3.6 Structures poutres complexes
3.6.2 Simulation d’un cas de structure complexe
La probl´ematique de l’identification du chargement et de la reconstruction des champs pour les structures complexes est ´etudi´ee `a partir de l’exemple de la fi-gure 3.52, avec et sans charge r´epartie p3 et p7 sur les structures ´el´ementaires ω3 et ω7. La construction de la base de chargement est faite en utilisant (F2,C2) comme MCR. Chaque couple (Fk,Ck)1,3 correspond `a trois inconnues de charge-ment, (Fkx, Fky,Ckz)1,3. La base de chargement contient au maximum huit ´el´ements. Enfin, le choix de l’ordre des composantes dans l’algorithme d’orthonormalisation de la base n’a pas d’influence sur les r´esultats. Nous appelons dans la suite T⊥
k
les vecteurs de la base orthonorm´ee de chargement.
Dans ces conditions, le probl`eme d’identification est similaire `a celui d’une struc-ture ´el´ementaire, except´e pour le positionnement des capteurs et les grandeurs me-sur´ees. Ces grandeurs mesurables sont les courbures et les d´eformations normales de chaque sous-structure. Contrairement au cas ´el´ementaire, l’identification des pa-ram`etres de chargement n´ecessite la prise en compte simultan´ee de ces deux gran-deurs. A titre d’exemple, la figure3.52montre le rapport des ´ecarts types τST D pour les champs de courbure et de d´eformation reconstruits `a partir des param`etres de chargement identifi´es avec les seules mesures de d´eformation. Le terme d´eformation d´esigne les d´eformations normales associ´ees seulement `a la traction des structures ´el´ementaires. Dans ces conditions, Cond [G]≈ 2 · 103 et τST D(γ) > 103. De plus, l’uti-lisation des seules mesures de courbure entraˆıne une d´eficience du rang de G.
Dans la suite, les mesures de d´eformation et de courbure sont utilis´ees simultan´e-ment pour r´esoudre le probl`eme d’identification du chargesimultan´e-ment et de reconstruction de champ. Nous nous int´eressons alors au positionnement optimal des capteurs permettant de minimiser Cond [G]. En se basant sur les r´esultats obtenus pour les structures ´el´ementaires, les positions quasi-optimales sur chaque sous-structure maximisent la distance entre les mesures avec une distribution uniforme. Cette ana-logie permet de r´eduire les possibilit´es de positionnement qui ne d´epend alors plus que du choix du nombre de capteurs par sous-structures, ainsi que du choix des sous-structures `a instrumenter. L’objectif est d’obtenir le plus faible nombre de sous-structures `a instrumenter pour un nombre minimum de capteurs.
3.6 ] Structures poutres complexes
Figure 3.52 – Sch´ematisation d’une structure complexe Ω compos´ee des structures
´el´emen-taires (ωi)1≤i≤8et ´evolution du rapport des ´ecarts types τST Ddes champs reconstruits (courbure et d´eformation) dans le cas d’une identification `a partir des seules mesures de d´eformation.
Le choix du nombre de capteurs par sous-structure d´epend du type de sollicita-tion. Ainsi, pour les sous-structures n’´etant soumises qu’`a des charges localis´ees aux extr´emit´es, seuls deux capteurs sont n´ecessaires pour identifier les sollicitations de flexion et 1 capteur pour la traction et la torsion. Dans l’exemple trait´e, les sous-structures ω1, ω2, ω4, ω5, ω6, ω8 peuvent ˆetre instrument´ees avec deux capteurs seulement. Lorsqu’elles sont soumises `a des charges r´eparties, les sous-structures ω3
et ω7 sont a priori instrument´ees avec trois capteurs. Enfin, la sur-instrumentation des structures a pour effet d’am´eliorer la qualit´e de la solution sur la sous-structure sur-instrument´ee seulement. L’augmentation du nombre de capteurs doit donc privil´egier le nombre de sous-structures instrument´ees.
Pour valider ces consid´erations a priori issues des r´esultats obtenus sur les struc-tures ´el´ementaires, nous consid´erons les cas suivants :
– Cas sans charge r´epartie : Les charges r´eparties p3 et p7 sont nulles. – Cas avec charge r´epartie : Les charges r´eparties p3 et p7 sont non nulles. Dans ces deux cas, les configurations de mesure `a un, deux et trois capteurs par sous-structure sont compar´ees. Pour chaque configuration, nous identifions le choix optimal des sous-structures `a instrumenter ainsi que les valeurs de conditionnement associ´ees. Enfin, nous supposons que les capteurs mesurent simultan´ement les cour-bures et les d´eformations. Ce choix permet de limiter le nombre de capteurs et leur encombrement sur la structure.
a/ Cas sans charge r´epartie
Les charges r´eparties p3et p7 sont suppos´ees nulles. Six param`etres associ´es aux charges localis´ees (Fkx, Fky,Ckz)1,3 sont consid´er´es. Le nombre optimal de capteurs par sous-structure et le nombre de sous-structures `a instrumenter sont cherch´es de mani`ere exploratoire en se basant sur les hypoth`eses pr´ec´edemment cit´ees. Nous nous limitons aux configurations `a un, deux et trois capteurs par sous-structure. Le tableau3.7donne les valeurs de conditionnement, les sous-structures instrument´ees et les rapport d’´ecarts types τST D des param`etres de chargement identifi´es et des champs reconstruits.
