La moyenne 〈 ˆn〉 décrit un nombre d’atomes moyen dans une voie d’impulsion donnée. La corrélation g1,2(2) est appelée «croisée» si les impulsions ħk1 et ħk2 sont différentes et «locale» dans le cas contraire. L’intérêt de cette expression est de pouvoir estimer cette corrélation expérimentalement à partir du nombre d’atomes détectés dans les boîtes centrées sur ces impulsions. Pour l’état décrit par (3.13), ce corrélateur vaut :
g(2) = 2 + 1 N croisée, 2 locale. (3.23)
Comme ce corrélateur ne dépend pas de la détectivité, nous sommes censés me- surer directement le paramètre N représentant le nombre d’atomes moyen émis par paire dans les modes d’impulsions ħk1et ħk2.
Il se peut que plusieurs modes thermiques soient pris dans la boîte sélection- née. Comme nous l’avons modélisé en (3.19b), si q modes de nombre d’atomes moyen N /q sont pris dans la même boîte d’intégration, alors la corrélation est modifiée et devient13: g(2) = 1 +1q+N1 croisée, 1 +1 q locale. (3.24)
3.2 Mesures
Sur la figure 3.15 sont représentées les corrélations locales et croisées de la source. Pour ce faire, nous prenons deux volumes d’intégration dans l’espace des impulsionsVk centrés sur deux zones d’impulsions à proximité des sur-densités
13. Le calcul utilise la loi de probabilité multi-modes thermique du tableau 3.1. La condition pour appliquer ce calcul est d’avoir des modes orthogonaux (commutateurs nuls entre les modes d’impulsion).
de la source (cf figure 3.4). Nous déplaçons indépendamment ces volumes en im- pulsions suivant l’axe z dans les deux zones distinctes. Nous indiquons ces zones par l’indice 1 pour la zone bornée en impulsion [0,65-0,85] ħkr ec, et par l’indice
2 pour la zone bornée [1,2-1,4] ħkr ec. Le g1,2(2)est ensuite calculé à partir de l’ex-
pression (3.22) pour chaque couple {k1z,k2z} d’où la carte en deux dimensions14.
FIGURE3.15 – Cartes de corrélations locales et croisées tirées de [21]. Nous avons uti-
lisé des zones d’intégrations cylindriques de diamètre 0,35 kr ecet de longueur 0,03 kr ec,
centrées sur k1et k2. Nous faisons ensuite varier la composante z du centre de ces zones notée k1zet k2zd’un pas plus petit que la taille de la boîte (0,005kr ec). Chaque valeur de
pixel n’est donc pas indépendante de celle de ses voisins.
Un premier constat est de voir que les corrélations ont une certaine taille ca- ractéristique. En traçant des coupes du corrélateur suivant plusieurs directions (se référer aux précédentes thèses du groupe [111,147,21]), il est possible d’esti- mer la taille des modes croisés et locaux.
Par exemple, sur les corrélations croisées de la figure 3.15, nous pouvons consta- ter la présence de corrélations (g1,2(2)' 1,2) entre les impulsions 0,8 ħkrecet 1,25 ħkrecet entre les impulsions 0,75 ħkrecet 1,3 ħkrec. Cependant il n’y a pas de cor-
14. La corrélation est normalement en 6 dimensions, 3 pour k1et 3 pour k2. Il est impossible
de se représenter la totalité du corrélateur. Ce qui nous intéresse dans notre expérience est la corrélation suivant l’axe z puisque l’interféromètre atomique, présenté dans les chapitres 4 et 5, est dirigé suivant cet axe, d’où cette restriction à deux dimensions.
Section 3 Corrélations
rélations pas entre les impulsions 0,8 ħkrec et 1,3 ħkrec et entre les impulsions 0,75 ħkrecet 1,25 ħkrec. La largeur15de corrélation en impulsion, déduite à partir de ce simple constat, est inférieure à 0,05 ħkrec.
