Pour conclure cette partie consacr´ee `a la validation en r´egime incompressible, un cas de cylindre est abord´e, permettant par la mˆeme d’illustrer le comportement du code en maillage curviligne.
IX.3.1 Contexte & histoire
De Strouhal [154] (1878), a Roshko [138] (1993), en passant par Von Karman [89] (1912), la physique d’un ´ecoulement autour d’un cylindre en immersion dans un fluide convect´e fait l’objet depuis plus d’un si`ecle d´ej`a de nombreuses attentions de la part de la communaut´e a´erodynamicienne.
Avec le d´eveloppement de l’a´eronautique, ce type d’´ecoulement est ´egalement devenu un enjeu industriel important : l’alternance du lˆacher tourbillonnaire dans le sillage du profil conduisant `
a de fortes variations des forces de pression dans la direction transverse de l’´ecoulement, il peut apparaˆıtre des vibrations de la structure, du bruit ou des ph´enom`enes de r´esonance dont les cons´equences peuvent ˆetre d´esastreuses pour les a´eronefs.
Longtemps limit´ee `a des ´etudes 2D, l’apport de nouvelles techniques de mesure (PIV par exemple) et l’augmentation croissante des moyens de calcul ont permis `a la communaut´e scien- tifique de s’int´eresser d’avantage aux ph´enom`enes tridimensionnels, permettant ainsi de lever le doute sur un certain nombre de questions dont l’origine est longtemps rest´ee mal connue.
Aujourd’hui, quand bien mˆeme de multiples interrogations subsistent, l’ensemble des travaux men´es depuis plus d’un si`ecle (en particulier ceux de Roshko et Williamson) ont aboutis `a une connaissance relativement pr´ecise des diff´erents r´egimes rencontr´es par l’´ecoulement en terme de nombre de Reynolds (bas´e sur le diam`etre du cylindre). La figureIX.23-(b), issue de l’article de Williamson & Roshko [178], repr´esente ces diff´erents r´egimes par l’´evolution de ce que les auteurs ont appel´e le coefficient de succion de base (-Cpb, i.e l’oppos´e du coefficient de pression de base Cpb) en fonction du nombre de Reynolds. On y d´enombre les r´egimes suivants : jusqu’au
point A (Re < 49), l’´ecoulement est laminaire 2D stationnaire et sym´etrique ; entre A et B (Re = 49 jusque ≈ 190) l’´ecoulement reste 2D laminaire mais des instabilit´es, croissantes en Reynolds, apparaissent dans le sillage de la zone de recirculation en aval du cylindre - la naissance de ces instabilit´es a ´et´e identifi´ee par Provansal et al. [127] comme relevant d’un m´ecanisme de bifurcation de Hopf ; entre B et C (Re ≈ 190 jusque 260), l’´evolution de l’´ecoulement se caract´erise par deux discontinuit´es (en B et C) correspondant `a deux m´ecanismes diff´erents de formation du sillage ; `a partir de C, l’´ecoulement devient pleinement tridimensionnel. On laisse au lecteur le soin de consulter l’article de Williamson & Roshko pour la revue des diff´erents r´egimes restants dont le d´etail aurait n´ecessit´e ici un d´eveloppement important et ne fait pas l’objet de cette th`ese.
(a)
(b)
Fig.IX.23 – Cas de cylindre. (a) : visualisation du sillage `a Re = 150. (b) : ´evolution du coefficient de succion de base (−Cpb) en fonction du nombre de Reynolds.
La contribution des analyses de stabilit´e dans la compr´ehension de l’´ecoulement autour du cylindre a permis des avanc´ees importantes. On a cit´e pr´ec´edemment les travaux de Provansal
et al. mais on pourrait ´egalement faire r´ef´erence `a ceux de Zebib [179], qui a caract´eris´e la nature globale de l’instabilit´e, ou encore ceux de Chomaz et al. [43], Monkevitz & Nguyen [115] ou Barkley & Henderson [20] et Noack & Eckelmann [118] en ´ecoulement p´eriodique (th´eorie de Floquet). Plus r´ecemment, ceux de Sipp & Lebedev [149] ont montr´e l’importance du choix de la solution initiale (champ de base/champ moyen) en vue d’obtenir une solution r´ealiste des ´equations de stabilit´e.
Dans le cadre de ce m´emoire, nous n’avons aucunement la pr´etention d’apporter une contri- bution originale au cas du cylindre. Nous nous int´eressons uniquement `a la premi`ere bifurcation
et seulement en guise de validation du code curviligne. En l’occurrence, les derniers articles sur le sujet font ´etat d’un nombre de Reynolds critique se situant autour de Rec = 46 pour Bark-
ley [18], Rec = 46.7 pour Giannetti & Luchini [70] et Rec = 46.8 pour Marquet et al. [108].
