Sur la figure 6.7 sont représentés les profils temporels, de réflectivité et de phase, pour différentes valeurs du rapport ΩD/ΩM et de phase θ. Ces résultats
proviennent d’une simulation11. Comparer les termes ΩDet 2π/T équivaux alors
à comparer ΩDà 4ΩM. Les courbes bleues et rouges représentent deux valeurs de
phase θ opposée (0 et π). Nous avons représenté pour chaque rapport et chaque phase trois quantités :
• Sur la ligne du haut est tracé ˜I (défini (6.33)), en trait continu, et une fonc- tion porte de durée, T = π/2ΩM, en pointillés.
• Sur la ligne du milieu est tracé l’amplitude des coefficients |C2(δ0)|2: c’est le profil de réflectivité. Les courbes en pointillés représentent le résultat obte- nus lorsque les deux termes contenus dans la pulsations de Rabi (6.27) sont
11. Nous avons utilisé pour ces simulations le système d’équations différentielles (4.21) avec Ω2ph(t) vérifiant (6.27) et T = π/2ΩM.
étudiés séparément. Nous retrouvons le cas simple d’une fonction porte étudié plus haut : elle correspond à deux «séparatrices» centrées sur deux pulsations différentes, δ0= 0 pour l’une et δ0= ΩD pour l’autre.
• Sur la dernière ligne est représentée la différence de phase ∆Θ, défini par (6.32). a) 0 T 0 1 Temps Int en sité θ= 0 θ= π 0 0.5 R éfl ec tivi té −10 0 10 20 30 0 π/4 δ/ΩM ∆Θ b) 0 T 0 1 Temps 0 0.5 −4 0 4 8 0 π/4 δ/ΩM c) 0 T 0 1 Temps 0 0.5 1 −4 0 4 0 π/4 δ/ΩM
FIGURE6.7 – Représentation de l’intensité normalisée ˜I (ligne du haut), de la réflectivité
(ligne du milieu) et de la différence de phase ∆Θ (dernière ligne), pour différentes va- leurs de ΩD(résultat d’une simulation). Le temps d’application T des impulsions vérifie
ΩMT = π/2 et est illustré par les courbes en pointillés noirs sur les figures du haut. En a)
ΩD/ΩM = 20, en b) ΩD/ΩM = 4 et en c) ΩD/ΩM = 0,5. Les courbes en pointillés marron
représentent ce que serait les réflectivités pour une pulsation de Rabi à deux photons carré de durée T = π/2ΩM, d’amplitude ΩM et centrée autour de δ0= 0 pour l’un et
δ0= ΩDpour l’autre. Se référer au texte pour plus de détails.
Etudions les différents cas a), b) et c) de la figure :
• Cas a) : Pour un rapport ΩD/ΩM = 20, les deux termes qui composent
Section 4 Cas d’une pulsation Rabi à deux fréquences
peu la réflectivité et la phase ∆Θ. La courbe de réflectivité est proche d’une situation à deux sinus cardinaux séparés par ΩD/ΩM. La phase appliquée
par cette double séparatrice est proche de la situation idéale car ∆θ ' 0 : le changement de phase θ = 0 → π, que nous pouvons extraire du signal de battement ˜I(t), correspond bien au changement de phase appliqué sur les atomes.
• Cas b) : Pour un rapport ΩD/ΩM = 4, une interférence se produit car les
pulsations caractéristiques ne sont pas suffisamment éloignées. La réflec- tivité et la phase ∆Θ dépendent fortement de la phase θ appliquée :
• Le passage de θ = 0 → π s’accompagne d’une modification du profil de réflectivité : pour θ = 0, deux pics dont les maxima sont proches de celui d’une séparatrice, et pour θ = π, un seul pic proche de 70 % de réflectivité. Le profil de réflectivité est loin de ressembler aux courbes en pointillés, profils calculés à partir de deux pulsation de Rabi indépendantes (6.28a) et (6.28b).
• Le changement de phase θ = 0 → π affecte la phase appliquée par cette double séparatrice. Sa valeur s’éloigne de la situation idéale car ∆Θdépend de θ : le changement de phase θ = 0 → π, extraite du si- gnal de battement ˜I(t), ne correspond plus au changement de phase appliqué sur les atomes.
• Cas c) : Pour un rapport ΩD/ΩM = 1/2, la variation du terme ˜I(t) est faible
pendant le temps d’application de l’impulsion. Nous pouvons d’ailleurs re- marquer que le profil d’intensité pour θ = 0 est proche de celui d’une fonc- tion porte, d’où un profil de réflectivité proche d’un sinus cardinal (d’am- plitude doublée pour θ = 0 puisque les deux termes de Ω2ph(t) s’ajoutent). Il n’y a plus vraiment de signal de battement (pas même une période). Le changement de phase θ = 0 → π, ne correspond pas au changement de phase appliqué sur les atomes. Nous perdons l’avantage d’avoir une pro- portionnalité entre la phase θ appliquée (et mesurée) et la phase contenue dans le paramètre E.
