Formulation du probl`eme et sym´etries - Etats localisés dans les systèmes fluides : applicatio

4.3 Publication

5.1.1 Formulation du probl`eme et sym´etries

On considère une cavité parallélépipédique contenant un mélange fluide binaire. La direction verticale est notée x et les deux directions horizontales y et z (figure 5.1.a). La géométrie considérée est un parallélépipède à section horizontale carrée de dimensions [0, L] × [0, h] × [0, h] où L ≫ h. Les deux surfaces z = 0 et z = h sont maintenues aux températures et concentrations T∗ _{= T}

r, C∗ = Cr et T∗ = Tr+ △T , C∗ _{= C}

r + △C respectivement avec △T > 0 et △C > 0. Les autres surfaces x = 0, L et y = 0, h sont supposées adiabatiques et imperméables de sorte que le flux de chaleur et le flux d’espèces chimiques au travers de ces surfaces sont nuls. Le long de toutes les surfaces définissant la géométrie, des conditions aux limites de

118 5.1. Domaines ´etendus verticalement

Figure 5.1 – (a) Représentation du domaine étendu dans la direction verticale. (b) Représentation du domaine étendu dans la direction horizontale. Les parois grisées sont celles sur lesquelles la température et la concentration sont imposées. Le changement des axes et notamment de l’axe de la gravité (direction x en (a) et direction z en (b)) est lié au codage numérique. Dans le code numérique, les éléments spectraux sont alignés dans la direction x. Pour passer de (a) à (b), seule l’orientation numérique de la gravité est changée.

non-glissement sont impos´ees.

De la même manière que pour le cas bidimensionnel, on se place dans l’ap- proximation de Boussinesq de sorte que la densité ρ est constante dans tous les termes à l’exception du terme de force de volume (poussée d’Archimède) dans lequel ρ = ρ0 + ρT(T∗ − Tr∗) + ρc(C∗ − Cr∗) où Tr∗ et Cr∗ sont les températures et concentrations de référence (choisies égales à celles imposées sur l’une des surfaces) et ρc = ∂ρ/∂C > 0, ρT = ∂ρ/∂T < 0.

En choisissant la distance h pour adimensionaliser les distances, le temps ca- ractéristique h2_{/κ pour les temps et en considérant les température et concentration} adimensionnelles (T∗

− T∗

r)/∆T et (C∗− Cr∗)/∆C, les équations adimensionalisées s’écrivent :

P r−1(∂tu+ (u · ∇)u) = −∇p + ∇2u+ Ra(T + N C)ex, (5.1)

∇ · u = 0, (5.2)

∂tT + (u · ∇)T = ∇2T, (5.3)

∂tC + (u · ∇)C = τ∇2C, (5.4)

où les variables adimensionnées sont u pour la vitesse, p pour la pression, T pour la température et C pour la concentration. Les paramètres sans dimension sont le nombre de Prandtl P r, l’inverse du nombre de Lewis τ = Le−1_{, le nombre de} Rayleigh (thermique) Ra et le rapport N des forces de volume d’origine thermique et solutale définis par :

P r = ν κ, τ = D κ, Ra = g|ρT|∆T h3 ρ0κν , N = ρC∆C ρT∆T = − RaS Ra , (5.5)

Figure 5.2 – Représentation de la cavité et de ses symétries : la symétrie Sy est une réflexion par rapport au plan y = 0.5 , S∆ est une réflexion par rapport à la droite ∆ et SC = Sy ◦ S△ = S△◦ Sy celle par rapport au point C.

où RaS est le nombre de Rayleigh solutal défini par RaS = gρC∆Ch3/ρ0κν, ν est la viscosité cinématique, κ la diffusivité thermique et g la pesanteur (g = −gex). Les conditions aux limites s’écrivent :

en x = {0, L}, y = {0, 1} : u = v = w = ∂nT = ∂nC = 0, (5.6)

en z = 0 : u = v = w = T = C = 0, (5.7)

en z = 1 : _{u = v = w = T − 1 = C − 1 = 0,} (5.8)

où u = (u, v, w), L représente maintenant la longueur adimensionnée du domaine dans la direction verticale x et n est la coordonnée normale aux surfaces.

Dans la suite et comme nous l’avons expliqué dans l’introduction (chapitre 1), on ne considère que le cas N = −1 pour lequel les forces d’origine thermique et solutale sont opposées et de même magnitude. Dans ces conditions, la configuration admet une solution triviale (dite conductive) qui s’écrit u = 0 et T = C = z et dont la stabilité linéaire dépend du nombre de Lewis et du nombre de Rayleigh.

