Modèle de réponse des magnétomètres GMR

Nous allons restituer ci-dessous le cadre général permettant de simuler la réponse magnétique des capteurs en tenant compte de l’ensemble des contributions énergétiques mises en jeu et correspondant à une énergie magnétique libre totale Emag. A cet effet, nous allons considérer l’extension de l’approche de Stoner-Wolfarth de la couche mince décrite dans le

chapitre précédent aux cas des tricouches comprenant deux couches magnétiques. Ici l’énergie du système est fonction de la direction d’aimantation des deux couches magnétiques soumises à divers termes énergétiques ou couplages magnétiques selon :

Emag=F(θ1, θ2) (3.1)

oùθ1etθ2représentent respectivement les angles repérant l’aimantation de la couche douce et celle de la couche dure vis

à vis du grand axe des barreaux magnétiques (voir figure 3.2)._{F représente l’énergie libre magnétique.} Nous définissons MCo

S etMSN iF e les deux aimantations à saturation du Co (couche dure) et du NiFe (couche douce).

Les solutions de l’approche monodomaines de Stoner et Wolfarth consistent à trouver alors les 2 angles d’équilibre respectifs θ1 et θ2 correspondant aux minima stables de l’énergie du système et répondant aux équations ci dessous 3.4. Les deux

premières équations correspondent aux zéros des deux dérivées premières donnent les extrema d’énergie à champ magnétique extérieur fixé alors que les deux secondes, dérivées secondes positives de l’énergie, donnent les conditions de stabilité selon :

∂F(θ1, θ2, Hext) ∂θ1 (θ1, θ2, Hext) = 0 ∂_F(θ1, θ2, Hext) ∂θ2 (θ1, θ2, Hext) = 0 ∂2 F(θ1, θ2, Hext) ∂θ2 1 > 0 (3.2) ∂2_F(θ 1, θ2, Hext) ∂θ2 2 > 0 (3.3) (3.4)

Figure 3.2 – Définition des angles θ1 et θ2 repérant les deux aimantations monodomaines dans une multicouche

GMR pour un design de type méandre magnétique.

Nous pouvons dans le cas présent envisager 9 interactions et couplages différents pour le système magnétique (tricouche) décrit plus bas :

— l’anisotropie de forme de la couche dure (Co) dans le cas ou la longueur des méandres est grande devant leur largeur et leur épaisseur est très faible devant ces deux dimensions. L’expression de cette énergie est donnée par :

ES2= µ0α

tCo

W (M

Co

S )2sin2(θ2) (3.5)

où t est l’épaisseur de la couche, W est la largeur du méandre, MCo

S est l’aimantation à saturation et α est la

réduction effective d’anisotropie de forme résultant du couplage magnétostatique entre les barreaux et est donnée par [105] : α = 2r 1 + 2r + r 2(1 + r)2 _π2 2 − 4  (3.6) oùr = G/W où G est le gap entre deux barreaux. Cette énergie est en directe compétition avec l’énergie d’échange unidirectionnelle Eexc2décrite plus loin.

— l’anisotropie de forme de la couche douce (NiFe) qui de façon équivalente est donnée par : ES1= µ0α

tN iF e

W (M

N iF e

S )2sin2(θ1) (3.7)

On doit noter que les champ magnétiques effectifs de forme, Hs, pour les couches dure et douce ne sont pas

indépendanta entre eux et sont reliés par Hs,Co

Hs,N iF e =  _M s,Co Ms,N iF e 2 :

— l’interaction unidirectionnelle d’échange pour la couche dure (la couche férromagnétique de cobalt en contact avec le matériau antiférromagnétique d’IrMn) induite par le procédé de recuit sous champ et agissant comme un champ magnétique effectif à l’interface du Co :

Eexc1=−µ0HexcMSCosin(θ2) (3.8)

oùHexc est le champ magnétique effectif d’échange unidirectionnel.

— l’anisotropie uniaxialle d’échange pour la couche dure de Co (coercitivité du cobalt : typiquement quelques mT) :

Eexc2= Kexccos2(θ2) (3.9)

— le couplage électronique Rudderman-Kittel-Kazuya-Yosida RKKY dans la couche conductrice (Cu) [45, 46, 106] qui représente un couplage magnétique entre les couches ferromagnétique (NiFe et Co) médié par les électrons de conduction selon :

EIL1=−J1cos(θ1− θ2) (3.10)

oùJ1 est la constante d’échange RKKY. L’amplitude de ce couplage RKKY ainsi que sa variation en fonction de

l’épaisseur de l’espaceur par des lois décroissantes en puissance (selon la dimensionnalité) est donnée par la théorie de Bruno [106].

— le couplage magnétostatique entre les deux couches ferromagnétiques en raison des intéractions dipolaires par les charges magnétiques statiques apparaissant sur les surfaces latérales des barreaux, et de même origine dipolaire que l’anisotropie de forme, selon :

EIL3 =−µ0α

√_t

N iF etCo

WN iF e

MSN iF eMSCosin(θ1) sin(θ2) (3.11)

Notons que ce terme est du type sin(θ1) sin(θ2) et diffère donc d’une fonctionnelle énergétique de type champ

magnétique effectif.

— la rugosité des interfaces qui, par interactions dipolaires, donne lieu à un couplage de type champ effectif de type ’peau d’orange’ (’orange-peel’ en anglais) selon :

EIL2=−J2cos(θ1− θ2) (3.12)

oùJ2est la constante dipolaire due à la rugosité. Le calcul de telles intéractions magnétostatiques a été réalisé par

P. Bruno en 1988 [107] en utilisant une analyse par transformée de Fourier.

— l’énergie de Zeeman due au champ magnétique extérieur appliqué dans les deux couches magnétiques

EZ =−µ0HextMSN iF esin(θ1)− µ0HextMSCosin(θ2) (3.13)

Magnétorésistance

Une fois déterminés les deux angles d’équilibre,θ1etθ2, par la procédure de minimisation décrite plus haut, la résistance

du capteur GMR est alors donnée par l’expression suivante :

R = R0[1− GMR cos(θ1− θ2)] (3.14)

oùR0représente la résistance de base du capteur.

L’objectif général est d’obtenir ici un capteur délivrant sensibilité et linéarité adéquates à champ faible, jusque dans la gamme du mT. A cet effet, l’angle d’aimantation de la couche dure doit quasiment rester fixe à faible champ. La configuration magnétique optimale correspond à des aimantations perpendiculaires à champ nul i.e. à une configuration d’aimantation croisée entre les deux couches. Chaque paramètre influence les caractéristiques R(H) comme le montrent les simulations (Figure 3.3). Par exemple, la réduction du champ d’anisotropie d’échange agissant sur la couche dure va avoir pour effet de déstabiliser son aimantation par l’intermédiaire des couplages inter-couches et donc de réduire la sensibilité du capteur (figure 3.3 de gauche). D’autre part, la diminution de l’anisotropie de forme agissant sur la couche douce va avoir pour effet d’augmenter cette même sensibilité de la réponse en champ magnétique (Figure 3.3 de droite). Nous cherchons donc à trouver les paramètres optimaux et géométries adéquates afin d’obtenir la meilleure sensibilité à champ nul.