Chapitre II Premiers Modes d’Oscillation d’un Système
2.1. c Analyse de l’équation de contrainte
L’équation (II.24) décrit l’évolution du mode de respiration en utilisant certaines pro- priétés de l’état stationnaire de référence f0. En effet, la méthode que nous avons utilisée
nécessite la connaissance de r2 j f0 et v 2 j
f0, qui peuvent être vues comme les largeurs
typiques de la distribution f0 dans les directions rj et vj de l’espace des phases. Par consé-
quent, nous avons d équations à satisfaire simultanément par λ et cela n’est possible que si r2 j f0 v 2 j
f0 ne dépendent pas explicitement de la direction observée j : il faut que f0
soit isotrope par rapport à r et v.
En regardant de plus près l’équation (II.24), un paramètre adimensionné apparaît natu- rellement : p = 1 ω2 0 v2 j f0 r2 j f0 , (II.29)
qui permet de réécrire l’équation de contrainte comme ¨ λ + κ ˙λ + λ− p λ3 + p− 1 λk ω2 0 = 0. (II.30)
Il est possible dans certains cas d’avoir une interprétation physique explicite du para- mètre p. Pour cela, remarquons que lorsque f0 est l’état d’équilibre thermodynamique,
l’énergie potentielle typique du piège est donnée par (1/2)ω2
0r2j
f0, tandis que l’énergie
thermique est proportionnelle à la vitesse quadratique moyenne des particules qui donne (1/2)v2
j
f0. Dès lors, nous avons
p = énergie thermique
énergie potentielle du piégeage. (II.31)
Une autre façon de comprendre le rôle du paramètre p est d’utiliser le théorème du Vi- riel (voir équation (II.27)) qui permet de faire apparaître l’énergie d’interaction entre particules :
p = 1− (k − 1) E
0
2. OSCILLATIONS DE RESPIRATION
En utilisant cette expression pour le paramètre p, nous pouvons immédiatement remar- quer que la limite p → 1 correspond au cas où le rôle des interactions est négligeable devant le rôle du piège.
Personnellement, je préfère utiliser une troisième interprétation de ce paramètre. Si nous considérons un système de particules sans interaction (Fbin(r, r′) = 0) à l’équilibre ther-
modynamique et à la même température que précédemment, nous avons v2 j f0,Fbin=0 = ω 2 0r2j f0,Fbin=0, (II.33) et donc p = r 2 j f0,Fbin=0 r2 j f0
= “Taille du système sans interaction”
“Taille du système avec interaction”. (II.34) En plus de pouvoir être vu comme le ratio entre énergie thermique et énergie potentielle de piégeage, le paramètre p peut s’interpréter comme un indicateur de la force des interactions entre particules. En effet, lorsque les interactions entre particules sont attractives (resp. répulsives) r2
j
f0,Fbin=0 est plus grand (resp. petit) que r
2 j
f0 et donc p > 1 (resp. <1).
Selon la gamme de valeurs de p nous pouvons différencier les régimes suivants :
– 0 < p < 1 : les interactions sont répulsives. Plus p est proche de zéro et plus elles sont fortes.
– p ∼ 1 : les interactions entre particules sont faibles. Le système est essentiellement dominé par le piège et les effets thermiques. Nous retrouvons bien le même résultat qu’en utilisant l’équation (II.32).
– p > 1 : les interactions sont attractives. Elles sont d’autant plus fortes que p est grand.
ii) Oscillateur anharmonique
Afin de mettre en avant les propriétés de l’équation de contrainte (II.30), il est plus simple de l’interpréter comme l’équation d’évolution d’un oscillateur anharmonique soumis au potentiel extérieur φ6 : ¨ λ + κ ˙λ + φ′(λ) = 0, (II.35) avec φ(λ) = ω2 0 1 2λ 2+ 1 2 p λ2 + p− 1 1− kλ 1−k , si k 6= 1, ω2 0 1 2λ 2+ 1 2 p λ2 + (p− 1) log λ , si k = 1, (II.36)
Le premier terme de l’équation (II.36) provient du potentiel de confinement Φ = (ω2
0/2)|r|2,
le dernier terme prend naissance dans les interactions entre particules, enfin le deuxième correspond à un terme de pression cinétique7, qui ne dépend pas de la dimension de l’es- pace d.
