝑋, alors on a4) ⇒ 1) (resp.5) ⇒ 2)).
Signalons tout de suite le
Corollaire 7.3. — Toutes les notions envisagées dans6.1(et reprises dans le diagramme d’im-plications de(ii)ci-dessus) sont équivalentes dans chacun des deux cas suivants :
(i) Dans𝐸, les noyaux de doubles flèches et les produits fibrés sont représentables, les mo-nomorphismes sont stricts et les familles épimorphiques de flèches sont épimorphiques strictes.
(ii) Dans𝐸, toute famille(𝑋𝑖 → 𝑋)𝑖∈𝐼de flèches de même but𝑋se factorise en une famille épimorphique(𝑋𝑖→ 𝑌 )suivie d’un monomorphisme𝑌 → 𝑋, tout monomorphisme de 𝐸est strict, et toute famille épimorphique de flèches de𝐸est stricte.
En effet, dans le cas (i) on a 4)⇒3) et 3)⇒2) grâce à b), et 5)⇒4) et 2)⇒1) grâce à a).
49
Dans le cas (ii) on a grâce à c), les implications 4)⇒1) et 5)⇒2). On conclut donc grâce au diagramme d’implications6.2(ii).
Démonstration de7.2.
(i) L’implication b)⇒a) résulte aussitôt des définitions. Prouvons a)⇒b). Donc sous l’hypothèse a), il faut prouver que pour tout𝑋,𝑌 ∈ob𝐸, tout système de flèches
𝑢𝑋′ ∶ 𝑋′⟶ 𝑌
indexé par les𝑋′∈ob𝐶/𝑋, telle que l’on ait𝑢𝑋′𝑓 = 𝑢𝑋″pour toute flèche𝑓 ∶ 𝑋″→ 𝑋′dans𝐶/𝑋, se factorise par une flèche (nécessairement unique par l’hypothèse a)) 𝑋 → 𝑌. D’après l’hypothèse a), il suffit de vérifier que pour tout objet𝑍de𝐸/𝑋et tout couple de morphismes𝑣′∶ 𝑍 → 𝑋′,𝑣″ ∶ 𝑍 → 𝑋″dans𝐸/𝑋, avec𝑋′et𝑋″ dans𝐶/𝑋, on a𝑢𝑋′𝑣′= 𝑢𝑋″𝑣″. Or, grâce à l’hypothèse a), la famille des flèches𝑤 ∶ 𝑋‴ → 𝑍, avec𝑋‴ ∈ob𝐶, est épimorphique, et il suffit donc de vérifier que pour toute telle𝑤, on a(𝑢𝑋′𝑣′)𝑤 = (𝑢𝑋″𝑣″)𝑤, ce qui s’écrit aussi𝑢𝑋′(𝑣′𝑤) = 𝑢𝑋″(𝑣″𝑤) et résulte aussitôt de l’hypothèse faite sur la famille des𝑢.
Prouvons maintenant l’équivalence des conditions b) et c). Pour ceci notons que pour tout𝑋 ∈ ob𝐸, l’objet𝜑(𝑋)de𝐶̂est limite inductive dans𝐶̂du foncteur
pour un deuxième objet𝑌de𝐸, un isomorphisme canonique Hom(𝜑(𝑋), 𝜑(𝑌 )) ≃lim
définie par𝜑n’est autre, via l’isomorphisme entre les membres extrêmes de(∗), que l’application
Donc la première application est bijective pour tout𝑌(𝑋étant fixé) si et seulement si𝑋est une limite inductive du foncteur d’inclusion𝑗 ∶ 𝐶/𝑋 → 𝐸, ce qui prouve l’équivalence de b) et c).
(ii) Les implications 1)⇒2) et 3)⇒4)⇒5) sont triviales en vertu des définitions. L’im-plication 1)⇒3) s’obtient en interprétant la propriété 1) par la pleine fidélité de𝜑 grâce à (i), et en observant qu’un foncteur pleinement fidèle est conservatif. Or on a déjà observé (7.1.1) que 3) signifie que𝜑est conservatif.
