Simulations magnétostatiques en 3 dimensions

De nombreuses études ont été réalisées dans le but d’optimiser le design de concentrateurs planaires dédiés aux capteurs magnétiques [117, 118, 114, 115, 116]. Dans la plupart des cas on utilise des simulations bidimensionnelles (2D) afin de simplifier l’implémentation et limiter le temps de calcul. Cependant la simulation en trois dimensions est nécessaire pour déterminer le gain à attendre avec suffisamment de précision et afin de tenir compte de la non-uniformité verticale du champ dans l’entrefer. Elle a pour objectif de considérer une non-uniformité de l’aimantation dans le concentrateur et donc de la divergence volumique de l’aimantation (et non seulement du terme de surface)

Modèle numérique

A cet effet, nous avons utilisé le logiciel de simulations ’Flux 3D’. Ce logiciel utilise la méthode des éléments finis pour résoudre numériquement les équations aux dérivées partielles de l’électromagnétique. Dans le cas des concentrateurs, il s’agit de la magnétostatique : équation de Maxwel-Thomson et équation de Maxwell - Ampère. Comme pour la plupart des simulations par éléments finis, le travail se décompose en cinq étapes successives :

— Construction géométrique — Génération du maillage — Description physique — Résolution

— Exploitation des résultats

La construction géométrique des concentrateurs ne pose aucune difficulté particulière. De plus, il est possible d’importer directement un fichier de description 2D (par exemple le dessin du masque) et de réaliser une extrusion afin de donner de

l’épaisseur au motif. Le dimensionnement du volume d’air est cependant plus délicat, les conditions aux limites du modèle considérant un champ uniforme à l’infini. Flux3D met à disposition pour ces conditions un objet géométrique appelé boîte infinie (Figure 5.8).

Figure 5.8 – Fenêtre de création de la boîte infinie sous ’Flux3D’, illustrant le concept de résolution dans le cas d’une géométrie cubique : Un premier volume (cube interne) contient le système à modéliser. Les autres volumes permettent d’appliquer la condition de champ uniforme à l’infini.

Cet objet simule des conditions aux limites très éloignées sans augmenter le temps de calcul. Nous pouvons donc utiliser cet outil en choisissant une boîte dont le volume intérieur est suffisamment grand pour garantir une bonne précision. Difficultés du maillage

L’étape de maillage est la plus délicate car une optimisation du maillage est généralement nécessaire afin d’obtenir un bon compromis entre le temps de calcul, la mémoire numérique disponible et la précision de calcul souhaitée. Alors que dans certains cas l’algorithme de maillage automatique proposé par le logiciel permet d’obtenir le compromis recherché, il s’est avéré inefficace pour notre géométrie de concentrateurs. En effet, certaines géométries du concentrateur simulée contiennent des entités volumiques avec des dimensions très petites (l’épaisseur du concentrateur est de l’ordre du micron) et d’autres dimensions très grandes (la largeur est de l’ordre du millimètre). Il devient donc nécessaire de réaliser un maillage 3D sur des dimensions respectives de plusieurs ordres de grandeur différentes, comprenant à la fois des grandes mailles pour les grandes dimensions (afin d’éviter un temps de calcul trop grand) et des éléments plus petits pour les petites dimensions (afin d’assurer une bonne précision). Il a donc été nécessaire d’adapter le maillage à souhait. Dans le cas de Flux la réalisation du maillage se compose des étapes successives suivantes :

— Discrétisation des lignes géométriques :

Il s’agit de la première étape de discrétisation du système. Plusieurs types de discrétisations (géométrique, arith- métique...) sont offertes à l’utilisateur qui peut ainsi discrétiser la construction géométrique afin de repartir au mieux la densité de maillage. Il est par ailleurs possible de discrétiser des lignes supplémentaires non essentielles à la construction géométrique mais permettant de densifier localement le maillage.

