Chapitre II Premiers Modes d’Oscillation d’un Système
2.3. b Simulations et résultats
Pour réaliser les simulations numériques à friction variable nous avons utilisé les mêmes algorithmes que ceux introduits à la partie 2.2.a. Lorsque la friction ne dépend pas de la vitesse des particules, nous pouvons utiliser sans problème l’algorithme de Verlet- Leapfrog19. Dans le cas où la diffusion n’est pas constante ce n’est plus possible. C’est pourquoi nous avons choisi de travailler à diffusion constante, d’autant plus que la diffu- sion n’apparaît pas explicitement20 dans l’équation de contrainte (II.52).
En ce qui concerne le protocole des simulations, nous avons conservé exactement le même que dans la partie 2.2.a. Nous attendons que le système se stabilise dans un état stationnaire f0, qui n’est plus l’équilibre thermodynamique, puis nous le dilatons à t = 0
de sorte à n’exciter que le mode de respiration.
Notons qu’au vu des résultats des parties précédentes, nous avons uniquement testé un système en particulier : un plasma unidimensionnel piégé (p ≪ 1, d = 1, k = 1). Nous sommes partis du principe que si la nouvelle équation de contrainte donnait des résultats satisfaisants, elle devrait pouvoir être utilisée a priori pour les autres gammes de para- mètres ; bien sûr, dans les limites déjà énoncées dans les précédents tests de la partie 2.2, comme les phénomènes de relaxation non pris en compte par l’équation de contrainte (amortissement Landau, “shell crossing”,. . . ). L’intérêt de regarder en particulier ce sys- tème est que d’une part le modèle peut aussi être interprété comme celui d’un système d’atomes froids unidimensionnel dans un piège magnéto-optique21 (P.M.O.), et d’autre part nous connaissons son état d’équilibre lorsque la friction est constante : la densité en espace ρ0 est une fonction constante par morceaux. Après plusieurs vérifications numé-
riques, nous avons conclu que le caractère variable des profils de friction testés n’influençait pas significativement ce profil de densité qui reste un plateau. La connaissance du profil f0 étant désormais une donnée nécessaire pour utiliser l’équation de contrainte (II.52),
ce choix de système nous permet de résoudre ce problème car toute la contribution en vitesse de f0 disparait lors du calcul de κ(λr)ri2
f0, grâce au fait que κ ne dépend pas
de la vitesse des particules. La densité en espace stationnaire ρ0 utilisée par la suite sera
donc : ρ0(r) = N 2Lint si |r| ≤ Lint 0 si |r| > Lint, (II.54) où Lintest la demi-taille du système dans l’état f0, obtenue par analyse dimensionnelle en
comparant l’importance des forces de piégeage et d’interaction. En effet, la température22 ne joue quasiment aucun rôle car nous sommes dans la limite p ≪ 1. À cause de la friction variable, nous pouvons nous attendre à une température inhomogène qui varie localement. Notons que même pour les maxima de la température, la limite p ≪ 1 restera raisonnable. Comme nous n’aurons pas besoin de son expression dans les tests présentés plus bas, nous 19. On peut refaire exactement les mêmes calculs que dans [AT99] (partie 9.3) lorsque la friction ne dépend que de la position r et non de la vitesse.
20. La diffusion joue un rôle dans l’expression de l’état stationnaire f0. Elle apparaît donc dans l’équa-
tion de contrainte de façon implicite. 21. Voir le paragraphe1du chapitre III.
ne la donnerons pas ici23.