(iii) L’assertion a) est une tautologie. L’assertion b) résulte de6.2(i) (resp.6.2(iv)) appli- 51
qué au foncteur𝜑, compte tenu que ce dernier est exact à gauche. Prouvons enfin c). Considérons, pour un𝑋 ∈ob𝐸, la famille de tout les morphismes𝑋𝑖→ 𝑋, avec 𝑋𝑖 ∈ob𝐶; par hypothèse sur𝐸elle se factorise en une famille𝑋𝑖 → 𝑌épimorphique effective (resp. épimorphique) suivie d’un monomorphisme (resp. d’un monomor-phisme strict)𝑌 → 𝑋. Alors l’hypothèse 4) (resp. 5)) implique que𝑌 → 𝑋est un iso-morphisme, donc la famille envisagée est épimorphique stricte (resp. épimorphique), C.Q.F.D.
Proposition 7.4. — Soient𝐸une catégorie,𝐶une sous-catégorie pleine de𝐸,𝑋un objet de 𝐸. On suppose𝐶génératrice dans𝐸(resp.𝐶génératrice pour les monomorphismes, et que le produit fibré de deux sous-objets de𝑋sur𝑋est représentable dans𝐸). Alors un sous-objet strict (10.11)(resp. un sous-objet)𝑋′de𝑋est connu quand on connaît, pour tout𝑇 ∈ob𝐶, la partie deHom(𝑇 , 𝑋)image deHom(𝑇 , 𝑋′). Par suite, le cardinal de l’ensemble des sous-objets stricts (resp. de l’ensemble des sous-objets) de𝑋est majoré par∏𝑇 ∈ob𝐶2card Hom(𝑇 ,𝑋), et si𝑋 ∈ob𝐶, il est majoré par2card𝐹ℓ𝐶.
Prouvons d’abord l’assertion respée. Soient𝑋′,𝑋″deux sous-objets de𝑋tels que pour tout𝑇 ∈ ob𝐶, les images deHom(𝑇 , 𝑋′)etHom(𝑇 , 𝑋″)dansHom(𝑇 , 𝑋) soient égales.
Elles sont donc aussi égales à l’image deHom(𝑇 , 𝑋‴), où𝑋‴est le produit fibré de𝑋′et 𝑋″sur𝑋. Comme𝐶est génératrice pour les monomorphismes, il s’ensuit que les mono-morphismes𝑋‴→ 𝑋′et𝑋‴ → 𝑋″sont des isomorphismes, donc𝑋′et𝑋″sont égaux,
52
étant séparément égaux au sous-objet𝑋‴de𝑋.
Prouvons l’assertion non respée. Par définition de la notion de sous-objet strict, il suffit de vérifier que la connaissance de la partieHom(𝑇 , 𝑋′)deHom(𝑇 , 𝑋)pour tout𝑇 ∈ob𝐶 implique la connaissance de celles des doubles flèches 𝑋 𝑢,𝑣 ////𝑇 telles que𝑢𝑖 = 𝑣𝑖, où 𝑖 ∶ 𝑋′ → 𝑋est l’injection canonique. Or comme𝐶 est génératrice, la relation𝑢𝑖 = 𝑣𝑖 équivaut à la relation(𝑢𝑖)𝑓 = (𝑣𝑖)𝑓pour tout𝑓 ∈ Hom(𝑇 , 𝑋′), i.e. à𝑢𝑔 = 𝑣𝑔pour tout 𝑔 ∈ Hom(𝑇 , 𝑋)provenant deHom(𝑇 , 𝑋′)(i.e. de la forme if, avec𝑓 ∈ Hom(𝑇 , 𝑋′)), ce qui prouve notre assertion.
Corollaire 7.5. — Soient𝐸une catégorie,𝐶une sous-catégorie pleine génératrice,𝑋un objet de𝐶. Alors un quotient strict (10.8)𝑋′de𝑋est connu quand on connaît, pour tout𝑇 ∈ob𝐶, la partie deHom(𝑇 , 𝑋)2formée des couples(𝑢, 𝑣)tels que𝑞𝑢 = 𝑞𝑣, où𝑞 ∶ 𝑋 → 𝑋′est le morphisme canonique. Donc le cardinal de l’ensemble des quotients stricts de𝑋est majoré par
∏𝑇 ∈ob𝐶2card Hom(𝑇 ,𝑋)2.
