Simulations

À partir du logiciel commercial HFSS, nous avons fait utilisé deux approches complémentaires : dans un premier temps, nous avons décrit les potentialités d’un réseau infini par l’analyse de modes propres à l’intérieur d’une cellule unitaire fermée par des conditions aux limites permettant de traduire la périodicité (master-slave). Dans un second temps, nous avons observé la transmission d’un empilement de plusieurs cellules unitaires décrit par sa matrice de répartition.

On montre que les niveaux de transmission peuvent être améliorés en réduisant la période latérale non critique [20]. En considérant une polarisation du champ électrique suivant l’axe Oy, cela revient à diminuer la dimension dX. Ce comportement est illustré par la figure III-30 correspondant au spectre de transmission de la structure conçue pour la fréquence de 500 GHz. Il est clair que le niveau de transmission s’approche de l’unité lorsque dX évolue de 340 µm, valeur nominale équivalente à dY, à 140 µm. Par ailleurs, cette augmentation s’accompagne d’un élargissement de la bande passante.

dZ

dX dY

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Figure III-30 : Spectres de transmission simulés pour différentes valeurs de périodes définies suivant l’axe Ox. Du point de vue de l’interaction de l’onde incidente avec le plan métallique structuré, cette différenciation des périodicités latérales revient à diminuer le facteur de remplissage suivant la direction non critique. Ce facteur de remplissage, linéique, est défini comme le rapport entre la longueur traversée par le métal et le diamètre total de la surface illuminée. Parallèlement à cette première voix d’optimisation, la diminution de ce facteur peut être obtenue en conservant l’égalité des dimensions dX et dY. Dans ce cas, on modifie la forme des ouvertures afin de traduire le facteur de remplissage linéique par un rapport d’ellipticité. Ces deux approches ne sont pas rigoureusement équivalentes car la distribution des modes propres dans une ouverture elliptique est différente de celle observée dans une ouverture circulaire. Néanmoins, on retrouve les deux tendances des structures doublement périodiques, à savoir l’augmentation du niveau de transmission et l’élargissement de la bande passante, lorsque l’on observe la transmission à travers un empilement de plans métalliques pourvus d’ouvertures elliptiques (figure III-31). Ces caractéristiques de transmission simulées montrent notamment qu’un niveau proche de l’unité peut être observé pour un rapport d’ellipticité, EAR pour Elliptical Aspect Ratio, de 1,8. Au regard de ses potentialités, nous avons choisi, dans un premier temps, de nous focaliser sur cette géométrie particulière en vue d’une démonstration expérimentale.

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Figure III-31 : Spectres de transmission simulés pour différentes valeurs du rapport d’ellipticité

y x EAR ∆ ∆ = .

Le diagramme de dispersion simulé en modes propres à partir d’une cellule unitaire est représenté sur la figure III-32. Ce graphe permet de vérifier le caractère main gauche de la bande de transmission fondamentale attesté par l’opposition des vitesses de phase et de groupe. En revanche, la comparaison directe avec le spectre de transmission de la figure III-31 n’est pas directe en raison du nombre de modes présents autour de la bande passante.

Figure III-32 : Diagramme de dispersion simulé en modes propres à l’aide du logiciel HFSS pour un rapport d’ellipticité EAR = 1,8.

À partir de spectre de transmission complexe, nous avons extrait la constante de propagation par inversion des relations de Fresnel. Afin d’identifier les modes propres impliqués

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dans la transmission pour les conditions de polarisation utilisées (champ électrique suivant dY , champ magnétique suivant dX), nous avons comparé le diagramme de dispersion de la figure III-32 simplifié à cette constante de propagation (figure III-33).

Figure III-33 : Diagramme de dispersion extrait par inversion des relations de Fresnel à partir du spectre de transmission d’une structure à 5 cellules unitaires. Le pointillé noir représente les modes propres dominants autour

de la fréquence de 500 GHz.

Cette comparaison montre une superposition de la constante de phase uniquement aux extrémités des bandes gauchère et droitière. Il apparaît évident que la transmission simulée pour une structure incluant cinq cellules ne permet pas de décrire le réseau infini. Toutefois, l’emploi d’une méthode différentielle initialement proposée par Bianco et Parodi pour l’extraction de la constante de propagation d’une ligne de transmission [21], permet de retrouver un diagramme de dispersion proche des évolutions en mode propre (figure III-34).

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Figure III-34 : Spectre de transmission de la structure incluant 5 cellules unitaires et comparaison des diagrammes de dispersion simulés : modes propres (trait noir), inversion des relations de Fresnel (traits bleu et rouge), méthode

différentielle de Bianco et Parodi (pointillés bleu et rouge) appliquée à 2 structures de 7 et 3 cellules unitaires. En raison de son caractère différentiel, la méthode de Bianco et Parodi s’affranchit de l’interaction de la structure avec son environnement extérieur. En ce sens, elle permet de décrire ses états de cœur. Toutefois, à la différence de l’extraction des modes propres, le diagramme de dispersion est construit sur la base de simulations de structures finies dans la direction de propagation. Or, les simulations effectuées à partir d’un faible nombre de cellules, quatre dans le cas de la figure III-34, sont en très bon accord avec la dispersion calculée en modes propres. Par conséquent, les différences observées sur la figure III-33 illustrent l’importante contribution des états d’interface qui traduisent l’interaction de la structure métamatériau avec l’air.

Cette analyse des diagrammes de dispersion montre l’intérêt de travailler à partir de plusieurs structures de longueurs différentes afin de décrire les états de cœur. Cependant, les méthodes utilisées en simulation reposent sur l’utilisation de la matrice Sij complète incluant les transmission et réflexion complexes. Or, la plupart des techniques de spectroscopie térahertz ne fournissent que la transmission complexe. C’est la raison pour laquelle, en vue de la

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caractérisation, nous introduisons une méthode d’inversion des relations de Fresnel simplifiée initialement proposée par D. R. Smith [22]. La dispersion de la structure est décrite par la relation suivante : ) ( 2 1 1 Re ) cos( _{2 1 11 2 21} 21 21 0 AS A S S S a nk _− +      = (1)

avec n l’indice de réfraction, a l’épaisseur de la structure et k₀ le nombre d’onde dans le vide (

c

k ₌ω

0 ).

En régime de faible atténuation A1 = A2 = 0 et cette relation, qui ne dépend plus que de S21, devient :       = 21 0 1 Re ) cos( S a nk (2) ou, en considérant la constante de propagation complexe γ

      = 21 1 Re ) cosh( S a γ (3)

La figure III-35 montre une bonne correspondance entre les deux méthodes, hormis dans les zones de forte atténuation.

Figure III-35 : Comparaison des diagrammes de dispersion obtenus par inversion des relations de Fresnel (pointillés) et par la méthode simplifiée (trait continu) pour des structures incluant 2 (rouge), 3 (vert) et quatre (bleu) cellules.

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En conclusion, cette technique d’inversion simplifiée constitue une première approche pour identifier les domaines de propagation droitier et gaucher à partir d’un spectre de transmission mesuré. Au paragraphe suivant, nous décrivons le procédé de fabrication des prototypes.