Discutons de ces résultats dans la section suivante.
4.4 Discussion
Le principal avantage de cette technique est de pouvoir imposer et «lire» cette différence de phase (points 3 et 8 du cahier des charges section 1.2).
L’inconvénient est l’impossibilité de faire plusieurs interféromètres en même temps. Nous pouvions le deviner à partir de la figure 6.6 et des simulations figure 6.7 : il est difficile de placer plusieurs interféromètres de type Rarity-Tapster ou HOM sans avoir des perturbations sur le profil de réflectivité et de phase (points
7 et 4 du cahier des charges section 1.2). D’où viens ce problème? Principalement de la géométrie du réseau et de la résolution du détecteur MCP.
Géométrie du réseau
L’inconvénient vient principalement de la condition ΩD À ΩM. En effet si
cette condition n’est pas respectée, la phase θ modifie fortement le profil de ré- flexion. Il faut donc un écart suffisant du type :
ΩD&8ΩM. (6.34)
Or le choix de ΩD dépend du quadruplet que l’on veut échanger. Si la condi-
tion (5.5a) du chapitre 5 est vérifiée, alors ΩD vérifie :
ΩD = 2νσpΩB
pB (6.35)
Le choix de ΩD est donc limité car la géométrie du réseau est fixée à ΩB = 2π ×
25,7 kHz (point 1 du cahier des charges de la section 1.2). La pulsation ΩD est
donc limité à :
ΩD≤ ΩB (6.36)
L’extension du profil de réflectivité est réduite par un autre effet : l’extension maximale νσp dépend de la source. La production de paires se fait sur une lar-
geur en impulsion d’environ 0,2 pB (largeur du profil en impulsion, cf figure 3.4
du chapitre 3). D’après (6.35) se traduit par la condition expérimentale :
ΩD≤ 0,4ΩB (6.37)
Si nous rajoutons à cela une condition entre ΩD' 8ΩM nous obtenons :
ΩM≤ 0,05ΩB= 1,3 kHz (6.38)
Résolution du détecteur et temps d’application du réseau
Le temps d’application du réseau, d’après le résultat (6.38), doit satisfaire
T ΩM = π/2. Le temps d’application du réseau doit être de l’ordre de la milli-
seconde, soit 20 fois plus long que celui utilisé dans les expériences HOM réali- sées par l’équipe [20,72]. La taille du réseau doit donc être suffisante pour faire un interféromètre de plusieurs milli-secondes avec des atomes en chute libre (point 5 du cahier des charges de la section 1.2).
En plus de cet inconvénient, un autre vient se rajouter du fait de la trop grande sélectivité de la séparatrice. La probabilité de réflexion 50/50 n’est maintenue que dans une très faible zone. Comme nous l’avons vu dans le Chapitre 1, le MCP
Section 4 Cas d’une pulsation Rabi à deux fréquences
donne une certaine précision dans la reconstruction des vitesses : la reconstruc- tion est limitée par une taille minimale dans l’espace des vitesses qui est de 0,005
vr ecsuivant l’axe z (point 2 du cahier des charges section 1.2). Or une séparatrice
d’une milli-seconde est effective sur une zone de 0,015 vr ec(largeur à mi-hauteur
de la séparatrice) ce qui ne laisse pas beaucoup de marge de manœuvre (à com- parer aux tailles de boîtes dans l’annexe B).
L’inconvénient d’une séparatrice trop longue ne s’arrête pas là : la variation de la phase au sein d’une boîte de taille 0,015 vr ec suivant z est grande (toujours
lié au point 2 du cahier des charges). Le résultat (5.16) du chapitre 5 illustre com- ment la phase intervient dans le paramètre E. Si |δ0|/ΩM passe de 0 à π/2 une
phase de π est ajoutée au paramètre E. Pour choisir une boîte en vitesse avec une bonne visibilité du paramètre E, il faut que la variation de cette phase sur l’ensemble de la boîte soit faible devant π. Cela conduit à la condition :
δ0/ΩM¿ π/2 (6.39)
En terme de taille de boîte sur l’expérience, cela revient à être proche ou en des- sous de 0,01 vr ec (variation de la phase du paramètre E de π/4 pour une boîte),
ce qui est proche de la limite de résolution.
La bataille n’est pourtant pas perdue. Une façon de procéder pour que la taille de la boîte ne soit pas limitée par la condition (6.39) est de choisir judicieusement un miroir qui compense la variation de phase du paramètre E introduite par la séparatrice. D’après (5.16) il faut que :
2π ˜δm= 2 ˜δs (6.40)
En terme de temps d’application du réseau il faut donc que le miroir soit 2/π fois plus court que le temps d’application de la séparatrice.
Conclusion
En conclusion, l’application de deux séparatrices indépendantes est possible mais très contraignante. Les avantages et inconvénients sont résumés dans le tableau 6.1 en fin de chapitre. Nous allons présenter dans la section 5 l’avantage des impulsions en sinus cardinal par rapport aux doubles fréquences.