En effet, par définition, un quotient strict𝑋′de 𝑋est connu quand on connaît, pour tout objet𝑌de𝐸, la partie deHom(𝑌 , 𝑋) ×Hom(𝑌 , 𝑋)formée des couples(𝑢, 𝑣)tels que 𝑞𝑢 = 𝑞𝑣, où𝑞 ∶ 𝑋 → 𝑋′est le morphisme canonique. Or la relation𝑞𝑢 = 𝑞𝑣équivaut à la relation(𝑞𝑢)𝑓 = (𝑞𝑣)𝑓pour tout morphisme𝑓 ∶ 𝑇 → 𝑌de source𝑇dans𝐶, puisque𝐶est génératrice. Cette relation s’écrit encore𝑞(𝑢𝑓) = 𝑞(𝑣𝑓), ce qui prouve la première assertion de7.5. La seconde en résulte aussitôt.
7.5.1. — On peut généraliser7.5, en introduisant, pour une famille d’objets(𝑋𝑖)𝑖∈𝐼de𝐸, la
53
notion dequotient strict dans𝐸de la famille, par quoi on entend une famille épimorphique stricte(𝑝𝑖∶ 𝑋𝑖 → 𝑋′)𝑖∈𝐼de morphismes de𝐸, — étant entendu, comme pour les quotients ordinaires, qu’on identifie deux telles familles(𝑝𝑖∶ 𝑋𝑖→ 𝑋′)et(𝑞𝑖 ∶ 𝑋𝑖 → 𝑋″)si on peut trouver un isomorphisme𝑣 ∶ 𝑋′ → 𝑋″(nécessairement unique) tel que l’on ait𝑓𝑝𝑖 = 𝑞𝑖 pour tout𝑖 ∈ 𝐼. Avec cette terminologie, la démonstration de7.5s’appliquene varieturpour donner la
Variante 7.5.2. — Soient𝐸,𝐶comme dans7.5, et(𝑋𝑖)𝑖∈𝐼une famille d’objets de𝐸. Alors un quotient strict𝑋′de(𝑋𝑖)𝑖∈𝐼dans𝐸(7.5.1) est connu quand on connaît, pour tout𝑇 ∈ ob𝐶, et tout couple(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐼 ×𝐼, la partie deHom(𝑇 , 𝑋𝑖)×Hom(𝑇 , 𝑋𝑗)formée des couples
(𝑢, 𝑣)tels que𝑝𝑖𝑢 = 𝑝𝑗𝑣, où pour tout𝑖 ∈ 𝐼,𝑝𝑖∶ 𝑋𝑖→ 𝑋′désigne le morphisme canonique.
Par suite, le cardinal de l’ensemble des quotients stricts de(𝑋𝑖)𝑖∈𝐼dans𝐸est majoré par
∏𝑇 ∈ob𝐶∏𝑖,𝑗∈𝐼2card Hom(𝑇 ,𝑋𝑖)×card Hom(𝑇 ,𝑋𝑗).
7.5.3. — On voit tout de suite que la conclusion analogue est vraie si on suppose seule-ment que𝐶est génératrice pour les monomorphismes stricts, pourvu que l’on suppose que les produits𝑋𝑖× 𝑋𝑗 sont représentables et que l’on se borne aux quotientseffectifsde la famille(𝑋𝑖)𝑖∈𝐼, i.e. aux quotients stricts𝑋′ tels que les produits fibrés𝑋𝑖×𝑋′ 𝑋𝑗 soient représentables dans𝐸(ce qui n’est pas une restriction si𝐸est stable par produits fibrés).
Proposition 7.6. — Soient𝐸une catégorie,𝐶une sous-catégorie pleine de𝐸génératrice par 54
épimorphismes (7.1),𝛱∘ =un cardinal infini≥card𝐹ℓ𝐶,𝛱 ≥ 𝛱∘un cardinal,(𝑢𝑖 ∶ 𝑋𝑖 → 𝑋)𝑖∈𝐼une famille épimorphique universelle (10.3) dans𝐸formée de morphismes quarrables (10.7) à sources𝑋𝑖∈ob𝐶, et telle quecard𝐼 ≤ 𝛱. Alorscard𝐹ℓ𝐶/𝑋≤ 𝛱𝛱∘.
