Etudes exp´erimentales

Les fluides magn´etiques sont des dispersions de nanoparticules magn´etiques. Lorsque de tels fluides sont soumis `a un champ magn´etique uniforme perpendi- culaire `a leur surface, une instabilit´e dite de Rosensweig [11] se produit au cours de

a) b)

Figure 2.24 – (a) Surface du fluide magn´etique dans la partie supercritique de l’instabi- lit´e de Rosensweig pour une induction magn´etique B = 10.407mT. (b) Energie surfacique du fluide Es en fonction de l’induction magn´etique. Un hyst´eresis est clairement visible

pour 8.09mT< B < 9.025mT. A B = 8.91mT, plusieurs solutions localis´ees ont ´et´e iden- tifi´ees en cercles pleins. D’apr`es [31].

laquelle se forme un r´eseau hexagonal de pics (figure 2.24.a). Dans le cadre de leur exp´erience, Richter & Barashenkov [31] ont utilis´e le fluide magn´etique EMG 901, Lot F121901 AX de Ferrotec. Dispos´e sur un disque horizontal circulaire et soumis `a un champ magn´etique vertical uniforme, la surface du fluide reste uniforme jusqu’`a B = 9.025mT puis subit l’instabilit´e de Rosensweig. Lorsque l’induction magn´etique est diminu´ee, la structure hexagonale perdure jusqu’`a B = 8.09mT puis s’´evanouit, t´emoignant de l’hyst´eresis associ´e `a la sous criticalit´e de la bifurcation de Rosensweig pour ce fluide (figure 2.24.b). Pour ´etudier la stabilit´e du profil surfacique uniforme vis `a vis de perturbations locales, Richter & Barashenkov ont plac´e une bobine petite devant la taille du disque en son centre, permettant de cr´eer localement un pulse magn´etique de 0.68mT s’ajoutant au champ uniforme B fix´e dor´enavant `a 8.91mT. A cette valeur de B, le profil surfacique n’est exp´erimentalement pas uniforme et pr´esente une couronne de pics `a son bord. Cette couronne est due `a la discontinuit´e du champ magn´etique au bord du disque et n’influence pas la cr´eation de pics au centre du domaine. L’ajout de ce pulse permet de cr´eer un pic localis´e au centre du domaine et qui perdure plusieurs jours apr`es avoir retir´e la bobine. Dˆu `a son interaction avec ses homologues de la couronne, le pic solitaire, baptis´e soliton, se d´eplace avant de trouver une position d’´equilibre. Si d’autres pulses sont ajout´es `a partir de ce moment, de nouveaux solitons sont cr´e´es et perdurent. Une solution `a 9 solitons est montr´ee sur la figure 2.25. Ces solutions spatialement localis´ees sont repr´esent´ees sur la figure 2.24.b par les cercles pleins et t´emoignent de la richesse de solutions stables dans la r´egion de bistabilit´e.

D’autres exp´eriences ont aussi permis de mettre en ´evidence la pr´esence d’´etats localis´es dans diff´erents probl`emes physiques comme en optique [36] ou dans les probl`emes de Faraday en milieu granulaires [37] et suspensions collo¨ıdales [22]. Des solutions spatialement localis´ees p´eriodiques emprunt´ees `a ces deux derniers

62 2.2. Exemples physiques

Figure 2.25 – Photographie d’une solution constitu´ee de 9 solitons pour une induction magn´etique uniforme de 8.91mT. D’apr`es [31].

a) b)

Figure_{2.26 –}a) Un, deux et trois ´etats localis´es oscillant (appel´es oscillons) `a la surface d’une suspension collo¨ıdale vibrant `a 14Hz, 20Hz et 25Hz. Le temps va du haut vers le bas. D’apr`es [22]. b) Photographies d’un oscillon compos´e de sph`eres de bronze recouvrant un disque vibrant `a 26Hz. Deux temps diff´erant d’une demi p´eriode sont montr´es. D’apr`es [37].

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de conservation de l’´energie et des esp`eces chimiques et la m´ethode de splitting pour le probl`eme de Navier–Stokes incompressible bas´ee sur le sch´ema de Karniadakis, Israeli & Orszag [14]. La discr´etisation spatiale par m´ethode aux ´el´ements spec- traux est ensuite abord´ee. Une attention particuli`ere est donn´ee `a la r´esolution du probl`eme de Helmholtz. La m´ethode de continuation qui est l’outil que nous exploi- tons majoritairement dans ce travail est ensuite d´ecrite.

3.1

Discr´etisation temporelle

Nous pr´esentons ici la discr´etisation temporelle des ´equations de conservation de l’´energie et des esp`eces chimiques dans un premier temps puis des ´equations de Navier Stokes incompressibles dans un second temps.