Un premier résultat est tracé sur la figure 6.12. Nous avons fixé la valeur du rapport ΩB/ΩM = 4 pour qu’il y ait peu de diffraction (qui dépend du recouvre-
ment entre transformées de Fourier décalées de ΩB). Comme attendu, le profil de
réflectivité en fonction du désaccord normalisé ˜δ= δ0/ΩM dépend du nombre
d’oscillations du sinus cardinal dans une fenêtre temporelle donnée, caractéri- sée par le paramètre Nm. Plus Nm est grand, moins cet effet de convolution par
un sinus cardinal se ressent sur la fonction porte : les fronts montant et descen- dant sont plus raides et l’amplitude de l’oscillation sur le palier est plus faible. Pourquoi ne pas faire tendre Nm vers l’infini? La limitation sera donnée par le
temps maximal que l’on se fixe pour l’interféromètre : d’après (6.45) et (6.42),
Tmax≥ T ∝ Nm. Le profil de phase sera étudié dans la section 5.3 suivante.
Critères sur la réflectivité
Une question se pose alors : pour un temps maximum fixé, comment faire pour avoir une séparatrice correcte sur la plus grande plage en désaccord pos- sible? Tout d’abord énonçons les propriétés que nous sous-entendons par le mot «correcte» :
1. Bande passante : La séparatrice vérifie une relation du type¯
¯|C2(δ0)|2− 1/2¯
¯≤ εBPpour |δ0| ≤ δBP. Une séparatrice correcte en terme de bande pas- sante correspond à un εBPle plus petit possible pour un δBP le plus grand. 2. Pulsation de coupure : Une autre relation attendue est¯
¯|C2(δ0)|2| ≤ εCpour |δ0| ≥ δC. Une séparatrice correcte en terme de pulsation de coupure cor- respond à un εC le plus petit possible pour une valeur δC la plus proche possible de δBP.
Le premier point permet d’avoir une bonne visibilité du corrélateur E si εBP est petit. D’après les résultats du chapitre 5, la visibilité du corrélateur E atten- due, pour un nombre de prise de donnée minimal, est entre 0,8 et 0,9 (cf figure 5.4). D’après la formule 5.22 de la visibilité de E en fonction des coefficients de réflexion et de transmission, pour que E soit supérieur à 1/p2 et espérer une vio- lation des inégalités de Bell (cf chapitre 1), il ne faut pas que la visibilité perde entre 10 et 20 % de sa valeur à cause de la séparatrice. En prenant la valeur la plus stricte, le critère εBP≤0,1 suffit pour avoir une bonne séparatrice.
Le deuxième point met en jeu plusieurs critères du cahier des charges. Nous pouvons éviter les ordres de diffractions multiples si εC est faible (point 1 du ca- hier des charges). Typiquement, un facteur 10 entre la réflectivité de la sépara- trice dans la bande passante et la réflectivité dans la bande coupée, mène au plus à 1% de diffraction vers les ordres supérieurs (résultats de simulations et généralisation des équations (6.22)). Ensuite, plus la valeur de la pulsation de
coupure δC est proche de δBP, plus il est possible d’obtenir une séparatrice de bande passante large en impulsion, en augmentant ainsi le nombre de quadru- plets d’impulsions échangés (point 7 du cahier des charges). Ce point va rentrer en confrontation avec la durée maximale de l’interféromètre (point 5 du cahier des charges) : rapprocher la pulsation de coupure δCde δBPrevient à augmenter la durée du réseau. C’est ce que nous pouvions déjà remarquer dans l’analyse de la figure 6.11.
