Afin d’´evaluer plus finement la stabilit´e et la pr´ecision des sch´emas ´etudi´es, un cas de couche limite d´ecoll´ee sur plaque plane est `a pr´esent consid´er´e. Plusieurs raisons font de ce type de configuration un cas fortement discriminant :
• le choix des conditions aux limites, en particulier sur la pression dans des formulations
collocated, a une influence importante sur certains modes du spectre (voir [14])
• l’apparition de modes num´eriques dits « parasites », provoqu´es par l’´equation de continuit´e • la non normalit´e de l’op´erateur de stabilit´e qui se traduit par un mauvais conditionnement des matrices et par une forte sensibilit´e des modes de nature convective aux param`etres num´eriques (maillage, m´ethode num´erique, domaine)
• la discr´etisation de branches continues li´ees au caract`ere non compact du probl`eme aux valeurs propres.
Ces ph´enom`enes affectent d’ailleurs aussi bien la dynamique asymptotique (conditions limites) que celle `a temps courts (non normalit´e [42]). A cela vient s’ajouter la coexistence de plusieurs familles de modes au sein de l’´ecoulement : une premi`ere famille de nature convective et une seconde, stationnaire, qui apparaˆıt pour des perturbations 3D et que nous aborderons dans la section suivante (voir [14,53,148]). On l’a bien compris, les ´ecoulements ouverts sont truff´es de pi`eges ! Par cons´equent, une r´ef´erence parfaitement calcul´ee est exig´ee. Comme dans les cas pr´ec´edents, c’est le sch´ema spectral qui est utilis´e pour ce faire. Les paragraphes qui suivent donnent les d´etails de la simulation.
Concernant les conditions aux limites, les fluctuations de vitesses sont mises `a z´ero sur la paroi (y/δ∗=0) , sur la fronti`ere sup´erieure du domaine (y/δ∗=25), et pour x/δ∗=0, l’´ecoulement ´etant
convectivement stable en entr´ee (Reδ∗ = 200). En sortie, le choix de la condition limite est moins
´evidente ; elle devrait mod´eliser correctement la nature convective sur l’ensemble du domaine de la premi`ere famille de modes. Dans cette optique, deux types de conditions sont utilis´ees : une extrapolation et une condition de type Robin sp´ecifique bas´ee sur une transformation de Gaster
(voir [14,58]).
Pour ´eviter l’apparition des modes « parasites » la relation de continuit´e est impos´ee sur toutes les fronti`eres du domaine de calcul et un traitement particulier est appliqu´e aux coins.
Pour finir, le domaine [0; Lx]× [0; Ly] est discr´etis´e sur un maillage 250× 48 pour assurer
une bonne capture des modes hautes fr´equences.
Le spectre partiellement converg´e, qui est issu de ce calcul, est visible sur la figureX.8. Ce r´esultat appelle deux commentaires. Tout d’abord, on note que le champ de base est globalement stable, ce qui est en accord avec l’exp´erience. Deuxi`emement, il apparaˆıt clairement que les modes not´es Cn et tn, dont certaines fonctions propres sont visibles sur la figure X.9, poss`edent une
structure spatiale proche des ondes convectives de type Kelvin-Helmholtz/Tollmien-Schlichting (voir [148]). On constate aussi la forte non normalit´e de l’op´erateur qui leur est associ´ee. En cons´equence, on v´erifie donc a posteriori les remarques formul´ees sur l’implication des modes convectifs dans les dynamiques temporelle et spatiale `a temps courts (voir [7,8]) et qui se tra- duit par une forte augmentation de l’´energie dans le transitoire. D’o`u les besoins imp´erieux de convergence et de pr´ecision.
Or, on observe dans ce domaine deux comportements. Les modes propagatifs basses fr´equences situ´es `a l’int´erieur du cercle trac´e en trait rouge discontinu sont facilement accessibles : une grille l´eg`ere avec nx ≥ 60 et ny ≥ 30 suffit `a les converger. A contrario, les modes de nature convec-
tive de type Cn sont beaucoup plus difficiles `a obtenir de mani`ere satisfaisante. Sur le domaine
complexeDw = [0; 0.15]× [−0.025; 0], un maillage avec un minimum de 200 points pour nx et
40 points pour ny est n´ecessaire pour retrouver une solution admissible.
Le maillage utilis´e ici ´etant sup´erieur au minimum requis, ce calcul constitue donc bien une r´ef´erence acceptable. Pour finir, l’´etude du mode C21, de plus haute fr´equence, montre que le
nombre de points par longueur d’onde varie entre 9 et 13 ce qui est sup´erieur au minimum requis par le DRP7. Re(ω) Im ( ω ) 0 0.05 0.1 0.15 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 c1 c21 c2 c3 c8 b7 c12 c14 t12
Fig.X.8 –Couche limite d´ecoll´ee `a Re = 200 - spectre de valeurs propres pour une perturbation 2D issu d’un calcul spectral. La grille utilis´ee est 250× 48. L’int´erieur du cylindre en trait discontinu rouge (
) constitue la zone de forte convergence. La partie gris´ee correspond `a une zone de faible convergence.
x /δ* y / δ * 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 5 10 15 20 25
(a) Re(eu) pour la famille Ce net ω = 0.08 (C12).
x /δ* y / δ * 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 5 10 15 20 25
(b) Re(eu) pour la famille Ce net ω = 0.092 (C14).
x /δ* y / δ * 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 5 10 15 20 25 x /δ* y / δ * 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 5 10 15 20 25
(c) Re(eeu) pour la famille tn et ω = 0.05 (t12).
x /δ* y / δ * 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 5 10 15 20 25 x /δ* y / δ * 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 5 10 15 20 25
(d) Re(eeu) pour la famille bn et ω = 0.086 (b7).
