M´ethode de continuation - Etats localisés dans les systèmes fluides : application à la double

Enfin, le passage d’un problème de Poisson à un problème de Helmoltz du type (I − γ∇2_{)u = f s’obtient directement. Il suffit de multiplier le membre de gauche de} la relation (3.28) par γ puis de remplacer le terme γ(λy_j + λz

k) par γ(λ y

j+ λzk) + 1. La méthode présentée ici dans le cas 3D est semblable à celle appliquée aux problèmes 2D.

3.3 M´ethode de continuation

Les méthodes de continuation sont des méthodes particulières de calcul des ra- cines d’une équation que nous utilisons ici pour la recherche de solutions stationnaires d’équations différentielles non-linéaires. Pour fixer les idées, considérons le système dynamique suivant :

dt = f (x, λ), (3.34)

o`_{u x(t) ∈ R}n_{, λ ∈ R est le paramètre et f : R}n _{× R → R}n _{est une fonction} non-linéaire. Les méthodes de continuation reposent sur l’idée d’homotopie. Si l’on connait une solution à λ = λ0et que l’on cherche une solution à λ = λ1, on construit une suite discrète de problèmes intermédiaires paramétrés par λ [21]. La résolution successive de ces problèmes intermédiaires permet d’obtenir une courbe dans le plan (λ, x) appelée branche de solutions. Cette approche permet d’obtenir des diagrammes de bifurcation et ainsi de cartographier les solutions dans certaines gammes de λ. Génériquement, la résolution des problèmes intermédiaires est réalisée par une méthode de point fixe donnant accès aux solutions stationnaires linéairement stables ou instables. Ces méthodes peuvent également s’appliquer à l’étude de solutions instationnaires périodiques en les reformulant comme la recherche de points fixes d’une application de Poincaré. Cela dit, elles ne renseignent pas sur les régimes transitoires et ne sont pas con¸cues pour l’étude de solutions instationnaires. En ce sens, elles restent complémentaires des méthodes d’intégration en temps.

La principale difficulté pour suivre une branche de solutions est liée au fait que x n’est pas nécessairement une fonction de λ ; la branche peut par exemple passer un point de rebroussement ou noeud-col. Pour surmonter cette difficulté, il convient de reparamétrer le problème en introduisant artificiellement un paramètre dont on sera certain que la solution en sera une fonction. C’est l’idée que Keller a proposée au travers d’une paramétrisation dite pseudo arc length [15] reposant sur la recherche d’une solution étendue X incluant le paramètre λ : X(s) = (x(s), λ(s)). Ici, la variable s est le paramètre de continuation et représente l’abscisse curviligne le long de la branche. Il est clair que dans cette perspective, X reste toujours une fonction de s même si la branche de solutions passe un point de rebroussement.

Généralement, à ces méthodes est associée une stratégie de parcours de la courbe de solutions dont l’objectif est de diminuer le temps de calcul sans perdre d’infor- mation. Le calcul d’une solution se fait ainsi en deux étapes. A partir d’une solution précédemment calculée X(sj−1), on construit par extrapolation une prédiction

X de la solution X(sj−1 + ∆s) de sorte que ∆s = | ˆX − X(sj−1)|2. La seconde étape est l’étape de correction qui met en jeu une méthode itérative de type point fixe utilisant la prédiction comme valeur initiale. La correction se fait toujours à une distance △s de X(sj−1) en résolvant : f (X(sj)) = 0 munie de la contrainte

λ(sj−1) λ(sj)

x(sj−1) _△s

(ˆx, ˆλ)

Figure 3.3 – Exemple schématique de méthode de continuation sur le paramètre λ, x étant la solution (ici de dimension 1) du système. La phase de prédiction a lieu avec un pas △s vers (ˆx, ˆλ) et la correction se fait en arc de cercle vers (x(sj), λ(sj)). La variable

s repr´esente l’abcisse curviligne et λ le param`etre de continuation.