Compte tenu de ces r´ecents d´eveloppements, seuls les cas `a Re = 46, 47, 48 et 49 sont abord´es dans ce manuscrit.
IX.3.2 M´ethode num´erique
L’obtention d’un champ de base finement converg´e (≈ 10−10) est une condition sine qua non au bon d´eroulement d’un calcul de stabilit´e. A cet effet, un solveur staggered, non structur´e
et d’ordre 2 est utilis´e. Le maillage choisi comporte autour de 60000 points pour un domaine rectangulaire compris entre [−20; 40] en x et [−20; 20] en y. Ce solveur est lui-mˆeme coupl´e `a un algorithme de Newton pour permettre la convergence vers la solution stationnaire des ´equations de Navier-Stokes. Les conditions limites impos´ees en entr´ee et en sortie sont ¯u = 1 et ¯v = 0, et (∂ ¯u/∂y = 0, ¯v = 0) sur les fronti`eres inf´erieures et sup´erieures du domaine. Le code de stabilit´e ´etant construit pour des maillages structur´es, il est n´ecessaire d’interpoler les champs bruts obtenus par le solveur sur des maillages ad´equats ; pour d´egrader le moins possible la solution, cette op´eration est assur´ee par des splines cubiques.
IX.3.3 Simulation num´erique du champ de base
Les grilles utilis´ees en entr´ee du code de stabilit´e sont de type cylindrique. Partant du cylindre int´erieur, le maillage se d´eforme progressivement suivant une raison g´eom´etrique pour finalement ´epouser la fronti`ere ext´erieure du domaine. Afin de s’assurer que le mode global recherch´e est correctement converg´e, deux grilles sont utilis´ees : l’une est grossi`ere (Nθ× Nr = Nξ× Nη =
141× 115) et l’autre plus raffin´ee (141 × 140). Un exemple du maillage utilis´e et du champ de base obtenu sont repr´esent´es ci-dessous sur la figureIX.24pour le cas Re = 49.
X Y -20 -10 0 10 20 30 40 -15 -10 -5 0 5 10 15 (a) Maillage X Y -20 -10 0 10 20 30 40 -15 -10 -5 0 5 10 15 (b) Champ de base
Profil NACA0012
En plus du cylindre, nous avons compl´et´e la validation en maillage curviligne par l’´etude de la premi`ere bifurcation d’un ´ecoulement autour d’un profil NACA0012 pour un angle d’attaque de 20° et sur une plage de nombres de Reynolds comprise entre 190 et 210 (bas´e sur la corde
du profil). Pour ces configurations, la dynamique de l’´ecoulement diff`ere peu du cas de cylindre ; un premier bulbe de recirculation, important, prend naissance au niveau du bord d’attaque du profil tandis qu’un second, plus r´eduit, se forme au bord de fuite. On s’attend `a voir ´emerger un mode global instable instationnaire (pour une perturbation 2D), `a l’origine du lˆacher de struc- tures tourbillonnaires dans le sillage du profil. Les travaux consacr´es `a ce type de g´eom´etrie, en stabilit´e globale tout du moins, sont moins nombreux que pour le cylindre. On notera toutefois les travaux de Theofilis & Sherwin [167] et plus r´ecemment l’article de Kitsios et al. [91] pour des configurations l´eg`erement diff´erentes.
Le code utilis´e pour calculer les champs de base est celui qui sert pour le cylindre. Le crit`ere de convergence ainsi que les conditions aux limites sont ´egalement identiques `a ceux choisis pour le cylindre. Les dimensions du domaine (non structur´e) sont de [−20; 40]×[−30; 30] pour environ 67000 points.
Le maillage (structur´e) qui sert aux analyses de stabilit´e est de type « C-H » et compte 343× 111 points. On utilise une interpolation par splines cubiques pour obtenir le champ de base sur ce maillage. Les figuresIX.25-(a) et IX.25-(b) repr´esentent respectivement le maillage et le champ de base `a Re =200. x y -20 -10 0 10 20 30 40 -20 -10 0 10 20 (a) Maillage x y -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 (b) Champ de base
Fig.IX.25 – Profil Re = 200 - Champ de base
Aucune comparaison point `a point avec de pr´ec´edents r´esultats n’a ´et´e men´ee concernant ces champs. En dernier ressort, les analyses de stabilit´e feront donc ´egalement office de validation a
posteriori des champs de base.
Chapitre X
Comparaisons spectral/DRP
Sommaire
X.1Cavit´e entraˆın´ee `a Re = 1000. . . .131