Fig. X.9 – Couche limite d´ecoll´ee `a Re = 200 - composante longitudinale de la vitesse pour les familles de modes C12, C14, t12 et b7 (voir la figureX.8). M´ethode de collocation spectrale. Grille 250× 48.
La comparaison entre la solution de r´ef´erence et les sch´emas aux diff´erences finies est r´esum´ee dans le tableau X.4et sur la figureX.10. Le premier suit une approche quantitative alors que la seconde est plutˆot qualitative.
Le tableauX.4pr´esente une ´evaluation de l’´ecart sur les modes Cnet tnentre chaque sch´ema
et la solution de r´ef´erence. Cet ´ecart est mesur´e de la mˆeme mani`ere que dans la section X.2. Le crit`ereEω est pris inf´erieur strictement `a 5% pour ω ∈ Dω et inf´erieur strictement `a 2% pour
les modes situ´es `a l’int´erieur du cercle rouge. Le tableau montre donc le pourcentage de modes converg´es Nω= Ncv/Ntot× 102. Quel que soit le cas, c’est toujours la solution spectrale dans le
maillage le plus fin qui constitue le crit`ere de r´ef´erence.
Pour commencer, il est ind´eniable que la convergence des modes Cn est plus faible qu’avec
le sch´ema spectral. Plus pr´ecis´ement, il semble que la convergence de certains modes soit diffi- cile voire impossible pour les sch´emas d’ordre trop faible. Plusieurs maillages ont pourtant ´et´e test´ees (d´enomm´ee Mug1, Mug2, Mdg1 et Mdg2 dans le tableauX.4). Dans la direction normale `
a l’´ecoulement, on a utilis´e deux grilles g´eom´etriques de progression 1% et 2%. Dans la direc- tion de l’´ecoulement, on a construit deux types de grilles : un maillage uniforme et un maillage
g´eom´etrique double sens (raffin´e au centre du bulbe et d´eraffin´e sur les cˆot´es). En raison de la non normalit´e de l’op´erateur, la majeure partie des modes convectifs Cn et tn est difficilement
converg´ee. Il faut dans le meilleur des cas un maillage avec au moins nx = 300 et ny= 60 points
pour avoir plus de 50% du spectre converg´e. N´eanmoins, le sch´ema DRP `a 11 points atteint un niveau acceptable pour une grille 400×60. On remarque d’ailleurs que le type de grille n’a qu’une influence mod´er´ee sur le r´esultat dans ce cas. Globalement, le pourcentage de modes converg´es varie autour de 6%. Enfin, la figureX.10 repr´esente l’enveloppe des spectres issus des diff´erents sch´emas pour une grille uniforme-g´eom´etrique (Mug1) de 400× 60 points.
nx×ny
250 × 40 250 × 60
Mug1 Mug2 Mdg1 Mdg2 Mug1 Mug2 Mdg1 Mdg2 Ordre 2 classique 5.08 5.08 5.08 5.08 5.08 5.08 5.08 5.08 Ordre 4 classique 5.08 5.08 5.08 5.08 5.93 5.93 5.93 5.93 DRP `a 7 points 8.47 7.62 8.47 7.62 9.32 8.47 9.32 9.32 DRP `a 11 points 21.19 20.34 20.34 20.34 34.74 33.90 35.59 34.74 Sch´ema compact `a 7 points 33.90 33.90 33.90 33.05 — — — — 300 × 60 400 × 60
Mug1 Mug2 Mdg1 Mdg2 Mug1 Mug2 Mdg1 Mdg2 Ordre 2 classique 5.08 5.08 5.08 5.08 5.93 5.93 5.93 5.93 Ordre 4 classique 6.77 5.93 6.77 5.93 7.62 6.77 7.62 6.77 DRP `a 7 points 11.86 11.01 11.86 11.86 13.56 12.71 12.71 12.71 DRP `a 11 points 59.32 57.63 59.32 57.63 63.56 62.71 59.32 57.62 Sch´ema compact `a 7 points — — — — — — — —
Tab. X.4 – Crit`ere de convergence Nω pour diff´erents sch´emas et maillages. Le spectre de r´ef´erence
est obtenu `a l’aide d’une m´ethode de collocation spectrale pour une grille de 250× 48. Nomenclature de Mxyz - x/y : type de grille dans la direction de l’´ecoulement (x) ou normal `a celui-ci (y) ; z : valeur de la progression g´eom´etrique (1% ou 2%). Les types de grille sont : uniforme (u), g´eom´etrique (g), et g´eom´etrique sym´etrique (d). Les entr´ees marqu´ees (—) correspondent `a des calculs non effectu´es.
En conclusion, bien qu’un sch´ema comme le DRP11 n´ecessite presque 2 fois plus de points pour avoir une pr´ecision comparable au spectral, les gains en temps et en m´emoire restent importants. A titre d’exemple, pour une grille de 400× 60 points, la m´emoire utilis´ee par le DRP11 se situe aux alentours de 13Gb pour un temps de calcul de l’ordre de 0.62h (sur un processeur de NEC-SX8). Le calcul spectral de r´ef´erence sur la grille 250× 48 utilise quant `a lui 20Gb pour une dur´ee de 5.6h.