∆s − |X(sj) − X(sj−1)|2 = 0 (figure 3.3). L’objectif de l’étape de prédiction est évidemment de réduire le temps de calcul de la nouvelle solution voire tout simplement de permettre à la méthode de point fixe de converger. La stratégie d’optimisa- tion du temps de calcul ne s’arrête cependant pas là. Le choix de l’avancement ∆s est lui aussi contrôlé de sorte à avancer plus vite (∆s plus grand) lorsque la solution varie peu avec s ou à ralentir (∆s plus petit) lorsque la branche traverse de multiples noeud-cols ou que le calcul de la correction est évalué comme trop coûteux.

Ces méthodes bénéficient aujourd’hui de plus de 30 ans de développement et sont de plus en plus utilisées [13]. Des logiciels open-sources ont même été développés permettant d’aborder des systèmes modérés en nombre d’équations (n = O(102_{)) [7].} On notera toutefois que leur emploi dans le domaine de la mécanique des fluides reste marginal en raison principalement des difficultés inhérentes à leur mise en oeuvre sur des systèmes à nombre de degrés de liberté élevé. Plus exactement, c’est l’inversion des systèmes linéaires mis en jeu dans l’étape de correction par la méthode de point fixe (Newton-Raphson dans notre cas) qui pose problème. C’est pourtant dans ce domaine que nous avons exploité ces méthodes sur des géométries 2D et 3D. En nombre de degrés de liberté, nos systèmes mettent en jeu de l’ordre de 105 _inconnues dans les cas 3D. Le succès de la mise en oeuvre de ce travail repose principalement sur l’utilisation d’un préconditionneur proposé par Tuckerman [24, 20]

3.3.1 Algorithme de continuation

La méthode de continuation utilisée dans notre travail diffère de la continuation pseudo arc length. Elle contient toujours les deux étapes, prédiction et correction, mais celles-ci ne sont pas réalisées avec la contrainte que nous avons présentée.

78 3.3. M´ethode de continuation

La prédiction est construite par extrapolation (linéaire ou quadratique) de solutions antérieures. Le paramètre sur lequel elle est menée n’est pas l’abscisse curviligne mais soit le paramètre adimensionnel retenu pour les diagrammes de bifurcation (par exemple le nombre de Rayleigh λ ≡ Ra) soit la valeur en un point (la l-ième coor- donnée xl du vecteur x ). Le deuxième choix est préféré à proximité d’un point de rebroussement pour lequel la solution cesse d’être une fonction du paramètre λ mais reste une fonction de xl. Cette proximité éventuelle est détectée par l’algorithme soit en évaluant la pente de la courbe x(λ) aux points précédents, soit parce que le nombre d’itérations de correction aux points précédents a augmenté de manière significative témoignant de l’approche d’un point singulier.

La correction procède de même avec deux choix possibles. Soit le calcul du point fixe est mené à paramètre λ fixé (les inconnues sont alors les n composantes de x) soit le paramètre est inclus dans les inconnues et l’une des composantes de x est maintenue fixée (les inconnues sont alors toutes les n − 1 autres composantes de x et le paramètre λ).

3.3.2 M´ethode de point fixe

La méthode proposée par Mamum et Tuckerman [20] est ici mise en oeuvre aussi bien avec une formulation des équations en variables primitives qu’avec une formulation fonction de courant - vorticité. Il s’agit d’une méthode de Newton dans laquelle un préconditionneur est utilisé pour l’inversion des systèmes linéaires à chaque itération.

La méthode exploite le schéma d’intégration en temps des équations à l’ordre 1. Les équations (Navier-Stokes incompressible, conservation de l’énergie et des espèces chimiques) peuvent schématiquement s’écrire, une fois discrétisées en temps et en espace :

U(n) _{= (I − △t L)}−1 U(n−1)_{+ △t N(U}(n−1)) , (3.35) où U est l’ensemble des valeurs des champs ((u, T, C) pour un problème de double- diffusion) aux noeuds du maillage. Dans l’écriture, L est la partie linéaire et N(U) la partie non-linéaire. L’examen des schémas présentés dans la section 1 montre que L est au facteur multiplicatif près un opérateur de diffusion agissant sur chacune des composantes du champ U. L’équation (3.35) peut aussi s’écrire :