Soit𝑇 ∈ob𝐶, il suffira de prouver qu’on a
(7.6.1) card Hom(𝑇 , 𝑋) ≤ 𝛱𝛱∘,
car on en conclura successivement
card ob𝐶/𝑋≤ (𝛱𝛱∘) ×card ob𝐶/𝑋≤ (𝛱𝛱∘) × 𝛱∘= 𝛱𝛱∘,
enfincard𝐹ℓ𝐶/𝑋 ≤ ((𝛱𝛱∘)2) × 𝛱∘ = 𝛱𝛱∘, puisque pour deux objets𝑆, 𝑇de𝐶/𝑋, on a card Hom𝐶/𝑋(𝑆, 𝑇 ) ≤car Hom𝐶(𝑆, 𝑇 ) ≤ 𝛱∘. Pour prouver7.5.3, notons d’abord le
Lemme 7.6.2. — Soit𝐽 un ensemble tel quecard𝐽 = 𝛱∘. Pour tout objet𝑇 de 𝐶, et tout homomorphisme𝑓 ∶ 𝑇 → 𝑋, il existe une famille(𝑣𝑗 ∶ 𝑆𝑗→ 𝑇 )𝑗∈𝐽épimorphique, à sources 𝑆𝑗∈ob𝐶, et pour tout𝑗 ∈ 𝐽un𝑖(𝑗) ∈ 𝐼et un𝑔𝑗∶ 𝑆𝑗→ 𝑋𝑖(𝑗)tels que l’on ait𝑢𝑖(𝑗)𝑔𝑗= 𝑓𝑣𝑗. En effet, la famille des𝑋𝑖×𝑋𝑇 →est épimorphique par hypothèse, d’autre part, comme 𝐶est génératrice par épimorphismes stricts, pour tout𝑖, la famille des flèches𝑆 → 𝑋𝑖×𝑋𝑇 de source𝑆 ∈ob𝐶est épimorphique, donc par transitivité la famille des flèches𝑣 ∶ 𝑆 → 𝑇 de source dansob𝐶qui se factorisent par un des𝑋𝑖×𝑋𝑇est épimorphique. Or ce sont les flèches𝑣 ∶ 𝑆 → 𝑇de source dans𝐶pour lesquelles il existe un𝑖 ∈ 𝐼et un𝑔 ∶ 𝑆 → 𝑋𝑖tel que𝑢𝑖𝑔 = 𝑓𝑣. Comme l’ensemble de ces flèches𝑣 ∶ 𝑆 → 𝑇est contenu dans𝐹ℓ𝐶, donc de 55
cardinal≤ 𝛱∘, il peut s’indexer par l’ensemble d’indices𝐽, d’où le lemme.
Notons maintenant qu’un morphisme𝑓 ∶ 𝑇 → 𝑋est connu quand on connaît les𝑓𝑣𝑗, qui sont connus quand on connaît les𝑔𝑗. donccard Hom(𝑇 , 𝑋)est majoré par le cardinal de l’ensemble des familles(𝑖(𝑗), 𝑆𝑗, 𝑣𝑗, 𝑔𝑗)𝑗∈𝐽; comme le cardinal de l’ensemble des appli-cations𝑗 → 𝐼est≤ 𝛱𝛱∘, et comme pour une telle application𝑗 ↦ 𝑖(𝑗)fixée, le cardinal de l’ensemble des familles correspondantes𝑆𝑗,𝑓𝑗,𝑣𝑗est majoré par celui de l’ensemble des applications de𝐽dans𝐹ℓ𝐶 × 𝐹ℓ𝐶, qui est≤ 𝛱∘𝛱∘puisquecard(𝐹ℓ𝐶 × 𝐹ℓ𝐶) = 𝛱∘2= 𝛱∘, on trouve que le premier membre de (7.6.1) est majoré par𝛱𝛱∘× 𝛱∘𝛱∘ = 𝛱𝛱∘, ce qui achève la démonstration de7.6.
