Pour la commodité du lecteur, nous rassemblons ici les définitions de quelques termes utilisés dans les numéros précédents. Nous désignons par𝐶une catégorie.
3. Cette dernière condition étant probablement inutile, cf. 9.13.2.
10.1. Cartésien, Cocartésien. — Un diagramme de𝐶
𝐴 //
𝐵
𝐶 //𝐷
est ditcartésiens’il est commutatif et si le morphisme canonique de𝐴dans le produit fibré 𝐶 ×𝐷𝐵 est un isomorphisme. Il est ditcocartésien si le diagramme correspondant de la catégorie opposée à𝐶est cartésien.
10.2. Épimorphisme, épimorphisme strict. — etc. Cf.10.3.
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10.3. Famille épimorphique, épimorphique stricte. — etc. : Une famille 𝑓𝑖 ∶ 𝐴𝑖 ⟶ 𝐵, 𝑖 ∈ 𝐼,
de flèches de même but dans𝐶est dite familleépimorphique, si pour tout objet 𝐶de 𝐶, l’application induite par les𝑓𝑖:
(10.3.1) Hom𝒜(𝐵, 𝐶) ⟶ ∏𝑖 Hom𝒜(𝐴𝑖, 𝐶) est injective.
On dit que la famille envisagée estépimorphique strictesi l’image de l’application (10.3.1) est formée des familles(𝑔𝑖)telles que pour tout objet𝑅de𝐶, tout couple d’indices𝑖,𝑗 ∈ 𝐼et tout couple de flèches𝑢 ∶ 𝑅 → 𝐴𝑖,𝑣 ∶ 𝑅 → 𝐴𝑗avec𝑓𝑖𝑢 = 𝑓𝑗𝑣, on a aussi𝑔𝑖𝑢 = 𝑔𝑖𝑣. Lorsque les produits fibrés𝐴𝑖×𝐵𝐴𝑗 sont représentables pour𝑖,𝑗 ∈ 𝐼, il revient au même de dire que l’image essentielle de (10.3.1) est formée des(𝑔𝑖)telles que pour tout couple d’indices𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼, on ait𝑔𝑖pr1= 𝑔𝑖pr2, oùpr1,pr2sont les deux projections de𝐴𝑖×𝐵𝐴𝑗. On dit que la famille(𝑓𝑖)𝑖∈𝐼est unefamille épimorphique effectivesi la condition précédente est vérifiée, i.e. si elle est épimorphique stricte, et si les produits fibrés𝐴𝑖×𝐴𝐴𝑗sont représentables.
On dit que la famille (𝑓𝑖)𝑖∈𝐼 est une famille épimorphique universelle, (resp.
épimorphique effective universelle) si les morphismes𝑓𝑖 sont quarrables (10.3), et si pour toute flèche𝐵′→ 𝐵, la famille des flèches𝑓𝑖′∶ 𝐴′𝑖 → 𝐴𝑖×𝐵𝐵′,𝑖 ∈ 𝐼, déduite de la famille (𝑓𝑖)𝑖∈𝐼par changement de base𝐵′→ 𝐵, est épimorphique (resp. épimorphique effective).
La notion de familleépimorphique stricte universellesera définie dans (II 2.5, 2.6). Notons
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que lorsque les morphismes𝑓𝑖sont quarrables (par exemple si dans𝐶les produits fibrés sont représentables) cette notion coïncide avec celle de famille épimorphique effective universelle (utiliser II 2.4). Dans le cas général, on a entre les six variantes envisagées de la notion
d’épimorphicité les implications logiques : épimorphique effective universelle
qy
%-épimorphique effective
épimorphique stricte universelle
&
xépimorphique stricte
qy
épimorphique universelle owépimorphique
Un morphisme𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵de𝒜s’appelle unépimorphisme (resp. un épimorphisme strict, resp. un épimorphisme effectif, resp. un épimorphisme universel, resp. un épimorphisme effectif universel, resp. un épimorphisme strict universel)si la famille de morphisme réduit au seul élément𝑓est épimorphique (resp. …).
10.4. Famille monomorphique, monomorphique stricte. — etc. Une famille de flèches 𝑓𝑖 ∶ 𝐴𝑖 → 𝐵de𝐶est ditemonomorphique (resp. monomorphique stricte,…)si en tant que famille de flèches de la catégorie opposée 𝐶∘ elle est épimorphique (resp. épimorphique stricte,…). Une flèche𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵de 𝒜est appelée un monomorphisme (resp. un mono-morphisme strict.…) si la famille réduite à𝑓est monomorphique (resp. monomorphique 182
stricte,…), i.e. si𝑓en tant que flèche de la catégorie opposée𝐶∘est un épimorphisme (re-sp. un épimorphisme strict,…).