6. Attention à ne pas confondre Φ et φ. Le premier est le potentiel extérieur qui confine les particules tandis que le second est un potentiel extérieur effectif pour décrire l’évolution du mode de respiration.
7. Nous retrouvons ce terme en utilisant l’ansatz donnée par (II.13) et (II.14) pour déterminant l’ex- pression de la iièmecomposante du tenseur de pression cinétique Ψ =R
(w−v)(w−v)f(r, w, t)dw moyenné sur l’espace et normalisé par ω2
0r 2 i
f0. Remarquons que de manière moins précise mais plus intuitive, on peut se convaincre du rôle de ce terme en notant qu’il apparaît directement dans l’expression de l’énergie cinétique du système (voir l’équation (II.25)).
La forme du potentiel φ est directement reliée à la nature des oscillations. Dans le cas répulsif (p < 1), le potentiel est convexe et ce quelle que soit la valeur du degré d’homogé- néité k des interactions. Il diverge en φ ∼ λ−2 lorsque λ tend vers zéro et φ ∼ λ2 lorsque
λ tend vers l’infini. Les deux comportements limites assurent que le système va osciller autour de l’unique minimum λ = 1. Ce résultat peut être compris de façon intuitive en remarquant que dans le cas répulsif, il y a compétition entre les interactions qui veulent dilater le système et le piège harmonique qui tend à contracter le système. C’est le même genre de compétition entre effets attractifs et effets répulsifs qui assure la stabilité d’une étoile, où les forces thermonucléaires tendent à dilater le système tandis que la gravité tend à le contracter. Dans le cas attractif (p > 1), il faut distinguer plusieurs cas. Si 0≤ k ≤ 3, alors le potentiel conserve les mêmes propriétés que dans le cas répulsif. Dans ce cas, ce n’est plus le potentiel extérieur qui assure la stabilité du système mais plutôt la pression cinétique qui empêche le système de s’effondrer sur lui-même. Enfin, pour des interactions attractives telles que k > 3, le potentiel diverge comme λ1−k lorsque λ tend
vers zéro. Si p < 1 − 4/(3 − k), alors λ = 1 est un état stationnaire métastable et il en existe un autre instable, noté λ∗, tel que λ∗
< 1 (voir figure II.2). D’autre part, si p > 1− 4/(3 − k), alors c’est λ = 1 qui est instable tandis qu’il existe un état métastable pour λ∗ > 1.
0.0e+00 5.0e+02 1.0e+03
0 1 2
FigureII.2 – Représentation du potentiel anharmonique effectif φ défini par (II.36). En pointillés nous avons un cas où les interactions entre particules sont répulsives, et en ligne continue un cas attractif avec k > 3.
iii) Approche linéaire
Au-delà de l’approche qualitative que nous a permis l’introduction d’un potentiel effec- tif anharmonique que ce soit au niveau linéaire ou non linéaire, il est possible d’avoir des informations plus précises lorsque nous nous limitons explicitement aux faibles perturba- tions. Pour cela nous allons linéariser l’équation (II.30) au voisinage de λ = 1 en posant λ(t) = 1 + ε(t). Nous obtenons ainsi :
¨
ε(t) + κ ˙ε(t) + ω02p (3− k) + 1 + kε(t)− 1= 0, (II.37) où les solutions sont données par
−κ+√κ2−4ω2(p(3−k)+1+k)t
−κ−√κ2−4ω2(p(3−k)+1+k)t
2. OSCILLATIONS DE RESPIRATION
avec C− et C+ des constantes qui dépendent des conditions initiales.
Au regard de la solution (II.38), nous pouvons distinguer, selon les valeurs des différents paramètres, des régions où les oscillations de respiration relaxent de façon sous-amortie ou sur-amortie. Les figures II.3(a)etII.3(b) représentent ces différentes régions, en intro- duisant l’équation de la frontière les séparant ω0/κ = ζ(p, k) avec :
ζ(p, k) = 1 2
1 p
p (3− k) + 1 + k. (II.39)
Nous pouvons constater deux choses :
(a) Cas k < 3. (b) Cas k > 3.
Figure II.3 – Représentation des régions de relaxation sur-amortie et sous-amortie des oscillations de respiration en régime linéaire. La figure II.3(a) est réalisée pour k = 2, tandis que la figureII.3(b) pour k = 6.
