Snaking homocline

Pour obtenir plus de d´etails sur le comportement non-lin´eaire des ´etats loca- lis´es, Burke & Knobloch ont ´etudi´e num´eriquement par m´ethode de continuation l’´equation (2.1) pour qc = 0.5, ν = 0.41 et g = 1 (valeurs choisies d’apr`es Hilali et al. [20]) sur un grand domaine 1D p´eriodique [9]. Le diagramme de bifurcation ainsi que les solutions localis´ees sont pr´esent´es sur la figure 2.3.

Une branche de solutions p´eriodiques en espace bifurque de mani`ere sous-critique en r = 0 puis se restabilise en passant un noeud-col `a r = −0.01670. Il en r´esulte la bistabilit´e de la solution triviale et de la solution p´eriodique pour −0.01670 < r < 0. En r = 0 deux branches de solutions localis´ees sous-critiques bifurquent ´egalement. Elles diff`erent par leur phase (parit´e), φ = 0 pour l’une et φ = π pour l’autre. Les solutions le long de ces deux branches sont form´ees d’un nombre restreint d’oscillations confin´ees dans la r´egion centrale du domaine et entour´ees par un profil identique `a celui de la solution triviale u = 0. Initialement instables et sous-critiques, ces branches n’existent que dans la zone de bistabilit´e o`u elles effectuent des allers- retours autour de rM 1 = −0.01381. Cette valeur correspond au point de Maxwell entre la solution triviale u = 0 et la solution 2π/qc-p´eriodique : en cette valeur, les deux solutions poss`edent la mˆeme valeur de fonctionnelle F . Les allers-retours effectu´es par les branches d’´etats localis´es sont bien d´elimit´es dans l’espace des param`etres (rP 1 < r < rP 2), et sont commun´ement appel´es homoclinic snaking (serpentage homocline).

Figure 2.3 – Diagramme de bifurcation repr´esentant les variations avec le param`etre r de la norme N des solutions de l’´equation (2.1) pour qc = 0.5, ν = 0.41 et g = 1. L’insert

repr´esente les solutions `a diff´erents noeuds-cols correspondant aux labels (a) `a (f). D’apr`es [9].

La branche φ = 0 est initialement une fois instable (figure 2.4). Le mode associ´e correspond `a une instabilit´e d’amplitude h´erit´ee du caract`ere sous-critique de la bi- furcation en r = 0. Il a la mˆeme parit´e que la solution (figure 2.5). La branche φ = π est en revanche deux fois instable. On retrouve l’instabilit´e en amplitude associ´ee `a un mode de mˆeme parit´e et h´erit´ee de la branche u = 0 mais aussi une instabilit´e de phase associ´ee `a un mode de parit´e oppos´ee et li´ee au fait que l’invariance par trans- lation discr`ete est bris´ee. L’effet de ce mode est de briser l’invariance par r´eflexion en d´epla¸cant la structure oscillatoire dans l’enveloppe. Ce mode existe ´egalement pour la branche φ = 0 mais est associ´e `a une valeur propre n´egative au voisinage de r = 0. Les valeurs propres d’instabilit´e de phase sont proches de z´ero `a ce voisinage car l’enveloppe de la modulation est peu accentu´ee et permet encore l’existence de solutions proches de la solution p´eriodique. Lorsque r d´ecroˆıt et approche la r´egion de snaking, la largeur de l’enveloppe approche 2π/qc et cette valeur propre devient comparable `a celle de l’instabilit´e d’amplitude. La figure 2.4 montre l’´evolution de ces valeurs propres le long des deux branches depuis r = 0 jusqu’`a la r´egion de snaking. On remarque que dans cette r´egion, les modes d’instabilit´e d’amplitude et de phase ont des valeurs propres pratiquement ´egales pour chacune des branches. Cette propri´et´e est induite par la structure mˆeme des modes repr´esent´es pour une solution φ = 0 dans la r´egion de snaking sur la figure 2.5. Le mode ˜U10 est le mode d’instabilit´e d’amplitude et ˜U11 le mode de phase. Ils sont form´es de deux pulses s´epar´es par une large r´egion dans laquelle l’amplitude est nulle. Les deux pulses sont totalement d´ecoupl´es ce qui explique qu’ils soient associ´es `a une mˆeme valeur propre. En revanche, les deux instabilit´es ont des effets diff´erents. Dans la r´egion de snaking, chaque noeud-col correspond au changement de signe de la valeur propre du mode d’amplitude. Ce mouvement s’accompagne de l’ajout d’une oscillation de part et d’autre de la solution. Apr`es chaque aller-retour de la branche dans l’espace

46 2.1. Description th´eorique

a) b)

Figure 2.4 – Evolution le long de la branche de solutions localis´ees (φ = 0 (a) et φ = π (b)) des valeurs propres temporelles β associ´ees au mode d’instabilit´e d’amplitude pair “even” et au mode d’instabilit´e de phase “odd”. La variable s repr´esente l’abcisse curviligne le long de ces branches. Celles-ci sont d’ailleurs pr´esent´ees en bas de la figure dans une repr´esentation dans le plan (s, r). D’apr`es [9].

des param`etres, la solution croˆıt spatialement tout en pr´eservant la mˆeme parit´e. Au voisinage de chaque noeud-col, l’instabilit´e de phase brise la sym´etrie des solutions et produit une bifurcation fourche. Ces bifurcations entraˆınent la cr´eation de branches de solutions non-sym´etriques appel´ees ladders (barreaux) reliant les noeuds-cols des deux branches d’´etats localis´es comme illustr´e sur la figure 2.6.