10.5. Monomorphisme, monomorphisme strict. — etc.Cf.10.4.
10.6. Projecteur, image d’un projecteur, facteur direct d’un objet. — Soit𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑋 un endomorphisme d’un objet de𝐶. On dit que𝑓est unprojecteur si on a𝑓2 = 𝑓. Alors le couple(𝑓,id𝑋)admet un conoyau représentable𝑋′si et seulement si il admet un noyau représentable𝑋″, et lorsqu’il en est ainsi, il existe un unique isomorphisme𝑢 ∶ 𝑋′→ 𝑋″ dans𝐶tel que𝑖𝑢𝑝 = 𝑓, où𝑝 ∶ 𝑋 → 𝑋′et𝑖 ∶ 𝑋″→ 𝑋sont les morphismes canoniques.(4) On identifie alors généralement𝑋′et 𝑋″, et on l’appelle l’image du projecteur 𝑓; on dit que le projecteur𝑓admet une imagesiKer(𝑓,id𝑋)est représentable i.e.Coker(𝑓,id𝑋)est représentable. Un sous-objet (resp. un quotient)𝑌de𝑋est appelé unfacteur directde𝑋si on peut trouver un projecteur𝑓dans𝑋se factorisant par𝑌, et admettant𝑌comme image en tant que sous-objet (resp. en tant que quotient) de𝑋. On dit parfois, par abus de langage, qu’un objet de𝐶est unfacteur direct de𝑋, s’il est isomorphe à l’image d’un projecteur dans 𝑋.
10.7. Quarrable. — Une flèche𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵de𝐶est ditequarrable si pour toute flèche 𝐵′→ 𝐵de𝐶, le produit fibré𝐴 ×𝐵𝐵′est représentable dans𝐶.
4. N.D.E. : La représentabilité du noyau, ou du conoyau, est également équivalente à l’existence de morphismes 𝑖,𝑝et d’un isomorphisme 𝑢tels que𝑖𝑢𝑝 = 𝑓et𝑝𝑖 = 𝑢−1. En particulier, cette propriété est stable par n’importe quel foncteur.
10.8. Quotient, quotient strict. — etc.
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Soit𝐴un objet de 𝐶. Deux épimorphismes𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵, 𝑓′ ∶ 𝐴 → 𝐵′ de source 𝐴sont ditséquivalents s’il existe un isomorphisme 𝑢 ∶ 𝐵 −→ 𝐵∼ ′ tel que𝑢𝑓 = 𝑓′. On obtient ainsi une relation d’équivalence dans l’ensemble des épimorphismes de source𝐴, dont les classes sont appelées lesquotients, ou objets quotients,de𝐴. Pour tout quotient de 𝐴, on suppose généralement choisi un élément de cette classe, soit𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵, et on parle souvent (par abus de langage) du quotient𝐵de𝐴(ou du quotient𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵de𝐴). On dit que𝐵est unquotient strict(resp. unquotient effectif, resp. un quotient universel,…) si le morphisme𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵est un épimorphisme strict (resp. un épimorphisme effectif, resp. un épimorphisme universel,…) (10.3).
10.9. Relations d’équivalence. — Soient𝐹,𝐺deux préfaisceaux d’ensembles sur𝐶. Un diagramme𝑝1,𝑝2∶ 𝐹 ⇉ 𝐺est appelé unerelation d’équivalence sur𝐺si pour tout objet𝐴 de𝐶, l’application
(𝑝1(𝐴), 𝑝2(𝐴)) ∶ 𝐹(𝐴) ⟶ 𝐺(𝐴) × 𝐺(𝐴)
induit une bijection de𝐹(𝐴)sur e graphe d’une relation d’équivalence sur l’ensemble𝐺(𝐴). Un diagramme𝑝1,𝑝2∶ 𝐵 ⇉ 𝐶dans𝐶est appelé une relation d’équivalence sur𝐶si le diagramme de préfaisceaux correspondant est une relation d’équivalence. Lorsque dans𝐶 les produits finis et produits fibrés sont représentables, un foncteur𝛷 ∶ 𝐶 → 𝐶′commutant aux produits finis et produits fibrés transforme les relations d’équivalence sur𝐶en relation d’équivalence sur𝛷(𝐶).
Soit𝛱 ∶ 𝐶 → 𝐷un morphisme de𝒜tel que le produit fibré𝐶 ×𝐷𝐶soit représentable.
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Alors le diagrammepr1,pr2∶ 𝐶 ×𝐷𝐶 ⇉ 𝐶est une relation d’équivalence sur𝐶.
10.10. Relation d’équivalence effective, effective universelle. — Une relation d’équi-valence𝑝1,𝑝2∶ 𝑅 ⇉ 𝐴sur un objet𝐴de𝐶est diterelation d’équivalence effectives’il existe un morphisme𝛱 ∶ 𝐴 → 𝐵tel que le carré
𝑅 𝑝2 //
𝑝1
𝐴
𝜋
𝐴 //𝐵
soit cartésien et cocartésien. (Le morphisme𝜋est le conoyau du couple(𝑝1, 𝑝2), et est donc déterminé à isomorphisme unique près). Le morphisme𝜋est alors un épimorphisme effectif ; si c’est un épimorphisme effectif universel (10.3) on dit que la relation d’équivalence est effective universelle.
10.11. Sous-objet, sous-objet strict. — etc. Ce sont les notions duales de celles de quo-tient, quotient strict etc. (10.8).
Références [1] B. Mitchell, « Theory of categories », Academie Press (1965).
II. Appendice : Univers (par N. Bourbaki(∗))