– Lorsque k est inférieur (resp. supérieur) à 3, la frontière entre sur-amortie et sous- amortie décroît (resp. croît) quand p augmente.
– Dans le cas k > 3, dès que p devient supérieur à 1 − 4/(1 − k), les oscillations de respiration relaxent toujours de façon sur-amortie et ce quelle que soit la valeur de la friction κ.
Ces deux prédictions de l’équation de contrainte ne seront pas testées dans la suite. Notons que la deuxième prédiction s’applique principalement aux systèmes à interaction courte portée (sauf si d > 3). Nous verrons au paragraphe2.2.bque la simulation de ces systèmes est assez difficile. C’est pourquoi nous n’avons pas poursuivi dans cette voie.
iv) Fréquences du mode de respiration
Un des intérêts de l’approche utilisée ici est de nous donner accès aux fréquences du mode de respiration ω quelle que soit la valeur de k ou de p, mais aussi à leur évolution lorsque ces paramètres évoluent quelle que soit la dimension de l’espace d. En effet, si nous considérons la limite κ → 0, nous obtenons :
ω(k, p) = ω0
p
(3− k)(p − 1) + 4. (II.40)
Cette expression redonne les deux cas limites bien connus [DO99] d’un gaz sans interaction ω = 2ω0 (p = 1) et d’un plasma fortement corrélé ω =
√
pouvons également noter que l’évolution de la fréquence de respiration dépend du type d’interaction entre particules (voir figure II.4). En effet, lorsque k < 3 (resp. k > 3), la fréquence augmente pour des valeurs de p croissantes (resp. décroissantes).
Figure II.4 – Évolution de la fréquence du mode de respiration linéarisé en fonction de la valeur de p pour différentes valeurs du degré d’homogénéité de l’interaction k.
v) Comparaison avec la littérature
Au-delà des deux cas limites d’un gaz sans interaction et d’un plasma froid ou fortement corrélé que l’équation (II.40) englobe bien (voir [DO99]), nous pouvons comparer notre prédiction avec beaucoup d’autres travaux disponibles.
Dans la limite p = 0 d’un système cristallisé où les effets de températures peuvent être négligés i.e. sans le terme λ−3, l’équation (II.40) est exactement celle obtenue par [Jam98, TCD02, PP97,HFL+08]. Dans [AYS03], les auteurs considèrent le cas d = 1 d’un plasma (k = 0) avec des valeurs de p non nulles mais relativement faibles. Ils introduisent ainsi le terme λ−3 qui donne exactement l’équation (II.40) que nous avons obtenue.
Il est important de rappeler que l’hypothèse de force d’interaction homogène ne nous limite pas à des forces en loi de puissance. L’équation (II.40) dépasse bien ce cadre. Par exemple, l’auteur de [GO02] considère un gaz de particules classiques avec des interactions du type champ moyen qui fait apparaître un potentiel de Dirac δ. Ce cas correspond à un degré d’homogénéité k = d + 1, qui est bien inclus dans l’équation (II.40), et nous retrouvons bien la même fréquence de respiration. A contrario, le potentiel de Yukawa ne peut pas être décrit par notre approche car il n’est pas, ni la force qu’il crée, homogène :
V (r)∝ exp (−|r|/L)
|r| . (II.41)
Cependant, nous pouvons tout de même retrouver les deux cas limites où la longueur d’écrantage L tend vers zéro et vers l’infini. Dans le premier cas, le potentiel de Yukawa tend vers un potentiel de Dirac δ tandis que dans l’autre limite, il tend vers le potentiel Coulombien. Ces deux cas étant bien inclus dans l’équation (II.40), nous retrouvons les résultats obtenus dans [She04, SBC+04] qui utilisent d’autres méthodes.
2. OSCILLATIONS DE RESPIRATION
Pour terminer, mentionnons le fait que nous retrouvons également le comportement pré- dit pour un système auto-gravitant tridimensionnel (k = 2 et d = 3) avec ou sans pres- sion [SSK86]. Pour cela il suffit de reprendre la méthode que nous avons présentée sans considérer le piège ni le thermostat. Dans ce cas, l’équation (II.24) devient simplement :
¨ λ− 1 λ3 − 1 λ2 v2 j f0 r2 j f0 = 0, (II.42)
où la limite sans pression, qui conduit irrémédiablement au collapse du système, s’obtient en négligeant le terme de pression cinétique 1/λ3.