Chapitre II Premiers Modes d’Oscillation d’un Système
3.1. b Dynamique étudiée
Pour pouvoir s’affranchir de la connaissance de distribution f, nous allons suivre la même méthode que pour le mode de respiration (voir 2.1.a) : nous allons sélectionner la dynamique à étudier en supposant que la distribution f évoluera autour d’un état sta- tionnaire f0, dont nous admettrons l’existence.
Nous nous intéressons à l’évolution du centre de masse et plus précisément au mode de ballotement du système (aussi appelé mode dipolaire). Cela signifie que nous allons considérer le mouvement du centre de masse en admettant que c’est l’ensemble du système qui se déplace. Bien que cette hypothèse soit très restrictive, elle semble assez raisonnable lorsque l’on pense à une expérience concrète. En effet pour observer/mesurer le compor- tement du centre de masse, une méthode consiste à maintenir le centre de masse hors de son état de repos puis de lever cette contrainte. Pour faire cela en excitant le moins de modes possibles, il suffit de maintenir puis de relâcher l’ensemble des particules simulta- nément. Cela revient donc à considérer qu’à t = 0, c’est tout le système qui est translaté par rapport à une position de référence26. Partant de cette hypothèse, il est tout naturel de poser
R= r− η(t) + hrif0, (II.68)
25. Dans la cas où le potentiel est anharmonique mais que la friction est constante, le profil d’équilibre est connu. Cependant, les interactions apparaissent toujours implicitement dans hrjif pour la même
raison.
26. Au-delà de t = 0, cette façon de justifier la translation du système entier ne tient plus. La méthode développée ici donnera des résultats d’autant meilleurs que la dynamique du centre de masse sera en accord avec cette hypothèse. Malheureusement, il n’est pas possible a priori de quantifier cela et c’est entre autres pourquoi nous aurons recours aux simulations numériques pour tester la robustesse des
3. OSCILLATIONS DU CENTRE DE MASSE
où hrif0 est un vecteur constant dépendant de l’état stationnaire f0. Nous verrons qu’il n’a
pas d’autre intérêt que de permettre une interprétation physique plus simple du vecteur η(t).
Maintenant que nous avons imposé un comportement à la partie en espace, il faut faire de même pour la partie en vitesse, de sorte que les deux hypothèses soient compatibles. Pour cela, nous allons considérer la conservation de l’espace des phases, i.e. drdv = dRdV. Nous devons poser
V= v + h(r, t), (II.69)
avec h une fonction arbitraire qui ne dépend que de r et de t.
Notons que tout comme pour le mode de respiration, la conservation de l’espace des phases ne peut-être vraie que si la friction est nulle. Cependant, nous avons vu que malgré cette incompatibilité, les résultats obtenus par l’équation de contrainte du mode de respiration sont très satisfaisants et nous pouvons espérer qu’il en soit de même ici.
La deuxième condition que nous allons imposer est la conservation de masse au travers de l’équation de continuité
∂ρ
∂t(r, t) + ∇r. (ρ(r, t)u(r)) = 0, (II.70)
obtenue en intégrant l’équation (II.61) sur dv et en posant ρ la densité en espace et u le champ de vitesse local, donnés par
ρ(r, t) = Z f (r, v, t)drdv, ρ(r, t)u(r) = Z vf (r, v, t)drdv. (II.71)
Comme pour le mode de respiration qui a conduit à l’équation (II.10), il nous faut une condition initiale (un état initial de référence) qui sera perturbée. Il s’agira bien sûr de l’état stationnaire f0, de sorte que l’évolution en temps de f satisfasse
f (r, v, t) = f0 r− η(t) + hrif 0, v + h(r, t) . (II.72)
Une fois cet état de référence choisi, nous pouvons l’injecter dans l’équation de conserva- tion de la masse (II.70). En notant ρ0 et u0 les quantités associées à f0, nous avons
∇r. nh u0 r− η + hrif 0 − ˙η − h (r, t)i× ρ0 r− η + hrif0o= 0, (II.73) avec u0(r) = Z vf0(r, v)dv Z f0(r, v)dv . (II.74)
A priori, cette équation couple toutes les dimensions du système et il est difficile d’en tirer une condition sur la forme de la fonction h. Pour remédier à cela, nous allons chercher une condition sur h qui annule séparément tous les termes de l’équation (II.73).
Il vient h(r, t) = u0 r− η + hrif0− ˙η(t) + α(r, t) ρ0 r− η + hrif0 , (II.75)
avec ∇r.α = 0.
Malgré le fait que nous avons avancé dans la connaissance de la fonction h, une nouvelle fonction α apparaît. Celle-ci dépend toujours de la position r et du temps t. À quoi bon continuer dans cette voie ? En effet, en utilisant d’autres contraintes sur la dynamique, nous serons peut-être capable de trouver une expression plus explicite de α. Cependant, peut-être que de nouvelles fonctions apparaîtront et ainsi de suite. . . D’autant plus qu’à chaque fois nous ajoutons des hypothèses que le système doit satisfaire.
Afin de poursuivre, nous allons faire l’hypothèse forte que α est identiquement nulle. Nous nous autorisons cette hypothèse car lorsque ρ0 tend vers zéro, le dernier terme de (II.75)
disparaît. Une nouvelle fois, nous savons que cette hypothèse n’est pas bien contrôlée mais les tests numériques viendront justifier ou non notre méthode a posteriori.
