Convection thermique en m´elange binaire

Un m´elange fluide binaire poss´edant un coefficient de s´eparation n´egatif et chauff´e par dessous d´eveloppe un gradient de concentration vertical stabilisant par effet Soret. Il en r´esulte la pr´esence d’un r´egime sous-critique de convection stationnaire consistant en des paires de rouleaux de convection contra-rotatifs. Dans le cas d’une couche horizontale de p´eriode spatiale ´egale `a 7 fois la longueur d’onde critique, ces solutions sont repr´esent´ees par la branche P7 (figure 2.15). Elles sont spatialement p´eriodiques, sous-critiques et coexistent avec l’´etat conductif o`u le fluide est au repos. La coexistence de ces 2 ´etats favorise, `a l’instar des solutions bistables de l’´equation de Swift–Hohenberg, l’apparition de connexions homoclines. Les solutions localis´ees impaires sont port´ees par la branche Lodd tandis que les solutions localis´ees paires sont port´ees par Leven. Ces deux branches d´ecrivent un snaking bien d´elimit´e mais dont les bornes sont diff´erentes, puis se reconnectent sur P7 proche du noeud-col. La raison pour laquelle le snaking des deux branches d’´etats localis´es ne se fait pas

Figure 2.15 – Diagramme de bifurcation montrant l’´echange thermique repr´esent´e par le nombre de Nusselt normalis´e Nu−1 en fonction du nombre de Rayleigh R pour la convection thermique d’un fluide binaire avec effet Soret dans un domaine horizontalement p´eriodique de rapport d’aspect 14. Sont pr´esent´ees la branche de convection P7constitu´ee

de 7 paires de rouleaux contra-rotatifs de convection (repr´esent´ee `a droite en haut) ainsi que les branches de solutions localis´ees impaires (resp. paires) Lodd (resp. Leven) dont une

solution est montr´ee sur la figure de droite au milieu (resp. en bas). Les snapshots montrent les isovaleurs de la d´eviation θ de la temp´erature au profil conductif ainsi que les isovaleurs de la concentration C. D’apr`es Mercader et al. [27, 28].

dans la mˆeme r´egion est la pr´esence d’un gradient de concentration horizontal pour les solutions impaires [27]. Proche des noeuds-cols de droite, les solutions impaires sont constitu´ees d’un train de rouleaux isol´es dont le premier et le dernier tournent dans le mˆeme sens. Ils engendrent de fait un gradient de concentration horizontal d´ependant de leur sens de rotation [4]. Ce pompage est responsable du d´eplacement de la limite de droite des noeuds-cols du snaking vers de plus petits nombres de Rayleigh du snaking pour les solutions localis´ees impaires. La limite de gauche n’est pas affect´ee par cet effet car les rouleaux de convection y sont moins intenses et le pompage insignifiant.

Pour conforter cette explication, on compare les r´esultats pr´ec´edents avec ceux pr´esent´es sur la figure 2.16 trac´es dans les mˆemes conditions mais avec une condition d’adh´erence pour la vitesse et de non-flux pour les autres champs au lieu des condi- tions aux limites p´eriodiques dans la direction horizontale. Les nouvelles conditions aux limites empˆechent les solutions spatialement p´eriodiques de se former et seules les branches d’´etats spatialement localis´es sont donc pr´esentes sur ce diagramme. La branche d’´etats localis´es pairs (Leven sur la figure 2.15 et LC sur la figure 2.16 `a gauche) demeure sensiblement identique jusqu’`a son dernier noeud-col. A ce niveau, `a cause des conditions aux limites, elle passe par un dernier noeud-col et se dirige vers les grands nombres de Rayleigh, la solution produisant un d´efaut par rapport au train de rouleaux p´eriodique de P7. La mˆeme ´evolution est observ´ee pour la branche d’´etats localis´es impairs. Enfin, aucun flux de concentration `a grande ´echelle n’est permis, et donc il n’y a pas de pompage et le snaking des deux branches d’´etats loca- lis´es se fait entre les mˆemes limites. L’utilisation de ce type de conditions aux limites