Afin de faciliter l’écriture des propriétés de symétrie du système, on pose Θ ≡ T − z et Σ ≡ C − z. Le système (5.1–5.4, 5.6–5.8) est équivariant par rapport aux réflexions (figure 5.2) :

Sy : (x, y, z) → (x, 1 − y, z), (u, v, w, Θ, Σ) → (u, −v, w, Θ, Σ), (5.9) S△ : (x, y, z) → (L − x, y, 1 − z), (u, v, w, Θ, Σ) → −(u, −v, w, Θ, Σ).(5.10)

De fait, les équations possèdent les symétries du groupe D2, où D2 = {I, Sy, S△, Sc} avec I l’identité et Sc = Sy◦ S△ = S△◦ Sy la symétrie centrale par rapport au point milieu de la cavité (figure 5.2). Il en résulte que suivant les propriétés de symétrie du mode marginal, les bifurcations primaires de la solution conductive sont soit des bifurcations fourches (lorsqu’une ou plusieurs symétries du groupe sont brisées) soit des bifurcations transcritiques.

120 5.1. Domaines ´etendus verticalement

Dans la suite, nous n’étudierons que les branches issues des deux premières bifurcations primaires, l’une résultant d’une bifurcation fourche et l’autre d’une bifurcation transcritique [7]. En raison du fait que L ≫ 1, ces deux bifurcations successives sont très proches l’une de l’autre (dans les cas que nous allons étudier, la bifurcation fourche précède la bifurcation transcritique).

5.1.2 R´esultats

On considère une géométrie de hauteur adimensionnée L = 19.8536. Cette valeur a été choisie de manière à être approximativement égale à 8 fois la longueur d’onde critique d’une couche bi-dimensionnelle infinie [6, 14]. Dans les simula- tions numériques que nous présentons, le maillage comprend 16 éléments spectraux discrétisés par 21 × 19 × 19 points de Gauss–Lobatto–Legendre. Le nombre de Ray- leigh Ra est le paramètre de continuation et les nombres de Prandtl et de Lewis sont respectivement P r = 1 et Le = τ−1 _{= 11.}

Le premier point de bifurcation primaire apparaˆıt pour Ra ≈ 850.78. La structure du mode marginal (figure 5.3.a) indique que la bifurcation est une fourche. La branche de solution associée se termine presque immédiatement en un point de bifurcation secondaire le long de la branche issue de la seconde bifurcation primaire en Ra ≈ 850.86. Des comportements identiques sont reportés dans des domaines de plus petits rapports d’aspect [2]. La structure du mode marginal (figure 5.3.b) associé à la deuxième bifurcation primaire révèle qu’il s’agit d’une bifurcation transcritique. La partie sous-critique de la branche est notée L−_{et la partie super-critique} L+_{. Parce que L ≫ 1, la partie supercritique L}+ _{de cette branche passe rapidement} un noeud-col à l’issue duquel elle se prolonge dans le régime sous-critique jusqu’à des valeurs inférieures au seuil d’instabilité linéaire de la même manière que L−_.

A mesure que Ra décroˆıt, la structure des solutions le long des branches L± évolue d’un ensemble de rouleaux contra-rotatifs vers un ensemble de rouleaux co- rotatifs dont le sens de rotation du fluide correspond à un mouvement ascendant du fluide le long de la paroi chaude z = 1 [13]. En raison de la taille finie du domaine dans la direction verticale x, l’amplitude de ces rouleaux est modulée et plus faible à proximité des bords x = 0 et x = L [11, 12]. Pour chacune des branches, à mesure que Ra décroˆıt, l’enveloppe de cette modulation devient devient de plus en plus brutale pour créer des fronts et finalement former des structures fortement localisées spatialement (figure 5.3.b). A la branche L+_{sont alors associées des solutions formées} d’un unique rouleau de convection au centre du domaine, alors qu’à L−_{sont associées} des solutions formées de deux rouleaux co-rotatifs (figure 5.3.b1 et 5.3.b2).