Finalement, nous allons étudier la dynamique d’évolution du centre de masse via la trans- formation reliant f et f0 : f (r, v, t) = f0(ϕt(r, v)) , (II.76) avec ϕt(r, v) = r− η(t) + hrif 0, u0 r− η(t) + hrif 0 + v− ˙η(t), (II.77) 3.1.c Équation de contrainte
En utilisant les équations (II.76) et (II.77) avec l’équation (II.67), nous obtenons une équation de contrainte que doit satisfaire l’évolution du centre de masse :
¨ ηj(t) + ∂Φ ∂rj r+ η(t)− hrif0 f0 +Dκr+ η(t)− hrif0, v− u0(r) + ˙η(t) vj − uj0(r) + ˙ηj(t) E f0 = 0, (II.78)
avec ηj (resp. uj0) la jème composante de η (resp. u0).
L’équation (II.78) est une généralisation du théorème de Kohn, qui décrit l’évolution du centre de masse d’un système de particules [Koh61, BBvL07], lorsque : la friction est va- riable et le piège anharmonique. Insistons sur le fait que contrairement au cas à friction constante, même si les interactions ne semblent pas intervenir ici, elles sont incluses dans la forme de f0 qui joue un rôle dans l’évolution de η.
Avant de comparer les prédictions de l’équation (II.78) aux simulations numériques, notons qu’il est également possible d’obtenir l’équation (II.78) à partir des N équations de Newton qui gèrent la dynamique du système. Pour cela, il faut d’une part passer à la limite continue en faisant tendre N vers l’infini dans l’expression du centre de masse :
1 N N X i=1 ri −→ hrif 0, (II.79)
avec f0 l’approximation continue de la distribution ponctuelle de particules. D’autre part,
il faut utiliser la transformation donnée par (II.76) et (II.77). Dans ce cas, la forme de la transformation à effectuer n’apparaît pas naturellement mais est faite de manière arbitraire.
3. OSCILLATIONS DU CENTRE DE MASSE
3.2
Simulations et résultats
Dans cette section, nous allons réaliser plusieurs simulations numériques afin de tester les prédictions faites par la relation (II.78) pour les cas à friction variable et pour un piège anharmonique. À cet effet, nous allons supposer dans la suite que l’état stationnaire f0 est
pair par rapport aux coordonnées de vitesse et que le système est centré. Ces propriétés permettent d’écrire que u0(r) = 0 et hrif0 = 0. Bien qu’assez restrictive, nous avons fixé
la première condition de sorte à simplifier les tests numériques. En effet, trouver un état stationnaire avec un champ de vitesse local non nul n’est pas une chose aisée et dépend fortement du système étudié27. D’autant plus que pour nos tests, il faut que cet état soit stationnaire et stable afin que, si possible, le système retourne dans cet état après avoir été perturbé.
Contrairement à la méthode que nous avions utilisée pour réaliser les tests sur le mode de respiration (voir le paragraphe 2.2.a), nous allons utiliser la méthode d’Euler- Maruyama, qui est suffisamment précise lorsque l’on s’intéresse à des quantités moyen- nées et non aux trajectoires exactes de toutes les particules [Tal90]. La méthode d’Euler- Maruyama est simplement une généralisation de la méthode d’Euler utilisée pour un système d’équations différentielles ordinaires : elle permet de résoudre numériquement des systèmes d’équations différentielles stochastiques.
Notons qu’il serait encore possible d’utiliser l’algorithme de Langevin-Verlet, comme nous l’avions fait pour simuler les oscillations de respiration (voir paragraphe2.2.a). Cependant il faut adapter l’algorithme au cas par cas quand le profil de friction dépend de la vitesse. L’avantage pour nous d’utiliser une méthode d’Euler est de calculer un minimum de fois les forces d’interaction entre particules. En effet, il suffit d’une seule évaluation par pas de temps. Le calcul des forces d’interaction étant la partie la plus coûteuse du code en temps de calcul, il devient rapidement nécessaire de l’optimiser quand le nombre de particules augmente. Pour chaque particule, il faut calculer la force totale qu’elle ressent. Il faut en- suite faire de même pour chaque particule du système. Le calcul des forces d’interaction est ainsi d’ordre O(N2).
Afin de calculer l’évolution du centre de masse, nous procédons comme suit :
1. nous attendons que le système se stabilise dans un état stationnaire stable grâce à la friction,
2. à t = 0 nous translatons l’ensemble du système,
3. nous laissons le système évoluer et nous mesurons la position du centre de masse pour tout t.
Pour les simulations concernant les différentes formes de l’équation de contrainte, nous avons utilisé les mêmes méthodes que pour le mode de respiration : Runge-Kutta d’ordre 4 (RK4) et Runge-Kutta-Fehlberg (RK45), implémentées dans la bibliothèque libre de calcul scientifique “GNU Scientific Library” (GSL). Ces méthodes étant standard dans la résolution d’équations différentielles ordinaires, nous ne les détaillerons pas.
27. Une piste serait de considérer un système bidimensionnel soumis à une force extérieure rotationnelle. Pour cela, il faudrait généraliser l’approche présentée dans cette section mais cela semble tout à fait envisageable.