IX.1 Cavit´e entraˆın´ee incompressible
IX.1.3 Simulation num´erique du champ de Base
Le calcul du champ de base est simul´e par deux codes de calcul de nature diff´erente. Le premier code utilis´e est un code r´esolvant les ´equations de Navier-Stokes incompressibles bi- dimensionnelles et tridimensionnelles d’ordre ´elev´e dont un descriptif rapide a ´et´e fait dans la section IX.1.2. Ce code a ´et´e con¸cu principalement pour d´ecrire le plus pr´ecis´ement possible la dynamique temporelle de l’´ecoulement. Lorsque l’on cherche `a obtenir le champ de base afin de caract´eriser la premi`ere bifurcation, ce dernier doit ˆetre alors bidimensionnel et stationnaire. Ce code nous permet alors d’obtenir le champ de base lorsque celui-ci est stable c’est-`a-dire que le code va alors converger vers une solution stationnaire. Lorsque le code converge vers une solution instationnaire, le champ de base n’est plus directement accessible, seul le champ moyen peut ˆetre obtenu. Si l’on souhaite n´eanmoins obtenir le champ de base, il faut changer de strat´egie num´erique. Deux solutions peuvent ˆetre envisag´ees :
1. L’utilisation d’un code de simulation num´erique totalement implicite (temps et espace) per- met d’obtenir une solution stationnaire du probl`eme mˆeme lorsque le seuil de la bifurcation est atteint et d´epass´e. Cependant, cette m´ethode reste limit´ee car la convergence vers la solution stationnaire est d’autant plus mauvaise que l’on est loin du seuil de bifurcation. 2. La seconde m´ethode consiste `a r´esoudre directement les ´equations de Navier-Stokes sta-
tionnaires par une m´ethode de Newton. Cette m´ethode est pr´ecise et efficace et permet d’obtenir le champ de base relativement loin du seuil de bifurcation.
Dans cette ´etude, nous ne nous int´eressons, pour l’instant, qu’`a la premi`ere bifurcation. Pour obtenir le champ de base nous avons utilis´e un code de simulation totalement implicite. Le code a ´et´e d´evelopp´e par C. Y. Shen de l’universit´e d’Arizona dont les caract´eristiques sont d´etaill´ees
dans la r´ef´erence [146]. Ce code r´esout les ´equations de Navier-Stokes dans une formulation vorticit´e/fonction de courant (̟; ψ).
Les r´esultats de la simulation num´erique du champ de base sont compar´es, quand cela est possible, `a ceux de Botella & Peyret [27] (1998) issus d’un calcul spectral. Pour des nombres de Reynolds sup´erieurs `a 1000, les simulations num´eriques de Ghia et al. [69] (1982) et surtout de Erturk et al. [60–62] (2003-2005) serviront de comparaison puisque nous ne disposons pas de r´esultats spectraux pour ces nombres de Reynolds. Les figures IX.5 sont issues du calcul du champ de base par le code de Shen. La grille utilis´ee comporte 301× 301 points et nous visualisons les iso-valeurs de la fonction de courant.
Ces simulations montrent l’influence du nombre de Reynolds sur la topologie de l’´ecoulement de cavit´e entraˆın´ee.
Pour un nombre de Reynolds faible (figure IX.5-(a)), l’´ecoulement est principalement ca- ract´eris´e par une recirculation principale et un « embryon » de recirculation secondaire dans le coin inf´erieur droit (aval). Lorsque que le nombre de Reynolds augmente, les deux coins inf´erieurs finissent par ˆetre le si`ege de recirculations secondaires (figureIX.5-(b)). Lorsque Re≥ 2500, une zone de recirculation secondaire apparaˆıt au niveau du coin sup´erieur gauche (amont). Pour des nombres de Reynolds plus importants l’ensemble de ces zones augmentent fortement en taille et en intensit´e. Des zones de recirculation tertiaire apparaissent d’abord au niveau du coin inf´erieur droit (aval) (Re≃ 5000, figureIX.5-(c)) puis au niveau inf´erieur gauche (amont) (Re≃ 10000, fi- gureIX.5-(d)). Ce processus d’apparition de zones de recirculations multiples semble se d´erouler au fur et `a mesure que le nombre de Reynolds tend vers l’infini. Ce processus s’apparente aux tourbillons de coin d´ecrit par H.K. Moffatt [114] (1964).
Le calcul de Botella & Peyret [27] (1998) est utilis´e comme r´ef´erence et est bas´e sur une m´ethode de collocation spectrale pour un maillage de 160× 160.
X Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (a) Re = 100 X Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (b) Re = 1000 X Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (c) Re = 5000 X Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (d) Re = 10000
Fig. IX.5 –Evolution des iso-ψ en fonction du nombre de Reynolds Re, pour une grille g´eom´etrique de´ 2% avec 301× 301 points.
Les r´esultats obtenus par notre code sont en tr`es bon accord avec ceux de Botella & Peyret [27] (1998)4. Les figures IX.6-(a, b, c, d) pr´esentent une comparaison graphique des diff´erentes iso-
valeurs de la fonction de courant et de la vorticit´e. La position des diff´erentes iso-valeurs est convenablement plac´ee en fonction de leur intensit´e. Les iso-valeurs de ψ et ̟ pr´esent´ees sur les figuresIX.6-(a, b) sont r´epertori´ees dans le tableau suivant :
4Pour comparer nos r´esultats avec ceux de Botella & Peyret, nous avons « sym´etris´e » notre r´esultat afin que
ψ -0.1175 -0.1100 -0.0900 -0.0500 -0.0100 -0.0001 0.0000 ̟ -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 -0.5 0.0 label a b c d e f g ψ 0.0001 0.0005 0.0015 – ̟ 0.5 1.0 2.0 3.0 label h i j k
Tab.IX.5 – Iso-valeurs et labels correspondant aux r´esultats de Botella & Peyret [27].
(a) fonction de courant ψ, tir´ee de Botella & Peyret [27].
(b) fonction de courant ψ, pr´esente simu- lation.
(c) vorticit´e ̟, tir´ee de Botella & Peyret [27].
(d) vorticit´e ̟, pr´esente simulation.
Fig. IX.6 – Comparaison entre les r´esultats de Botella & Peyret et nos simulations pour Re = 1000 pour une grille g´eom´etrique de 2% avec 301× 301 points.
Le tableauIX.6 pr´ecise quantitativement la comparaison. Nous constatons que les r´esultats obtenus pour une grille presque deux fois plus fine que celle utilis´ee par Botella & Peyret donne des r´esultats comparables avec une erreur moyenne de l’ordre de 2× 10−2%. Les recirculations primaire et secondaire sont convenablement retrouv´ees, `a la fois en position et en amplitude.
Dans leur article Botella & Peyret indiquent qu’il existe des recirculations tertiaires au niveau des coins inf´erieurs gauche (aval) et droit (amont) (dans leur syst`eme de repr´esentation) d’intensit´es tr`es faibles (ψg = 5.03944×10−8 et ψd= 6.39800×10−9). Dans notre simulation, la recirculation
du coin inf´erieur droit n’est pas visible et celle du coin inf´erieur gauche existe mais n’est pas correctement d´efinie malgr´e un maillage presque deux fois plus fin. Ces tr`es faibles diff´erences peuvent ˆetre expliqu´ees par la pr´ecision mod´er´ee du code de Shen (ordre 2 en espace) : au niveau des coins la diffusion du sch´ema n’a pas permis aux recirculations tertiaires d’exister. Si l’on regarde dans la litt´erature, on constate qu’`a Re = 1000 personne ne trouve ces tourbillons tertiaires (voir Erturk et al. [61]). Cependant, les r´esultats que nous obtenons sont tr`es largement suffisants pour convenablement d´ecrire la premi`ere bifurcation de cet ´ecoulement.
Recirculation primaire
Grandeurs physiques Pr´esent r´esultats Botella & Peyret(N = 160)
xcentre 0.4691613 0.469200
ycentre 0.5652871 0.565200
ψ 0.1189127 0.1189366
̟ 2.0614294 2.0677530
Recirculation secondaire inf´erieure gauche
Grandeurs physiques Pr´esent r´esultats Botella & Peyret(N = 160)
xcentre 0.1371392 0.1360000
ycentre 0.1118215 0.1118000
ψ -0.0017301 -0.0017297
̟ -1.1095907 -1.1097890
Recirculation secondaire inf´erieure droite
Grandeurs physiques Pr´esent r´esultats Botella & Peyret(N = 160)
xcentre 0.9165327 0.9167
ycentre 0.0790295 0.0781
ψ −2.3568421 × 10−4 −2.334528 × 10−4
̟ -0.3596714 -0.3522861
Tab. IX.6 – Recirculations primaire et secondaire pour une grille g´eom´etrique de 2% avec 301× 301 points. Re = 1000.
En conclusion, le code pleinement implicite que nous utilisons permet de simuler avec suffi- samment de pr´ecision la solution stationnaire pour une cavit´e entraˆın´ee bidimensionnelle pour une gamme de nombre de Reynolds allant jusqu’`a 2× 104. Au del`a de cette valeur, le code ne
converge plus et ne permet donc plus d’obtenir la solution stationnaire du probl`eme.