i) Friction affine
Commençons par considérer le cas le plus simple de friction variable, celui d’une fonc- tion affine : κ(r) = κ0 1− |r| Lκ si |r| ≤ Lκ, 0 si |r| > Lκ, (II.55) avec Lκ la taille caractéristique associée à la variation spatiale de la friction. Plus précisé-
ment, il s’agit de la taille à partir de laquelle la friction devient nulle. Nous tronquons ainsi la friction à partir de |r| > Lκ, de sorte à ne pas considérer de friction négative24. D’autre
part, lorsque |r| est supérieur à Lκ, les particules dans cette région ressentent une diffusion
non nulle mais plus de friction. La température locale est alors infinie (T ∼ D/κ). Afin d’éviter cette situation qui n’a pas de sens physique, nous allons imposer aux particules de rester dans une zone de friction non nulle pendant toute l’évolution du système. Pour cela nous vérifierons que pour tout t, λ(t)Lint < Lκ. L’équation de contrainte (II.52) se
réécrit ¨ λ + λω02− p λ3ω 2 0 + (p− 1) 1 λkω 2 0 + ˙λκ0 1−3 4λ Li Lκ = 0. (II.56)
Comme nous l’avons supposé pour obtenir l’expression de ρ0, nous avons p ≪ 1. D’autre
part, pour éviter les problèmes liés aux trop fortes frictions (voir le paragraphe2.2.b.ii.α), nous allons uniquement considérer les cas max|r|∈R(κ(r)) = κ0 ≪ ω0. Puisque lorsque la
friction est constante, ces deux conditions permettent d’obtenir un très bon accord entre théorie et simulations, nous nous attendons à ce qu’il en soit de même ici.
Les figuresII.11(a)etII.11(b)donnent deux exemples de résultats obtenus pour différents rapports Lκ/Lintet différentes perturbations initiales. Comme nous pouvons le constater,
les résultats sont très similaires à ceux obtenus pour une friction constante. L’équation de contrainte capte assez précisément la fréquence d’oscillation du mode de respiration mais pas toujours l’amplitude. On pourra remarquer sur la figure II.11(b) que la taille du système ne semble pas retourner vers sa valeur d’origine. En réalité, c’est bien le cas mais pour des temps plus grands. Cela permet de comprendre qualitativement pourquoi l’équation de contrainte est mise en défaut si rapidement. Le mode de respiration ne peut plus être décrit comme une perturbation autour de l’état f0, car le système tend à
rejoindre un autre état stationnaire avant que la friction ne le ramène vers f0 pour des
temps plus grands. ii) Friction sinusoïdale
Considérons maintenant un cas plus compliqué où la friction est donnée par la relation suivante : κ(r) = κ0 1 + cos π|r| Lκ , (II.57)
23. Nous utiliserons le même modèle lors des tests réalisés pour les oscillations du centre de masse. L’expression de Lintsera précisée à ce moment-là.
24. Le cas particulier d’une friction variable pouvant changer de signe sera discuté lorsque nous essaye- rons d’appliquer l’équation de contrainte pour de grands pièges magnéto-optiques (chapitre III partie
2. OSCILLATIONS DE RESPIRATION
(a) Le profil de friction est donné par l’équa- tion (II.55). Les paramètres sont : κ0/ω0 =
5,6 × 10−2, Lκ = 1,25 × Lint est (λ; ˙λ)|t=0 =
(1,2; 0,0).
(b) Le profil de friction est donné par l’équa- tion (II.55). Les paramètres sont : κ0/ω0 =
5,6 × 10−2, Lκ = 5,0 × Lint est (λ; ˙λ)|t=0 =
(5,0; 0,0).
Figure II.11 – Évolution de la taille d’un plasma de Coulomb unidimensionnel soumis à une friction dépendant de la position des particules. Le profil est donné par l’équa- tion (II.55). Les paramètres sont N = 4000, d = 1, k = 0, Lint= 12,5 et p = 6 × 10−5.
avec Lκ qui est désormais la position du premier minimum de κ(r). Avec cette nouvelle
expression, l’équation (II.52) devient
¨ λ + κ0˙λ + λω02− p λ3ω 2 0+ (p − 1) 1 λkω 2 0 + 3 2 ˙λκ0 L3 i Z Li 0 cos πλr Lκ r2dr = 0. (II.58) Comme les figuresII.12(a), II.12(b) etII.12(c) le montrent, nous obtenons le même type de résultat que pour la friction affine utilisée au précédent paragraphe, en restant toujours dans les régimes p ≪ 1, κ0/ω0 ≪ 1.