D’apr`es ce tableau et les ´evolutions de τST D, la configuration optimale de me-sure est compos´ee de deux capteurs par structure r´epartis sur les trois
sous- Surveillance des structures poutres Chap.
structures (1), (2) et (7). Comme suppos´ee, la configuration `a trois capteurs r´epartis sur deux sous-structures d´egrade le conditionnement et la sensibilit´e au bruit. Cette sensibilit´e au bruit est donn´ee par τST D. Si τST D ≤ 1 alors les erreurs de mesure sont amorties. Si τST D≥ 1 alors les erreurs de mesures sont amplifi´ees d’autant. Enfin, le nombre de sous-structures instrument´ees peut ˆetre r´eduit du fait de la mesure simultan´ee des courbures et des d´eformations. Par exemple, dans la configu-ration `a deux capteurs par sous-structure, le nombre de mesures disponibles est de 2× 2 × 3 = 12. Le nombre de param`etres de chargement ´etant de 6, la quantit´e de mesures peut ˆetre r´eduite. Dans ce cas, le conditionnement se d´egrade fortement. En revanche, si le nombre de mesures de d´eformation est r´eduit `a la place du nombre de sous-structures, le conditionnement reste le mˆeme. Ainsi, les mesures de flexion ont un rˆole pr´epond´erant dans l’identification. Ces mesures d´efinissent donc les r`egles liant les nombres de mesures et de sous-structures instrument´ees au du nombre de param`etres `a identifier.
Figure3.53 – Evolution des rapports d’´ecarts types τST D des champs reconstruits `a partir des param`etres de chargement identifi´es pour les sous-structures ω1`a ω8avec 1 puis 2 capteurs par sous-structures sans charge r´epartie.
Figure3.54 – Evolution des rapports d’´ecarts types τST D pour les champs reconstruits `a partir des param`etres de chargement identifi´es pour le cas `a 3 capteurs par sous-structure sans charge r´epartie.
3.6 ] Structures poutres complexes Nombre de capteurs 1 2 3 Sous-structures 1 2 3 4 5 8 1 2 7 1 7 Cond[G] 4, 23 3, 12 11, 3 τmean ST D(γ) 4, 15 1, 46 4, 06 τmean ST D(ε) 1, 75 1, 39 1, 30 τmean ST D(T ) 3, 95 4, 40 8, 31
Tableau 3.7– Valeurs des param`etres d’instrumentation en fonction du nombre de capteurs.
Figure3.55 – Evolution des rapports d’´ecarts types τST D des champs reconstruits `a partir des param`etres de chargement identifi´es pour les sous-structures ω1`a ω8avec 1 puis 2 capteurs par sous-structures avec charge r´epartie.
Figure 3.56 – Evolution du rapport d’´ecarts types τST D des champs reconstruits `a partir des
param`etres de chargement identifi´es pour les sous-structures ω1`a ω8avec 3 capteurs par sous-structures avec charge r´epartie.
Nombre de capteurs 1 2 3 Sous-structures (−) 1 3 4 7 1 3 7 Cond[G] 7, 46 3, 05 2, 95 τmean ST D(γ) 5, 43 2, 32 1, 57 τmean ST D(ε) 1, 40 1, 26 1, 11 τmean ST D(T ) 8, 40 5, 5 6
Surveillance des structures poutres Chap.
b/ Cas avec charge r´epartie
Les charges r´eparties p3 et p7 sont suppos´ees non-nulles. Le nombre de para-m`etres de chargement est ´egal `a huit. En s’appuyant sur les r´esultats pr´ec´edents, nous ne consid´erons que les configurations de mesure `a un, deux et trois capteurs par sous-structure qui sont bas´ees sur l’identification des charges de flexion et la simultan´eit´e des mesures de courbure et de d´eformation. Ces configurations sont respectivement associ´ees `a huit, quatre et trois sous-structures.
Les figures 3.55 et 3.56 montrent l’´evolution des rapports d’´ecart type des champs reconstruits et le tableau 3.8 r´ecapitule les valeurs des param`etres d’op-timisation. Cond [G] est minimis´e pour la configuration `a trois capteurs sur trois sous-structures comme attendu. Ces r´esultats confirment les r´esultats pr´ec´edents et permettent de d´efinir les r`egles de positionnement des capteurs dans le cas des structures complexes. Ainsi, le nombre de capteurs n´ecessaires `a l’instrumentation d´epend des types de charges appliqu´ees aux structures ´el´ementaires. Ce nombre est d´etermin´e en consid´erant les structures dont le nombre de sollicitations est le plus important. Ensuite, le nombre de sous-structures `a instrumenter d´epend du nombre de param`etres de chargement `a identifier. De plus, il n’est pas n´ecessaire de sur-instrumenter les sous-structures, comme cela est observ´e dans la configuration `a trois capteurs par sous-structure. L’utilisation de deux capteurs sur la structure (1) ne modifie pas les r´esultats obtenus. Enfin, les sous-structures `a instrumenter sont pr´ef´erentiellement celles soumises au chargement ext´erieur qui sont dans ce cas les sous-structures (1), (2), (3), (7) et (8).