A la différence du problème considéré dans le chapitre précédent ou du même problème dans sa version bidimensionnelle [3], les branches d’états spatialement lo- calisés sont produites par une bifurcation primaire et non une bifurcation secondaire. Cette différence est induite par les conditions aux limites dans la direction de plus grande extension. La présence de parois rigides dans cette direction ne permet pas la formation d’un ensemble de rouleaux identiques et donc de structures spatialement périodiques. Munies de conditions d’adhérence, ces parois induisent des couches limites freinant l’écoulement et conduisant aux modulations d’amplitude que nous avons décrites.

a) b1) b2)

Figure _{5.3 – (a) Représentation du mode marginal associé à la première bifurcation} primaire de type fourche. Sont représentées les isosurfaces de w = ±W avec W choisi de manière appropriée (noir pour la valeur négative et gris pour la valeur positive) et la fonction de courant dans le plan y = 1/2 (noir pour des rouleaux tournant dans le sens direct et blanc pour des rouleaux indirects). (b1) Représentation similaire du mode marginal ˜ft responsable de la bifurcation transcritique. Les deux derniers shapshots montrent l’évolution de la solution non-linéaire le long de L+ _{via les} isovaleurs de la fonction de courant dans le plan y = 1/2 à Ra ≈ 810 et Ra ≈ 740. (b2) Idem que (b1) pour la branche L− _{et le mode propre correspondant − ˜}_f

122 5.1. Domaines ´etendus verticalement

en fonction de Ra. Les deux branches L±_{sont représentées sur deux graphes différents} pour plus de clarté. Les solutions représentées sur les figures 5.3.b1 et 5.3.b2 corre- pondent à des solutions situées sur la partie de la branche entre le point de bifurcation primaire et le premier noeud-col au voisinage duquel elles ont une structure spatialement localisée.

La figure 5.4.a révèle que la branche L+_{effectue une série de 3 allers-retours dans} l’intervalle 703 < Ra < 807 avant de poursuivre vers de plus grandes valeurs de Ra. La figure 5.5.a, présente la structure des solutions au voisinage de chaque noeud- col. Elle montre que les allers-retours sont associés à la croissance spatiale de la structure localisée. A chaque noeud-col de gauche, une paire de rouleaux co-rotatifs est nucléée, les rouleaux ainsi créés se positionnant aux extrémités de la structure déjà formée. A l’issue de 3 allers-retours, les rouleaux de convection occupent tout le domaine et la branche quitte la région de snaking vers des nombres de Rayleigh plus grands. A la différence des conditions aux limites périodiques, elles ne reconnectent pas une branche existante [5, 4]. Les solutions aux grandes valeurs de Ra ressemblent toutefois à des solutions périodiques mais avec des défauts induits par la présence des parois rigides supérieures et inférieures. La branche L+ _{se comporte de manière} proche de la branche correspondante dans le problème de la convection d’un fluide binaire sujet à l’effet Soret dans une cavité horizontale [9, 10].

La branche L−_{a initialement le même type de comportement que L}+_{. Cependant,} une fois la cavité remplie par les rouleaux de convection, la branche rebrousse chemin. Au noeud-col le plus énergétique, la solution consiste en 6 rouleaux de convection (snapshot 6 de la figure 5.5.b). A mesure que la branche décroˆıt en énergie, les rouleaux se séparent en deux trains de 3 rouleaux proches des extrémités du domaine en laissant une zone faiblement convective au centre du domaine Cette transition se produit lors du passage de deux noeuds-cols à environ Ra = 745. Au noeud-col suivant (Ra ≈ 703), la solution ressemble à un état à deux-pulses, puis elle part vers les grands nombres de Rayleigh tout en augmentant l’intensité des 4 rouleaux extrémaux tandis que les deux rouleaux centraux disparaissent.

Le comportement décrit ci-dessus possède des similitudes avec celui observé dans l’équation de Swift–Hohenberg (avec non-linéarités d’ordre 2 et 3) définie sur un intervalle de taille finie et munie de conditions aux limites de Robin. Lorsque ces conditions aux limites respectent la réflection x → −x, le mécanisme classique de formation des structures spatialement localisées est altéré de fa¸con similaire à celui de la convection thermosolutale 3D présentée ici [8]. Plus précisément, la figure 7 de [8] montre une bifurcation faiblement transcritique similaire à la bifurcation transcritique analysée ici. La branche sous-critique produite appelée S6,0 correspond à des solutions à 6 longueurs d’onde. Elle peut être identifiée à L+ _{(figure 6 de [8]).} Aux fortes amplitudes, elle conduit à la formation de solutions ressemblant à des solutions périodiques. Les figures 7 et 9 de [8] montrent également la branche super- critique, notée S6,π. Au voisinage du seuil, elle passe un noeud-col et s’étend dans le régime sous-critique. Son comportement ressemble à celui de L− _{: la branche S}