56 2.2. Exemples physiques

Figure 2.16 – Diagrammes de bifurcation similaires `a celui de la figure 2.15 mais pour des conditions aux limites d’adh´erence et de non-flux. A gauche, la branche de solutions localis´ees paires et `a droite celle des solutions localis´ees impaires. A chaque fois, une solution est repr´esent´ee pour la marque la plus basse du diagramme en utilisant les mˆemes champs que pour la figure 2.15. D’apr`es Mercader et al. [28].

entraˆıne aussi l’apparition d’un nouveau type de solutions localis´ees : les convectons lat´eraux. La figure 2.17 permet de visualiser cette branche d’´etats localis´es LW ainsi que sa bifurcation de la branche de solutions localis´ees paire LC. Les solutions la constituant sont des connexions h´et´eroclines entre l’´etat conductif et celui convectif et produisent aussi du snaking dans la mˆeme gamme de param`etres. Lors du sna- king elles parcourent deux fois plus d’allers-retours que les branches d’´etats localis´es pr´ec´edentes, ceci s’expliquant par leur sym´etrie : `a chaque aller-retour, les convec- tons lat´eraux ne rajoutent qu’un rouleau de convection contre deux pour les ´etats localis´es homoclines. La branche de convectons lat´eraux se reconnecte, une fois le domaine rempli, `a la branche paire d’´etats localis´es.

Les solutions pr´ec´edentes repr´esentent des fronts reliant un ´etat conductif `a un ´etat convectif, et ont ´et´e pr´esent´ees dans leur forme la plus simple, c’est-`a-dire avec une ou deux connexions. La pr´esence de ces fronts n’alt´erant pas la stabilit´e physique des solutions, il existe aussi des solutions pr´esentant plus de connexions que l’on appelle multi-pulses. De telles solutions ont ´et´e mises en ´evidence dans le mˆeme probl`eme par Mercader et al. [28], sans effet Soret [8] ainsi que dans un milieu poreux par Lo Jacono et al. [24]. En parall`ele `a cette zoologie d’´etats stationnaires, des solutions spatialement localis´ees stables mais non stationnaires existent. Elles peuvent prendre la forme de paquets de rouleaux de convection localis´es se d´epla¸cant au sein d’un milieu conductif [1] comme la solution figurant sur la figure 2.18.a, de rouleaux de convection stationnaires localis´es au sein d’un milieu convectif oscillant [2] comme sur la figure 2.18.b, ou encore de comportements plus complexes [34].

Figure _{2.17 –} A gauche, diagramme de bifurcation montrant la branche LC de solu- tions paires (cf figure 2.16) ainsi que la branche d’´etats localis´es lat´eraux LW. A droite, repr´esentation des solutions localis´ees lat´erales marqu´ees sur le diagramme par la d´eviation θ thermique par rapport au profil conductif et la concentration C. D’apr`es Mercader et al. [28].

a) b)

Figure _{2.18 –} Diagrammes spatio-temporels repr´esentant (a) la temp´erature sur le plan m´edian pour la convection d’un fluide binaire sujet `a l’effet Soret dans un domaine p´eriodique [1] et (b) la vitesse verticale dans le plan m´edian pour la convection de Maran- goni dans un domaine p´eriodique [2].

58 2.2. Exemples physiques

b) a)

Figure2.19 –(a) Solution frontali`ere de l’´ecoulement de Couette `a Re = 400 repr´esent´ee par la vitesse en x sur le plan m´edian en y [33]. Des solutions similaires ont ´et´e trouv´ees dans [16]. (b) Solution frontali`ere de l’´ecoulement en conduite cylindrique `a Re = 4000 repr´esent´ee par la vorticit´e axiale `a deux diff´erents temps. Seulement 2/5 du domaine de calcul est repr´esent´e [38].