U(n)_{− U}(n−1)_{= △t (I − △t L)}−1 LU(n−1)+ N(U(n−1)) . (3.36) La recherche d’une solution stationnaire U du probl`eme est la recherche d’une solution de :

L U + N(U) = 0. (3.37)

Une méthode de Newton à paramètre constant (λ fixé) appliquée à cette équation consiste à calculer une suite de valeurs U[k] _{(k ≥ 0) telle que U}[k+1] _{= U}[k]_{− δU}[k] où δU[k] _{≡ δU est solution de :}

L U[k]_{+ N(U}[k]_{) = L + D}

UN(U[k]) δU, (3.38)

où DUN(U[k]) est la dérivée de Fréchet de l’opérateur N évaluée en U[k]. En multi- pliant les deux membres par ∆t(I − ∆tL)−1_{, on obtient de manière équivalente :}

∆t(I − ∆tL)−1 L U[k]+ N(U[k]) = ∆t(I − ∆tL)−1 _{L + D}

de droite est menée par le biais d’une itération du schéma d’intégration en temps linéarisé). Dans le cas présent, nous avons utilisé un gradient biconjugué carré de la bibliothèque NSPCG [17].

Outre le fait de pouvoir mettre en oeuvre simplement une méthode de Newton à l’aide du schéma d’intégration en temps, la méthode proposée par Tuckerman offre un avantage décisif : la relation (3.39) montre que (I − ∆tL)−1 _{peut être} un préconditionneur du système (3.38). Si ∆t ≫ 1, ∆t(I − ∆tL)−1 _{≈ L}−1_{. Si les} termes diffusifs dominent dans l’opérateur L + DUN(U[k]), alors la méthode a le double intérêt de présenter une facilité de mise en oeuvre et de faciliter l’inversion en implémentant du même coup un bon préconditionneur. Dans la pratique nous avons utilisé ∆t ≈ 105 _{pour obtenir des convergences quadratiques entre 2 et 5 itérations} de Newton.

La même approche peut être utilisée dans le cas du calcul d’un point fixe à pa- ramètre variable en maintenant l’une des composantes du champ U fixée à une valeur prescrite. Il convient alors de dériver L U+ N(U) par rapport au paramètre adimensionnel choisi (par exemple Ra). Le résultat dépend bien sûr de l’adimensionnement i.e. de l’endroit où apparaˆıt ce paramètre.

3.3.3 Analyse de stabilit´e lin´eaire

L’analyse de stabilité linéaire des solutions stationnaires complète les informa- tions du diagramme de bifurcation et est également utilisée dans l’accrochage des branches aux points de bifurcation. Le vecteur propre marginal (sa norme peut être ajustée) additionné à la solution stationnaire forme un prédicteur qui est utilisé à l’itération zéro de l’étape de correction pour tenter d’accrocher la branche.

En notant δU = δ ˜Ueσt _{(avec δ ˜}_U _{indépendant de t) une perturbation infi-} nitésimale d’une solution stationnaire U, le système linéaire vérifié par δU s’écrit :

σδ ˜U= J(U) δ ˜U (3.40)

où σ est la valeur propre (taux de croissance temporel) de J(U), Jacobienne du système qui n’est autre que la linéarisation de F autour de U : J(U) = L+DUN(U). La stabilité est donc liée au signe de la partie réelle des valeurs propres de J(U).

Etant donnée la dimension du système linéaire mis en jeu dans nos problèmes, il est préférable de ne pas calculer le spectre complet de J. Par ailleurs, seule la partie du spectre associée aux valeurs propres à partie réelle positive ou proche de zéro nous intéresse. Les méthodes d’Arnoldi sont un outil de choix pour extraire une partie du spectre. De nature itérative, elles ne nécessitent que de savoir évaluer l’action de J sur un vecteur donné ce qui est appréciable comparé à l’explicitation complète de la matrice J. Toujours sur une idée de Mamun et Tuckerman, on va

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