Par curiosité, nous avons voulu tester la réaction de l’équation de contrainte lorsque nous relâchions sensiblement la condition κ0 ≪ ω0. Dans le cas d’une friction constante,
nous avons vu (voir le paragraphe 2.2.b.ii.α) que nous obtenions des résultats plutôt sa- tisfaisants (erreur inférieure à 5%) dans l’estimation de la fréquence d’oscillation lorsque κ ∼ 0,5 × ω0. Qu’en est-il ici ? La figure II.12(d)nous donne un exemple de résultat pour
κ0 = 0,56 × ω0. Comme nous pouvons le constater, nous obtenons un bon accord entre
théorie et simulations.
Avant de clôturer notre discussion sur le comportement du mode de respiration sous l’effet d’une friction variable, regardons ce qu’il se passe lorsque l’on utilise directement une friction effective ad hoc ne dépendant pas de λ(t) dans l’équation de contrainte (II.52) au lieu du terme hκ(λr)r2
iif0. Le plus naturel consiste à prendre une friction effective
moyennée sur le système, soit
κ(1)ef f = hκ(r)if0. (II.59)
Une seconde possibilité est de retirer arbitrairement le paramètre λ du terme de friction effective de l’équation de contrainte
κ(2)ef f = hκ(r)r 2 iif0 hr2 iif0 . (II.60)
(a) Le profil de friction est donné par l’équa- tion (II.57). Les paramètres sont : κ0/ω0 =
5,6 × 10−2, L
κ = 0,25 × Lint et (λ; ˙λ)|t=0 =
(1,2; 0,0).
(b) Le profil de friction est donné par l’équa- tion (II.57). Les paramètres sont : κ0/ω0 =
5,6 × 10−2, L
κ = 4,0 × Lint et (λ; ˙λ)|t=0 =
(5,0; 0,0).
(c) Le profil de friction est donné par l’équa- tion (II.57). Les paramètres sont : κ0/ω0 =
5,6 × 10−2, L
κ = 0,25 × Lint et (λ; ˙λ)|t=0 =
(1,2; 0,0).
(d) Le profil de friction est donné par l’équa- tion (II.57). Les courbes de l’encart en tirets bleus et en pointillés verts sont respectivement obtenues à l’aide de l’équation (II.52) où nous avons substitué κ(λr) par hκ(r)if0 et κ(r). Les paramètres sont : κ0/ω0 = 5,6 × 10
−1, L κ =
0,25 × Lint et (λ; ˙λ)|t=0= (5,0; 0,0).
FigureII.12 – Évolution de la taille d’un plasma de Coulomb unidimensionnel soumis à une friction dépendant de la vitesse des particules. Les paramètres sont N = 4000, d = 1, k = 0, Lint= 12,5 et p = 6 × 10−5.
L’encart de la figure II.12(d) compare justement ces différents résultats. Bien que les écarts ne soient pas très importants, l’avantage est donné à l’équation de contrainte qui a le mérite de ne pas introduire une friction effective de manière arbitraire.
3
Oscillations du centre de masse
Dans cette partie, nous allons nous intéresser au comportement du centre de masse d’un système de particules piégées. Contrairement au mode de respiration sans approche générale, le comportement du centre de masse est très bien connu. Cependant, ce n’est plus le cas dès qu’une friction non constante existe ou bien que le piège de confinement n’est
3. OSCILLATIONS DU CENTRE DE MASSE
plus harmonique. C’est dans ce cadre que nous allons introduire une nouvelle équation de contrainte pour le mouvement du centre de masse et essayer d’apporter un début de réponse.