6,π revient effectivement vers les faibles amplitudes en continuant à effectuer des allers- retours, et évolue en deux-pulse avant de se reconnecter à la solution triviale. Dans le cas présent, L− _{se sépare également en une solution à deux pulses à mesure que la} solution décroˆıt en amplitude. A la différence avec l’équation de Swift–Hohenberg, après cette transition, la solution garde sa structure et quitte la région de snaking en

0 1 700 720 740 760 780 800 820 0 1 700 720 740 760 780 800 820 Ra Ra a) b)

Figure _{5.4 – Diagramme de bifurcation représentant les variations de l’énergie} cinétique E en fonction du nombre de Rayleigh Ra pour les branches (a) L+ _et (b) L−_{. Les solutions à chaque noeud-col sont représentées sur la figure 5.5. La} branche L+ _{est associée à des solutions possédant un nombre impair de rouleaux} de convection. A l’issue de chaque aller-retour, les solutions croissent spatialement en nucléant un nouveau rouleau de part et d’autre de ceux déjà formés. La région des allers-retours est appelée région de snaking. Lorsque le domaine est rempli par 5 rouleaux, la branche quitte cette région et croˆıt en énergie avec Ra. La branche L− est associée à des solutions ayant un nombre pair de rouleaux. La solution croˆıt dans la région de snaking mais ne réussit pas à remplir le domaine. En conséquence, la branche L−_{décroˆıt en énergie au sein de la région de snaking et évolue en deux-pulses} avant de partir vers les rands Ra.

a) b)

Figure5.5 – Solutions aux noeuds-cols des branches L+_{(a) et L}−_{(b) du diagramme} de la figure 5.4. Les solutions sont classées de la gauche vers la droite à mesure que l’on s’éloigne de la bifurcation primaire à Ra ≈ 850.88. Les solutions sont représentées par les isosurfaces de vitesse verticale u = ±U avec U choisi de manière appropriée (noir pour la valeur positive et gris pour la valeur négative). La dernière solution a été obtenue pour Ra ≈ 841 pour L+ _{et Ra ≈ 840 pour L}−_.

124 5.1. Domaines ´etendus verticalement

formant deux pulses de deux rouleaux chacun. Les résultats obtenus dans l’équation de Swift–Hohenberg indiquent que lorsque l’on change de manière continue les conditions aux limites périodiques pour celles de Robin, la branche S6,π et une branche de solutions à deux pulses se coupent et forment une bifurcation imparfaite changeant qualitativement le diagramme. La branche S6,π et la partie inférieure de la branche d’états deux pulses ne forment plus qu’une branche. Dans notre cas, L− _{connecte la} partie supérieure de la branche deux-pulses et continue donc à croˆıtre en amplitude lorsque Ra augmente.

Les solutions présentées jusqu’à présent sont Sy-invariantes et en ce sens sont ana- logues à celles obtenues dans une version bi-dimensionnelle du problème (Ghorayeb & Mojtabi [6]). Cependant, la présence de la troisième direction (y) est responsable d’une instabilité pleinement tridimensionnelle [2] dont la conséquence remarquable est d’induire un snaking secondaire que nous allons présenter.

La figure 5.6 représente le diagramme de bifurcation montrant à la fois les branches de bifurcation primaires L± _{et les branches de bifurcation secondaires.} La figure 5.7 présente les modes propres marginaux responsables des bifurcations secondaires. Elles sont toutes associées à des modes marginaux qui brisent au moins la symétrie Sy et sont donc à relier à la bifurcation secondaire observée dans de petits domaines [2] et qui a pour effet d’incliner autour de l’axe vertical les rouleaux de convection du domaine. Dans la région de snaking où les branches primaires effec- tuent des allers-retours, cette instabilité apparaˆıt plusieurs fois le long des branches L±_.

La figure 5.6 révèle que des bifurcations secondaires apparaissent le long des branches L+ _{et L}−_{. La première bifurcation secondaire le long de L}+ _{produit la} branche labellisée L+₁ et la première bifurcation secondaire le long de L−_{, la branche} L−

1. Le mode propre marginal associé à L+1 (figure 5.7.a) brise les symétries Sy et S△ et produit des solutions Sc-symétriques. Inversement, celui responsable de L−1 (figure 5.7.b) brise Sy et Sc et produit des solutions S△-symétriques. La seconde bifurcation secondaire le long de L+ _{est associée à une valeur propre nulle de multiplicité 2. Les} deux vecteurs propres marginaux sont représentés sur les figures 5.7.c et 5.7.d. Le premier prérseve S∆, brise Sy et Sc et produit la branche labellisée L+2∆. Le second préserve Sc, brise Sy et S∆ et produit la branche labellisée L+2c. Les deux branches sont superposées lorsqu’on les représente en terme d’énergie cinétique versus Ra. De la structure des vecteurs propres (figure 5.7), on remarquera que cette instabilité secondaire n’agit que sur les rouleaux qui forment les bords du convecton. Les mêmes caractéristiques lient les bifurcations secondaires suivantes de L− _{et produisent les} branches L−_2△ et L−_2c dont les solutions ne respectent que la symétrie S∆ pour L−2△ et Sc pour L−2c.