Proposition 7.7. — Soient𝐸une catégorie où les produits fibrés sont représentables,(𝑋𝛼)𝛼∈𝐴 une famille d’objets de𝐸génératrice,(𝜑𝑖)𝑖∈𝐼une famille de foncteurs𝜑𝑖 ∶ 𝐸 → 𝐸𝑖commutant aux produits fibrés. Pour que(𝜑𝑖)soit conservative (5.1), il faut et il suffit que pour tout𝛼 ∈ 𝐴
et pouf tout sous-objet𝑋′de𝑋𝛼distinct de𝑋𝛼, il existe un𝑖 ∈ 𝐼tel que𝜑𝑖(𝑋′) → 𝜑𝑖(𝑋𝛼)ne soit pas un isomorphisme. Dans ce cas, si𝐸est une𝒰-catégorie et si𝐴est𝒰-petit, il existe une partie𝒰-petite𝐽de𝐼telle que(𝜑𝑗)𝑗∈𝐽soit déjà une famille conservative de foncteurs.
La nécessité de la condition envisagée de conservativité étant évidente, prouvons sa suf-fisance. En vertu de6.1(iv), il suffit de prouver que(𝜑𝑖)est conservative pour les monomor-phismes. Soit𝑢 ∶ 𝑌′ → 𝑌un monomorphisme dans𝐸qui n’est pas un isomorphisme, il
56
faut prouver qu’il existe𝑖 ∈ 𝐼tel que𝜑𝑖(𝑢)n’est pas un isomorphisme. Par hypothèse sur (𝑋𝛼), il existe un𝛼et un morphisme𝑋𝛼 → 𝑌qui ne se factorise pas par𝑌′, en d’autres termes, tel que l’image inverse𝑋′de𝑌′soit un sous-objet de𝑋𝛼distinct de𝑋𝛼. Par hy-pothèse, il existe un𝑖 ∈ 𝐼tel que𝜑𝑖(𝑋′) → 𝜑(𝑋)ne soit pas un isomorphisme. Comme 𝜑𝑖(𝑋′) ≃ 𝜑(𝑋𝛼) ×𝜑𝑖(𝑌 ) 𝜑𝑖(𝑌′), il s’ensuit bien que𝜑𝑖(𝑌′) → 𝜑𝑖(𝑌 )n’est pas un isomor-phisme.
La deuxième assertion de7.7résulte aussitôt de la première, compte tenu de 7.4.
Corollaire 7.7.1. — Soient𝐸 une𝒰-catégorie où les produits fibrés sont représentables, et admettant une famille génératrice d’objets qui soit𝒰-petite. Alors pour toute famille génératrice (𝑌𝑖)𝑖∈𝐼de𝐸, il existe une sous-famille génératrice𝒰-petite(𝑌𝑗)𝑗∈𝐽(card𝐽 ∈ 𝒰).
Il suffit en effet d’appliquer7.7à une𝒰-petite famille génératrice(𝑋𝛼)𝛼∈𝐴de𝐸et à la famille des foncteurs𝜑𝑖(𝑖 ∈ 𝐼)représentés par les𝑌𝑖.
Proposition 7.8. — Soient𝐸une catégorie,𝐶une sous-catégorie pleine génératrice par épi-morphismes stricts,𝐷une catégorie,Hom′(𝐸, 𝐷)la sous-catégorie pleine deHom(𝐸, 𝐷) for-mée des foncteurs qui commutent aux limites inductives du type𝐶/𝑋, où𝑋est un objet quel-conque de𝐸. Alors le foncteur𝐹 → 𝐹|𝐶induit un foncteur pleinement fidèle
Hom′(𝐸, 𝐷) ⟶Hom(𝐶, 𝐷).
Par suite, siHom(𝐶, 𝐷)est une𝒰-catégorie(1.1.), par exemple(1.1.1. b))si𝐶est𝒰-petite et
57 𝐷est une𝒰-catégorie, alorsHom′(𝐸, 𝐷)est également une𝒰-catégorie.
