Dans cette partie nous allons développer le modèle théorique permettant d’expliquer le comportement local de la source.
Détectivité et loi de probabilité
Un point important qui n’a pas encore été pris en compte est la détectivité du détecteur, notée η. La probabilité d’avoir n atomes détectés dans cette boîte
Pη(n) est différente de la probabilité initiale P(n). La probabilité obtenue vérifie : Pη(p) = ∞ X n≥p Ãn p ! ηp(1 − η)n−pP(n). (3.16)
Une propriété intéressante (cf Annexe D) est que pour certaines lois de probabi- lité, dont la loi thermique et la loi de Poisson, la détectivité ne change pas la loi. Ce résultat n’est pas évident tenant compte de la forme de l’équation (D.1) et n’est d’ailleurs pas vrai pour toutes lois de probabilité. La seule modification consiste à faire la substitution suivante : N −→ ηN. Ainsi la transformation conduit au résultat suivant :
Pη(N )(n) = P(ηN )(n) (3.17)
où l’indice en exposant représente le nombre d’atome moyen de la loi de proba- bilité P (avec ou sans détectivité η).
Protocole : taille de boîte
Comment étudier la source expérimentalement? Nous utilisons une source préalablement réglée (profil de densité fixé à celui utilisé pour l’interférométrie des chapitres 4 et 5) et appliquons la séquence expérimentale comme décrite dans la section 1.2. Le détecteur nous permet de remonter aux impulsions ini- tiales (chapitre 2). Dans l’analyse des données faites par ordinateur, nous sélec- tionnons des boîtes de largeur en impulsion {ħδkx,ħδky,ħδkz} et centrées sur
{ħkx,ħky,ħkz} et nous traçons l’histogramme du nombre d’atomes détectés dans
ces boîtes. Les tailles de boîtes peuvent être adaptées pour contenir un ou plu- sieurs modes.
Dans le chapitre 4 par exemple, la taille de boîte est adaptée pour maximiser la visibilité du signal HOM tout en conservant des barres d’erreur acceptables. Cette taille de boîte se base aussi sur la largeur d’un mode, mesurée à partir des corrélations locales et croisées (se référer à la section 3, aux thèses [111,147,21] et à l’article [20]). Ses mesures nous donnent relativement confiance sur la taille de la zone à sélectionner (toujours dans l’espace des impulsion) pour qu’elles contiennent un ou plusieurs modes.
Nombre de modes sélectionnés par boîte
D’après l’équation (3.13) nous pouvons a priori décrire la loi de probabi- lité non conditionnelle de l’émission de la source comme une somme d’émet- teurs thermiques indépendants. Il est alors possible qu’une boîte en impulsion contienne plusieurs de ces modes, comme représenté schématiquement sur la figure 3.9. Cette représentation permet de montrer différents cas possibles :
Section 2 Etude de la loi de distribution locale 1 5 ... ... ... 3 4 ... 2 q FIGURE 3.9 – Représentation
d’une boîte (carré en pointillé) sélectionnant q modes (cercles). Les modes peuvent ne pas avoir la même taille (n◦1,2 et 5), ni le même nombre d’atomes moyen (teinte). Un mode peut ne pas être entièrement contenu dans la boîte (mode n◦3) ou être à cheval sur un autre (n◦1,2 et 4)
• Un mode peut ne pas être entièrement contenu dans la boîte (mode n◦3). L’impact sur la loi de probabilité sera alors équivalent à ajouter artificielle- ment une détectivité.
• Un mode peut être à cheval sur un autre (n◦2 et 4), dans ce cas il sera im- possible de les séparer à l’analyse sans prendre une boîte plus petite que la taille des modes.
• Les modes peuvent être plus ou moins nombreux, ils peuvent avoir une loi de probabilité différente, un nombre moyen d’atomes différents, une extension et une forme différentes.
Loi de probabilité multi-modes
La loi de probabilité PEq(n) de la boîte va donc être une combinaison de
toutes les lois de probabilités des q modes. L’ensemble des modes étant noté Eq
et la loi est décrite par l’équation :
PEq(n) =
X Pq
i =1ni=n
P1(n1)P2(n2)...Pq(nq), (3.18)
où Pi(ni) représente la probabilité d’avoir ni atomes dans le mode i contenu
dans la boîte sélectionnée8. Par exemple, pour obtenir zéro atome dans la boîte, la seule possibilité est d’avoir zéro atome dans les q modes. Pour en avoir un au total, chacun des q modes peut en émettre un avec les autres à zéro, il y a alors
q combinaisons possibles. De manière plus générale, cette loi fait intervenir la
somme Pi =1q ni = n. Le nombre de combinaisons possibles de cette somme est
calculable. C’est un problème de dénombrement qui revient à savoir comment
8. La probabilité d’un mode sera bien sûr modifiée si le mode n’est pas entièrement sélec- tionné. La probabilité Pi(ni) correspond au mode sélectionné n◦i .
placer n particules indiscernables dans q boîtes. On retrouve un problème bien connu du domaine des atomes froids puisque c’est ce qui permet de décrire la statistique de Bose-Einstein [168]9.
Plaçons-nous dans le cas particulier où la boîte contient q sources thermiques émettant en moyenne le même nombre d’atomes N /q. L’équation (3.19a) est ob- tenue en réinjectant la loi de distribution thermique dans l’équation (3.18). La somme étant indépendante du mode, nous obtenons la loi de probabilité (3.19b) en résolvant le problème de dénombrement évoqué précédemment :
PEq(n) = X P ni=n ³ N q ´n ³ 1 +Nq´n+1 , (3.19a) = (n + q − 1)! n!(q − 1)! ³ N q ´n ³ 1 +Nq ´n+q. (3.19b)
La loi de probabilité (3.19b) est une nouvelle loi de probabilité, émettant en moyenne N atomes. C’est cette loi que nous allons utiliser pour étudier les données et qui est représentée sur la figure 3.10. Si nous choisissons bien la boîte, nous devrions avoir un seul mode thermique, donc une loi de distribution thermique. Si nous la prenons trop large, nous devrions avoir plus de modes. Il est par ailleurs intéres- sant de montrer que si le nombre de modes thermiques indépendants tend vers l’infini nous obtenons alors une loi de Poisson :
PEq −−−−→q→∞
Nn
n! e−N. (3.20)
Toutefois, l’hypothèse d’avoir q sources émettant en moyenne le même nombre d’atomes, est forte. C’est ce qui va limiter notre analyse. Comme nous l’avons énoncé plus haut, même pour cette loi, ajouter une détectivité η correspond à changer le nombre moyen d’atomes N /q en ηN /q (cf annexe D).
Section 2 Etude de la loi de distribution locale 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 Nombre d’atomes P roba bi lité Loi thermique (q = 1) 2 modes 10 modes 100 modes Loi de Poisson (q → ∞)
FIGURE3.10 – Distribution multi-modes thermiques pour différents nombres de modes
indépendants. Pour un mode, nous retrouvons la loi thermique et pour une infinité de modes nous tendons vers la loi de Poisson. Le nombre d’atomes moyen est fixé en rap- port avec les expériences décrites plus loin à N =5,2 (cf figure 3.13).