Les branches de bifurcation secondaire produisent ce que nous appelons un snaking secondaire et qui consiste en une série d’allers-retours dans l’intervalle 745 < Ra < 819, défini comme l’intervalle vers lequel les oscillations des branches tendent. La première bifurcation secondaire de L+ _{se produit à Ra ≈ 751, avant} le premier noeud-col. Elle est super-critique et génère la branche L+1 qui consiste initialement en des solutions formées d’un unique rouleau de convection de faible amplitude localisé au centre du domaine (figure 5.8.a). A mesure que Ra augmente le long de L+1, le rouleau s’amplifie, augmente sa taille et s’incline brisant à la fois Sy et S△ mais préservant Sc. Après le premier noeud-col, la branche L+1 repart vers des

0 700 740 780 820 860 0 700 720 740 760 780 800 820 840 860 Ra Ra a) b)

Figure 5.6 – Diagramme de bifurcation représentant les variations de l’énergie cinétique E en fonction du nombre de Rayleigh Ra pour les branches associées au snakings secondaires issus de bifurcations secondaires le long des branches de bifurcation primaire L+ _{et L}−_{. Pour des raisons de clarté, les branches (a) L}+ et (b) L− _{(dont la partie descendante n’a pas été représentée) sont représentées} séparément (figures (a) et (b)). Les bifurcations secondaires se produisent le long des parties sous-critiques des branches L± _{et conduisent à la formation de structures} localisées dont les rouleaux sont inclinés par rapport à l’axe vertical. Les solutions à chaque noeud-col de ces branches de solutions labelisées L+₁, L+_2△, L+_2c et L−

1 sont repr´esent´ees sur la figure 5.8 et celles aux noeuds-cols de L−_2△, L−_2c sur la figure 5.9.

valeurs de Ra décroissantes et deux nouveaux rouleaux sont créés, un de chaque côté du rouleau central. Durant la nucléation, la taille et l’inclinaison du rouleau central décroissent jusqu’au noeud-col de gauche de manière à obtenir 3 rouleaux de taille et d’intensité sensiblement identiques mais légèrement inclinés les uns par rapport aux autres. L’intensité des rouleaux et leur longueur recroissent après le noeud-col et à mesure que Ra augmente. En plus de ces effets, les rouleaux s’inclinent alter- nativement dans des directions opposées. Ce snaking se poursuit jusqu’à former une solution comprenant 7 cellules de convection. La branche L+

1 quitte alors la r´egion du snaking secondaire et poursuit vers les grandes valeurs de Ra.

Le scénario est identique pour la seconde bifurcation secondaire (le long du second segment sous-critique de L+_{) produisant simultanément en Ra ≈ 742 les deux} branches L+_2△ et L+_2c. Ces deux branches sont associées initialement à une structure formée d’une cellule centrale de forte amplitude entourée par deux cellules de plus faible intensité (figure 5.8.c,d). Cette caractéristique est une conséquence du fait que ces branches secondaires bifurquent d’un état intermédiaire du processus de nucléation le long de la branche L+ _{dans lequel les cellules fraˆıchement nucléées} n’ont pas atteint leur amplitude maximum. Cette propriété (une cellule forte au sein de cellules plus faibles) est héritée par les solutions des branches L+_2△ et L+_2c.

Les solutions associées à ces deux branches (figure 5.8.c,d) ne diffèrent que par l’orientation des rouleaux sur un demi-domaine. Les branches L+_2△ et L+_2c se super- posent donc dans le diagramme de bifurcation de la figure 5.8. Durant le snaking secondaire, le rouleau central reste droit (il ne s’incline pas) bien que son extension dans la direction verticale varie. Le comportement des faibles rouleaux évolue

126 5.1. Domaines ´etendus verticalement

a)

b)

c)

d)

Figure 5.7 – Modes marginaux responsables des bifurcations vers (a) L+₁ (Sc- symétrique), (b) L−₁ (S△ -symétrique), (c) L+_2△ (S△-symétrique) et (d) L+_2c Sc- symétrique). Ces modes sont représentés par deux iso-valeurs opposées de la vitesse

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