Soient𝐹,𝐺 ∶ 𝐸 → 𝐷deux foncteurs dans le premier membre, et𝑢 ∶ 𝐹 → 𝐺un homo-morphisme. Si𝑋 =lim−−→ 𝑋𝑖 dans𝐸et si𝐹et𝐺commutent à la limite inductive envisagée, alors𝑢(𝑋) ∶ 𝐹(𝑋) → 𝐺(𝑋)s’identifie à la limite des morphismes𝑢(𝑋𝑖) ∶ 𝐹 (𝑋𝑖) → 𝐺(𝑋𝑖), et est donc connu quand on connaît les𝑢(𝑋𝑖). Ceci montre que le foncteur envisagé dans7.8 est fidèle, compte tenu de l’implication a)⇒b) dans7.2(i). Soit inversement𝑣 ∶ 𝐹|𝐶 → 𝐺|𝐶 un homomorphisme, prouvons qu’il provient d’un homomorphisme𝑢 ∶ 𝐹 → 𝐺. On défini-ra, pour tout𝑋 ∈ob𝐸,
𝑢(𝑋) ∶ 𝐹(𝑋) =lim−−→𝐶
/𝑋
𝐹(𝑋𝑖) ⟶ 𝐺(𝑋) =lim−−→𝐶
/𝑋
𝐺(𝑋𝑖)
comme la limite inductive des𝑣(𝑋𝑖). Il est immédiat que l’on obtient bien un homomor-phisme fonctoriel en𝑋, donc un𝑢 ∶ 𝐹 → 𝐺, et enfin que le morphisme induit par𝑢de𝐹|𝐶 dans𝐺|𝐶est𝑣, ce qui achève la démonstration.
7.9. Familles et sous-catégories cogénératrices. — Soient 𝐸 une catégorie, 𝐶 une sous-catégorie pleine de 𝐸. On dit que𝐶est cogénératrice par monomorphismes stricts (resp. cogénératrice par monomorphismes, resp. cogénératrice, resp. cogénératrice pour les épimorphismes, resp. cogénératrice pour les épimorphismes stricts) si la sous-catégorie pleine 𝐶∘ de𝐸∘ est génératrice par épimorphismes stricts (resp. etc.). Terminologie ana-logue pour les familles. Tous les résultats du présent numéro concernant la notion de 58
sous-catégorie génératrice et ses variantes (7.1), redonnent donc des résultats correspon-dants pour les notions duales, que nous laissons au lecteur le soin de formuler pour sa satisfaction personnelle.
Proposition 7.10. — Soient𝐸une catégorie,𝐶une sous-catégorie pleine génératrice(7.1),𝐷 une sous-catégorie pleine de𝐸. Pour que𝐷soit cogénératrice(7.9), il faut et il suffit que pour toute double flèche 𝑇 𝑢,𝑣 ////𝑋 dans𝐸de source𝑇 ∈ob𝐶, avec𝑢 ≠ 𝑣, il existe une flèche 𝑤 ∶ 𝑋 → 𝐼de but𝐼 ∈ob𝐷, telle que𝑤𝑢 ≠ 𝑤𝑣.
Par définition, dire que 𝐷 est cogénératrice signifie que pour toute double flèche 𝑌 𝑢,𝑣 ////𝑋 dans𝐸telle que𝑢 ≠ 𝑣, il existe une flèche𝑤 ∶ 𝑋 → 𝐼, avec𝐼 ∈ ob𝐷, telle que𝑤𝑢 ≠ 𝑤𝑣. Donc7.10signifie simplement qu’il suffit de tester cette propriété lorsque 𝑌 ∈ob𝐶. Or comme𝐶est génératrice, l’hypothèse𝑢 ≠ 𝑣implique qu’il existe𝑓 ∶ 𝑇 → 𝑌 telle que𝑢𝑓 ≠ 𝑣𝑓, d’où par hypothèse l’existence d’une𝑤 ∶ 𝑋 → 𝐼de but𝐼 ∈ob𝐷telle
que𝑤(𝑢𝑓) ≠ 𝑤(𝑣𝑓), d’où𝑤𝑢 = 𝑤𝑣, C.Q.F.D.
Corollaire 7.11. — Les notations étant celles de7.10, supposons que les objets 𝐼de 𝐷sont des objets injectifs de𝐸, i.e. tels que pour tout monomorphisme𝑋 → 𝑌dans𝐸, l’application Hom(𝑌 , 𝐼) →Hom(𝑋, 𝐼)correspondante soit surjective. Supposons de plus que toute double flèche 𝑇 𝑢,𝑣 ////𝑋 dans𝐸se factorise en une double flèche épimorphique (resp. épimorphique effective) 𝑌 𝑢′,𝑣′ ////𝑋 suivie d’un monomorphisme𝑖 ∶ 𝑋′→ 𝑋. Alors dans le critère7.10pour que𝐷soit cogénératrice, on peut se borner aux doubles flèches(𝑢, 𝑣)qui sont épimorphiques (resp. épimorphiques effectives).
