Situation d'un corps

Dès la dénition de la tâche à réaliser, nous avons à décrire sans ambiguïté où se trouvent les éléments dans la scène : la pièce à manipuler, l'outil, le plan de travail par exemple. Lorsqu'il va s'agir de simuler l'action de l'opérateur, nous allons également devoir spécier la posture de celui-ci : où se trouve sa main, son buste, ses pieds, etc. La description géométrique d'une scène composée de diérents objets revient à déterminer la position relative de tous les points de ceux-ci. Si les objets sont déformables, la distance entre deux points d'un même objet n'est pas xe et la description de la scène nécessite une grande quantité d'information : soit une description exhaustive de tous les points d'intérêt, soit la connaissance de certains points, des lois de déformation et des contraintes qui produisent cette dernière. Si les objets sont supposés rigides et indéformables, cette description est simpliée car la distance entre deux points d'un même objet ne varie pas.

Les éléments de notre opérateur et de son environnement sont composés de corps supposés rigides et, selon le cas, xes ou mobiles. On choisit un référentiel commun xe lié à l'atelier. Dans ce repère, on peut retrouver la position de tous les points d'un corps solide à partir de la donnée des coordonnées d'un point particulier et de l'orientation d'un repère lié à ce solide vis à vis du référentiel. Cette paire constituée des coordonnées d'un point et de l'orientation d'un repère tous deux liés au solide, constitue la situation du corps. Quand un corps n'est lié mécaniquement à aucun autre, il sut localement de 6 paramètres indépendants pour décrire sa situation.

Une tâche de manipulation impose la situation d'une ou des deux mains et éventuellement d'autres corps. On notera X le vecteur de ces m paramètres de situation (aussi appelés coordonnées opérationnelles). Dans notre cas, les valeurs de m peuvent être 3, 6, 9, 12 selon que la tâche impose explicitement la seule position d'une main, la situation d'une main, la position des deux mains, la position de l'une et la situation de l'autre, ou enn la situation des 2 mains. L'espace opérationnel  encore appelé espace de la tâche  est celui dans lequel est déni ce vecteur X des m paramètres de situation. Il est noté X et est localement assimilable à Rm _{si les m} paramètres de situation ont été choisis localement indépendants.

Il nous faut décrire la situation des mains pour dénir les données d'entrée mais également utiliser l'informa- tion de situation de chacun des corps composant la chaîne cinématique de l'opérateur pour calculer les données de sortie. L'information de position est la plupart du temps décrite par les coordonnées cartésiennes de position même si pour certains problèmes à géométrie spécique, les coordonnées sphériques ou cylindriques peuvent être

Fig. 2.1  Transformation de la base Bi en la base Bj par les angles de Roulis-Tangage-Lacet

intéressantes. Pour l'orientation, comme celle-ci est dénie sur un espace localement isomorphe à R3 _{et qui n'est} pas parallélisable, tout ensemble de 3 coordonnées ne permet de décrire l'ensemble des matrices de rotation que localement. On est donc naturellement confrontés au choix entre :

1. un système de coordonnées en nombre minimal égal à 3 mais qui possède des singularités, 2. ou bien un ensemble de paramètres liés en nombre supérieur à 3 partout déni [Renaud M. 96].

On peut noter qu'un choix qui apparaît optimal en termes de compromis relatif au nombre de paramètres et à l'absence de singularités est celui des quaternions où l'orientation est dénie par 4 paramètres.

Pour notre part, nous avons retenu des choix plus intuitifs pour la spécication de la tâche. Dans la première catégorie, nous avons utilisé le système des angles de Roulis-Tangage-Lacet. Ainsi, l'orientation d'un repère vectoriel Bj dans un repère vectoriel Bi est déterminée par la spécication de trois angles (ϕ angle de Roulis,

θ angle de Tangage et ψ angle de Lacet) correspondant à 3 rotations successives : si xi, yi et zi sont les axes physiques du repère d'origine, on fait subir à ce repère une première rotation autour de l'un de ses axes physiques, puis une seconde rotation autour d'un second axe physique et enn une troisième rotation autour du troisième axe physique (Fig. 2.1). La dénition classique de la succession des axes physiques est zi − yi− xi. Il existe d'autres systèmes de 3 angles tels que les angles d'Euler ou de Bryant.

Dans la catégorie des représentations à paramètres non indépendants, nous avons utilisé les cosinus direc- teurs : l'orientation d'un repère par rapport à un autre est obtenue par la matrice de 9 cosinus directeurs liés par les six relations d'orthonormalité. Celle-ci est naturellement incluse dans le formalisme des matrices ho- mogènes qui regroupe l'information de changement d'un repère ane Ri = (Oi, xi, yi, zi) en un repère ane

R_j = (O_j, x_j, y_j, z_j)_{dans une matrice homogène de la manière suivante :}

i_T j = " i_A j iPj 0 0 0 1 # = " i_s j inj iaj iPj 0 0 0 1 # où la matrice i_A

j, de dimension (3 × 3), représente l'orientation, le vecteur colonnei_P

j, de dimension (3 × 1), représente l'origine du repère Rj exprimée dans le repère Ri, i_sj,i_n

j etiaj, de dimension (3 × 1) représentent respectivement les vecteurs unitaires suivant les 3 axes du repère vectoriel Bj exprimés dans le repère vectoriel Bi.