Plus généralement, ce que nous pouvons observer sur la corrélation croisée est que celle-ci forme une ligne (élargie) en impulsion que nous pourrions para- métrer par l’équation p2= 2ħkS− p1, correspondant à la conservation de l’im- pulsion (3.4). C’est ce constat qui nous permet de croire à la représentation du modèle (3.7) par la figure 3.5 de la section 1.1. Les corrélations sont entre les im- pulsions pCM+p +mσpet pCM−p −mσpoù m correspond au numéro du mode.
L’impulsion pCMest celle du centre de masse des deux pics en densité d’atomes. D’après cette paramétrisation, nous pouvons associer pCMà ħkS, l’impulsion ca-
ractéristique du réseau. Enfin, prendre une valeur σp en dessous de la valeur de
la largeur de corrélation, rendrait le modèle (3.7) en contradiction avec les obser- vations. Ce modèle reste cependant valable pour des pas de l’ordre de la largeur de corrélation.
Nous pouvons ainsi compléter la figure 3.5 en ajoutant les observations faites sur les corrélations. C’est ce qui est représenté sur la figure 3.16 : les modes en impulsion sont choisis pour qu’il y ait une corrélation entre deux impulsions mais que la corrélation entre les différents modes soit nulle. C’est d’ailleurs la définition même du mot mode dans ce manuscrit. Ce découpage en modes de paires d’impulsion permet de conserver le modèle (3.7). Ces tailles reviendront plus tard dans les chapitres 4 et 5.
pz1 pz2 pz n − p − σp − p − p + σp p − σp p p+ σp
FIGURE3.16 – Représentation des modes d’impulsions associés à la densité d’atomes
détectés. Cette figure fait référence au modèle (3.7) adapté aux observations faites sur le profil des corrélations (figure de gauche) et sur le profil de densité (figure de droite). Les atomes sont émis par paires dans trois modes différents, suffisamment séparés les uns des autres pour qu’il n’y ait pas de corrélations possibles entre ces modes (la zone corrélée étant délimitée par l’ellipse noire). Chaque couleur représente un mode.
15. Attention, les tailles caractéristiques de cette figure correspondent à une moyenne sur plu- sieurs pixels adjacents. Pour effectuer une mesure de taille caractéristique, nous effectuons une coupe suivant un des axes de la corrélation puis nous moyennons la projection sur cet axe d’une zone corrélée pour avoir des barres d’erreurs suffisantes [21].
Le deuxième constat est de voir que les corrélations locales ne sont pas égales à deux et que la corrélation croisée ne dépasse pas deux comme prévu par (3.23). Nous pouvons supposer que nous sélectionnons plusieurs modes dans un vo- lume d’intégrationVk, abaissant la valeur du corrélateur d’après (3.24). Pour avoir
une corrélation locale à g(2)' 1,2 il faut environ cinq modes. Le problème est que la corrélation croisée devrait être supérieure à la corrélation locale avec cinq modes. Plusieurs explications sont envisageables sans être exclusives entre elles : — Les modes sélectionnés localement dans une zone ne sont pas tous appa- riés avec les modes de l’autre zone sélectionnée. Il y a donc plus de modes sélectionnés dans la corrélation croisée que dans la corrélation locale, ce qui abaisse le terme 1/q de la corrélation croisée de l’expression (3.24). — La population des modes n’est pas homogène, l’expression (3.24) ne tient
plus. L’hypothèse sous-jacente de cette expression est que le nombre d’atomes par mode est la même pour chaque mode.
— La corrélation croisée est plus sensible aux fluctuations de vitesse que la corrélation locale. Ces fluctuations peuvent conduire à des corrélations et anti-corrélations [19]16.
— La largeur des modes n’est pas la même sur les croisées que sur les locales [111].
— La source d’atomes n’est pas aussi intriquée que nous le voudrions17. L’ex- pression (3.7) serait alors incorrecte ou incomplète.