Le snaking s’accompagne en outre d’une variation de la longueur d’onde (figure 2.7) qui r´esulte d’un ´equilibrage ´energ´etique : au point de Maxwell rM 1, les solutions triviale et p´eriodique qui constituent les ´etats localis´es poss`edent la mˆeme valeur de fonctionnelle. Cependant, pour r < rM 1, la solution triviale a une valeur plus faible que celle de la solution p´eriodique et le syst`eme tend naturellement `a favoriser la solution triviale ce qui a pour effet de contracter les oscillations de la solution. Le ph´enom`ene inverse se produit lorsquer r > rM 1.

Une interpr´etation g´eom´etrique des solutions localis´ees dans le cas du snaking homocline a ´et´e propos´ee par Avitabile et al. [3] et est illustr´ee sur la figure 2.8. Le snaking se produit autour du point de Maxwell pour lequel les solutions triviale et p´eriodique ont la mˆeme valeur de fonctionnelle F . L’existence de ce point dans notre cas indique qu’il est possible de cr´eer des connexions h´et´eroclines entre la solution triviale et p´eriodique, c’est-`a-dire des fronts reliant ces deux solutions. La r´eversibilit´e spatiale du probl`eme indique que la connexion inverse existe. Cet en- semble de connexions h´et´eroclines forme un cycle h´et´erocline. Lorsque le param`etre (µ ici) varie, la longueur d’onde de la solution p´eriodique change continuement, ce qui indique que le cycle h´et´erocline existe dans un ensemble continu du param`etre. Les orbites homoclines r´esultant de ce cycle h´et´erocline correspondent `a des struc- tures localis´ees tendant vers 0 en ±∞ et poss´edant une structure p´eriodique loca- lis´ee au centre du domaine. Ces solutions existent sur un intervalle du param`etre µ moyennant un changement continu de longueur d’onde de la structure p´eriodique centrale. Un exemple de connexion homocline est repr´esent´e sur la figure 2.8 `a droite. Dans l’espace des phases, la trajectoire se rapproche de l’orbite p´eriodique “rolls”

Figure 2.5 –En haut : Solution ul le long de la branche φ = 0 au voisinage d’un noeud-

col `a r = rP 2. En dessous sont repr´esent´es les modes propres marginaux li´es `a l’instabilit´e

d’amplitude ( ˜U10), `a l’instabilit´e de phase ( ˜U11) et `a l’invariance par translation en x ( ˜U12).

Ce dernier mode est toujours marginal. D’apr`es [9].

Figure 2.6 –A gauche : repr´esentation des variations avec le param`etre r de la norme N des solutions de l’´equation de Swift–Hohenberg avec non-lin´earit´e d’ordre 3 et 5. Cette ver- sion de l’´equation de Swift–Hohenberg poss`ede des sym´etries diff´erentes de celle pr´esent´ee dans ce chapitre et g´en`ere des solutions localis´ees rep´er´ees par les phases φ = 0 et φ = π/2. Les branches d’´etats localis´es ainsi que les solutions barreaux sont pr´esent´ees dans la r´egion pr´esentant les premiers noeuds-cols. A droite : repr´esentation des solutions aux points (a) `a (f) du diagramme. D’apr`es [10].

48 2.1. Description th´eorique

Figure 2.7 – En traits discontinus : variations avec r et durant le snaking entre rP 1 et

rP 2 de la longueur d’onde L de la structure localis´ee normalis´ee par la longueur d’onde

critique `a l’instabilit´e primaire LC. En trait continu : variations de la longueur d’onde du

mode p´eriodique le plus instable de la solution triviale u = 0. Les deux courbes se coupent au point de Maxwell. Les param`etres sont ceux de la figure 2.3. D’apr`es [9].

Figure2.8 –Sch´ema de l’interpr´etation g´eom´etrique des solutions localis´ees propos´ee par Avitabile et al. [3]. Le diagramme au centre repr´esente une branche d’´etats localis´es (µ ∼ −r), la figure de gauche le principe d’une connexion h´et´erocline entre la solution triviale 0 et la solution p´eriodique “rolls” et la figure de droite le sc´enario propos´e. Chaque boucle autour de la solution p´eriodique correspond `a une oscillation spatiale suppl´ementaire de la solution. D’apr`es [3].

Figure _{2.9 –} Diagramme de bifurcation repr´esentant les variations avec r de la norme N des solutions de l’´equation (2.1) pour qc = 0.5, ν = 0.75 et g = 1. La branche la

plus sous-critique uP repr´esente la solution p´eriodique et rM 1 son point de Maxwell avec

la solution triviale. La solution u+ est constante et rM 3 est son point de Maxwell avec

la solution triviale. En r = 0 bifurque une branche d’´etats localis´es qui termine sur u+

en r = rM 3 apr`es une croissance verticale appel´ee protosnaking. L’insert repr´esente une

solution le long de la branche de protosnaking. D’apr`es [9].

puis effectue quelques boucles autour, chaque boucle correspondant `a une oscillation spatiale de la solution, puis s’´ecarte de “rolls” pour tendre vers 0. Ainsi, suivant le nombre de boucles effectu´ees autour de “rolls”, la structure localis´ee sera plus ou moins large dans l’espace physique. Une interpr´etation g´eom´etrique compl´ementaire a aussi ´et´e propos´ee par Woods & Champneys [39] mais n’est pas discut´ee dans le pr´esent manuscrit.