On en conclut : 59
Corollaire 7.12. — Soit𝐸une𝒰-catégorie admettant une petite sous-catégorie génératrice 𝐶, et telle que tout objet de𝐸soit source d’un monomorphisme dans un objet injectif de𝐸. Supposons de plus que pour tout𝑇 ∈ob𝐶, la somme𝑇 ⨿ 𝑇dans𝐸soit représentable, et que tout morphisme de source𝑇 ⨿ 𝑇se factorise en un épimorphisme effectif suivi d’un monomor-phisme. Alors𝐸admet une petite sous-catégorie pleine𝐷cogénératrice. De façon précise, on peut prendre𝐷telle quecard ob𝐷 ≤ ∏𝑇 ,𝑇′∈ob𝐶2card(Hom(𝑇′,𝑇 ∐ 𝑇 ))2.
En effet, en vertu de7.11, il suffit pour tout𝑇 ∈ob𝐶et pour tout quotient effectif𝑋de 𝑇 ⨿ 𝑇, de choisir un plongement de𝑋dans un objet injectif𝐼de𝐸, et de prendre pour𝐷la sous-catégorie pleine de𝐸engendrée par ces𝐼. La conclusion résulte alors de 7.5.
Exemples 7.13. — Pour construire de petites sous-catégories cogénératrice en termes de petites sous-catégories génératrices, on est donc amené à chercher des conditions pour
qu’une𝒰-catégorie𝐸admette « suffisamment d’injectifs », i.e. que tout objet se plonge dans un objet injectif (par un monomorphisme). Il est bien connu [Tohoku] que cette condition est satisfaite dans une𝒰-catégorie abélienne à (petites) limites inductives filtrantes exactes (axiome𝐴𝐵5 deloc. cit.) admettant une petite famille génératrice. La construction deloc. cit.
n’est d’ailleurs pas liée de façon essentielle aux catégories abéliennes, et marche également dans la catégorie des faisceaux de𝒰-ensembles sur un espace topologique𝑋 ∈ 𝒰. Nous n’énoncerons pas ici les propriétés d’exactitude qui font marcher la construction en ques-tion, et nous bornerons à signaler que dans le cas particulier de la catégorie des faisceaux
60
d’ensembles sur𝑋, on se ramène immédiatement au cas deloc. cit.de la façon suivante.
On note que si 𝒪𝑋 est un Anneau sur𝑋, alors tout objet injectif 𝐼 de la catégorie des 𝒪𝑋-Modules est aussi injectif en tant qu’objet de la catégorie des faisceaux d’ensembles.
En effet, si𝐹est un faisceau d’ensembles, et𝒪𝑋[𝐹]le «𝒪𝑋-Module libre engendré par𝐹», on a par définition un homomorphisme de faisceaux d’ensembles
(∗) 𝐹 ⟶𝒪𝑋[𝐹]
donnant lieu à un isomorphisme, fonctoriel en𝐹
Hom𝒪𝑋(𝒪𝑋[𝐹], 𝐼)−→∼ Hom(𝐹, 𝐼).
Comme le foncteur𝐹 ↦ 𝒪𝑋[𝐹] transforme manifestement monomorphisme en mono-morphisme, il s’ensuit aussitôt que si𝐼est un𝒪𝑋-Module injectif, c’est aussi un faisceau d’ensembles injectif. Il s’ensuit que si le morphisme(∗)est un monomorphisme (ce qui est le cas si on prend pour𝒪𝑋un Anneau constant de valeur un anneau𝐴 ≠ 0), alors un plonge-ment de𝒪𝑋[𝐹∗]dans un𝒪𝑋-Module injectif𝐼donne un plongement de𝐹dans le faisceau d’ensembles injectif sous-jacent à𝐼.
Le même argument s’applique, sans changement, au cas de la catégorie des faisceaux de 𝒰-ensembles sur un𝒰-site, qui sera introduite dans l’exposé suivant.
L’intérêt de l’existence d’une petite sous-catégorie cogénératrice réside surtout dans le critère de représentabilité8.12.7plus bas.