La valeur de chaque paramètre est choisie par l’expérimentateur dans la me- sure du possible : nous sentons bien que la condition (6.42) va restreindre la gamme des paramètres accessibles. C’est là qu’entre en jeu une optimisation du paramètre Nm et de la forme des fenêtres temporelles (apodisation) dans le but
d’améliorer la séparatrice au sens des critères 1 et 2. Troncature et apodisation
Sur la figure 6.13 sont présentées trois façons de tronquer le sinus cardinal. La meilleure option pour réduire les rebonds (critère 1) tout en conservant un front montant raide (critère 2 en partie) est de choisir une demie-valeur pour le para- mètre Nm. L’avantage est important car il permet d’obtenir une séparatrice plus
performante en terme de bande passante15et avec un temps d’application plus court qu’une séparatrice où Nm= 3. Nous avons donc tout intérêt à choisir ces
valeurs particulières. Le profil de phase sera étudié dans la section 5.3 suivante. Une grande variété de fonctions de fenêtrage existe en traitement du signal et peut être utilisées pour améliorer certains points des critères 1 et 2 mais au prix d’une dégradation d’autres paramètres. Sur la figure 6.14 sont présentés trois fenêtrages temporels différents, fonctions notées F (t). Nous avons utilisé un type de fenêtrage en puissance de sinus qui vérifie :
F (t) = sinα µπt T ¶ pour t ∈ [0,T ] 0 sinon (6.47) L’intérêt est de pouvoir faire varier le paramètre α continûment et d’en obser- ver les effets sur la probabilité de réflexion du réseau de Bragg. Nous retrouvons des cas connus comme la fonction porte pour α = 0, une fonction sinus pour
α= 1, une fenêtre de Hann pour α = 2 et un type de fonction Blackman pour α= 4 (non représenté). Les rebonds sont atténués aussi bien dans la bande pas-
sante qu’au delà de la fréquence de coupure et les seuils εBP et εC peuvent être abaissés. Le prix à payer et malheureusement une réduction de la largeur de la bande passante et de la raideur des fronts montant et descendant. En effet la lar- geur effective de la fenêtre TNm est réduite en fonction de α : comme la largeur
Section 5 Cas de d’une pulsation Rabi en sinus cardinal
dans le domaine fréquentiel est inversement proportionnelle à la largeur du do- maine temporel, nous nous attendons à avoir une bande passante réduite pour un temps d’application fixé. Une possibilité est alors de rallonger le temps d’ap- plication du réseau pour compenser cet effet.
0 T2 0 1 Ω2ph (t )/ ΩM Nm= 2 0 T5/2 0 1 Nm= 5/2 0 T3 0 1 Nm= 3 0 0.5 R éfl ec tivi té −3 −2 −1 0 1 2 3 3 4 5 ˜ δ d Θ /d ˜ δ[r ad ]
FIGURE6.13 – Différentes troncations du sinus cardinal (3 figures du haut) et effet sur le
profil de réflectivité et de phase (au sens de la définition (6.50)). Pour une valeur Nm=
5/2, la probabilité de réflexion présente un plateau proche de 1/2 pour |δ0/ΩM| ≤1,2,
alors que pour des temps supérieurs (Nm= 3) ou inférieurs (Nm= 2), ce plateau présente
des rebonds.
Discussion
L’étude par transformée de Fourier donne les éléments qualitatifs nécessaires pour comprendre l’impact des profils temporels de la pulsation de Rabi à deux
0 T5/2 0 1 Ω2ph (t )/ ΩM α= 0 0 T5/2 0 1 α= 1 0 T5/2 0 1 α= 2 0 0.5 R éfl ec tivi té −3 −2 −1 0 1 2 3 3.7 4 4.3 ˜ δ d Θ /d ˜ δ[r ad ]
FIGURE6.14 – Apodisation de la fenêtre temporelle et influence sur le profil de réflectivité
et de phase (au sens de la définition (6.50)). Le profil temporel utilisé est décrit par (6.47) où α prend trois valeurs différentes 0,1 et 2 qui correspondent respectivement un profil carré, sinusoïdal et de type Hann.
Section 5 Cas de d’une pulsation Rabi en sinus cardinal
photons sur la forme de la probabilité de réflectivité. Cependant, pour aller plus loin et déterminer le meilleur profil au sens des critères 1 et 2, il est nécessaire d’utiliser un algorithme d’optimisation16. Il faut alors utiliser une fonction de mérite qui dépendra des critères que nous souhaitons atteindre tout en respec- tant certaines contraintes17 dues à l’expérience. Une telle analyse est toujours intéressante mais n’est pas primordiale au vu des limitations expérimentales. Par exemple, l’asservissement de puissance mis en place a une bande passante limi- tée n’empêchant pas une certaine fluctuation d’intensité. Les vibrations méca- niques sur la table optique peuvent dégrader la phase de l’interféromètre (cf cha- pitre 4 et thèse [147]). Le maintien de la calibration de la séparatrice peut dévier au cours du temps. La stabilité expérimentale est donc essentielle et beaucoup d’efforts ont été déployés en ce sens.
Nous avons cependant récolté des résultats intéressants. Il est possible expé- rimentalement de faire ce type de séparatrices, permettant de révéler plus d’in- terféromètres Rarity-Tapster que dans l’expérience présentée au chapitre 5 tout en conservant l’effet HOM (point 7 du cahier des charges). Mais il reste un point important qui n’a pas encore été abordé : pouvons nous contrôler la différence de phase de l’interféromètre RT formé par un quadruplet d’impulsion donné? Si oui, comment?