— Maillage des faces :

L’utilisateur n’a pas vraiment la main sur cette étape. Elle est réalisée par un algorithme de maillage surfacique. Toutefois 3 types d’algorithmes sont disponibles afin d’ajuster le maillage surfacique :

— Le maillage "Automatic" permet de mailler la géométrie à l’aide d’éléments triangulaires et tétraédriques à partir d’une discrétisation uniforme des lignes géométriques du modèle.

— Le maillage "Mapped" permet de mailler la géométrie à l’aide d’éléments rectangulaires et hexaédriques à partir d’une discrétisation uniforme des lignes géométriques du modèle.

— Le maillage "Assisted" permet de mailler la géométrie en utilisant le maillage de type "Automatic" mais pour lequel l’utilisateur peut définir une discrétisation non uniforme.

— Maillage des volumes :

C’est un algorithme de maillage (volumique) qui réalise cette étape. — Maillage du second ordre :

Cette dernière étape, optionnelle, permet à l’utilisateur de recourir à un algorithme de création d’éléments du second ordre qui viendront étoffer le maillage initial et en améliorer la qualité pour un coût mémoire raisonnable.

Des 4 étapes permettant d’aboutir au maillage complet du système, la première est donc la plus délicate car elle conditionne à la fois les densités des maillages surfaciques et volumiques associés ainsi que la qualité des mailles générées. Or la qualité des mailles et la densité du maillage sont les deux paramètres qui permettront d’obtenir une bonne résolution numérique.

Les mailles, qui peuvent être carrées, triangulaires, tetraédriques ou encore hexaédriques seront considérées de bonne qualité si elles sont peu déformées. Pour ce faire, l’utilisateur doit donc adapter, autant que possible, sa discrétisation afin que la géométrie du maillage soit similaire à celle du système à mailler. Afin d’économiser de la mémoire numérique et du temps de résolution, le maillage doit présenter une forte densité dans les volumes où de forts gradients sont attendus et une densité plus faible là où les gradients seront plus faibles. Une difficulté du maillage est donc qu’il est nécessaire "d’intuiter a priori" la localisation des gradients. C’est la raison pour laquelle le processus d’optimisation d’un maillage est un processus itératif nécessitant plusieurs résolutions numériques.

Afin d’illustrer notre propos sur la qualité du maillage le tableau (5.1) montre la différence entre un maillage adéquat et un maillage considéré comme étant de mauvaise qualité. Le premier présente un bon rapport temps de calcul/erreur de résolution. Un maillage qui prend environ 10 min avec une erreur de 8% est ainsi préférable à un maillage qui prend presque 2 fois plus de temps avec un gain d’erreur de 1%. Ces maillages sont présentés figure (5.9) et figure (5.10). Le maillage le plus efficace (fig.(5.9)) est plus fin dans la partie qui nous intéresse, en particulier au niveau de l’entrefer. A l’inverse, le maillage figure (5.10) présente un nombre important de mailles réparties sur l’ensemble du volume, ce qui aura pour effet d’augmenter le temps de calcul.

Maillage Temps de calcul (min) Erreur de résolution(%)

Bonne qualité 10 8

Mauvaise qualité 17 7

Table 5.1 – Comparaison entre un maillage de "Bonne qualité" et un maillage de "Mauvaise qualité" (Flux3D) : Pour une même qualité de résolution, le temps de calcul peut être diminué de manière significative.

Figure 5.9 – Illustration d’un maillage de "Bonne qualité (Flux3D) : la densité et la forme du maillage s’adapte à la géométrie et la densité est plus grandes dans les zones critiques comme l’entrefer.

La stratégie de maillage retenue pour notre concentrateur consiste à mailler les faces du concentrateur en mode "Mapped" et toutes les autres faces et volumes en mode "Assisted". De plus, certaines faces du modèle géométrique dispensables ont été enlevées afin de le simplifier et donc d’alléger le maillage.