R´esolution du probl`eme de membrane

a/ Etude du conditionnement de G

Comme nous l’avons d´ej`a vu, le conditionnement de G caract´erise la sensibilit´e des param`etres identifi´es et des champs reconstruits aux erreurs de mesure. Nous commen¸cons par v´erifier que le nombre de degr´es de libert´e, n, n’influe par sur ce conditionnement, que le nombre de point de mesure m le r´eduit et que la dimension de la base, p l’augmente. Comme nous l’avons observ´e lors de l’´etude des poutres, l’identification des param`etres de chargement permet de localiser les erreurs des solutions sur les bords de la structure, `a « l’ext´erieur » de la zone d’observation. Ainsi, nous avons choisi de positioner les points de mesure sur un cercle de rayon R. Ce rayon caract´erise la zone d’observation comme illustr´e sur la figure 4.5. Le conditionnement de G est aussi ´etudi´e en fonction de R.

R R

Figure 4.5 – Sch´ematisation du positionnement des capteurs et de la zone d’observation `a

partir du rayon de mesure, R, et sh´ematisation de l’ajout de positions dans la configuration de mesure, ici deux positions suppl´ementaires par quart de cercle .

L’´evolution du conditionnement de G en fonction de n et m est illustr´e sur la figure4.6. Comme dans le cas des poutres, Cond [G] est ind´ependant de n et d´ecroˆıt lorsque m croˆıt. Les diff´erentes configurations de mesure sont obtenues `a partir d’une configuration initiale fixe de cinq capteurs dont le rayon de la zone d’observation est R= 0, 6b, `a laquelle sont rajout´es successivement des points de mesure ´equi-r´epartis dans chaque quart de cercle. Ces points r de mesure suppl´ementaires par quart de cercle correspondent aux angles suivants : (kπ/(2(r + 1)))_1≤k≤r. La figure4.5illustre l’ajout de deux positions `a la configuration de mesure de r´ef´erence. Enfin, Cond [G] est inversement proportionnel au rayon de la zone d’observation comme illustr´e sur la figure 4.6. Ce r´esultat est coh´erent avec l’´evolution de Cond [G] observ´ee pour les poutres. L’augmentation de R correspond `a l’agrandissement de la zone d’observa-tion et au rapprochement des capteurs des zones d’applicad’observa-tion du chargement. Ce r´esultat est aussi une cons´equence direct du principe de Saint-Venant qui dit que

 Surveillance des structures plaques Chap.

les champs m´ecaniques int´erieurs de la structure ne d´ependent que des r´esultantes globales du chargement. Ainsi, plus les capteurs sont positionn´es au centre de la structure, moins ils diff´erencient les chargements. A partir de ces r´esultats, nous

10³ 10⁴ 10⁵ 10⁰ 10¹ 10² 10 20 30 40 50 m ddl 15 20 25 30 35 40 45 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 10¹ 10² 10³ 10⁴ R/b Cond[G]

Figure 4.6 – Evolution de Cond [G] en fonction de n et de m pour p = 15 et R = 0, 6b et

´evolution de Cond [G] en fonction de R pour n = 133924 et m = 5× 3.

avons choisi d’utiliser m = 5 capteurs et n = 133924 pour les simulations. Les bases de chargement utilis´ees sont les bases S3

T et S3

F. L’´etude de la r´epartition optimale des capteurs en fonction de la valeur du rayon de la zone d’observation donne la distribution angulaire [36^◦, 90^◦, 144^◦, 225^◦, 315^◦] des capteurs sur le cercle de rayon Rpour les sollicitations identifi´ees, de membrane ou de flexion. Cette configuration est celle illustr´ee sur la figure 4.5 qui est obtenue par une recherche exploratoire en supposant diff´erentes valeurs de R et en tenant compte des sym´etries du pro-bl`emes. Dans la suite, nous utilisons cette distribution des capteurs pour ´etudier l’identification des chargements de membrane et de flexion ainsi que pour ´etudier la reconstruction des champs m´ecaniques en fonction de R. L’´evolution correspondante de Cond [G] en fonction de R est celle de la figure4.6.

b/ R´esolution du probl`eme exact

Nous consid´erons la r´esolution du probl`eme associ´e au cas de chargement exact en membrane. Ce chargement se met sous la forme :

F_b= α1σ^⊥_T1+ α2σ^⊥_T2+ α3σ^⊥_T3+ α4σ^⊥_T4+ α5σ^⊥_T5+ α9σ^⊥_T9+ α10σ^⊥_T10

Les param`etres de chargement sont exactement identifi´es quelle que soit la valeur du rayon de la zone d’observation dans le cas de mesures non-bruit´ees, c’est-`a-dire obtenues `a partir du calcul par ´el´ements finis du probl`eme direct. Ce r´esultat valide la mise en œuvre de la m´ethode dans le code de calcul COMSOL. Le rapport d’´ecart type τ_{ST D}=hhδ[S ]iiN/hhδεii^maxN est utilis´e pour ´etudier la sensibilit´e de la solution aux erreurs de mesure. L’erreur al´eatoire de mesure est g´en´er´ee `a partir de N = 10000 ´echantillons et d’une loi de probabilit´e uniforme. L’amplitude du bruit est d´efinie par le param`etre α qui est un pourcentage de la valeur moyenne des d´eformations mesur´ees, ainsi δεrand∈−αεAV R

m , αεAV R

m . La figure 4.7 montre l’´evolution de τST D

pour diff´erentes valeurs de R. Comme attendu, τST D≈ 1 dans la zone d’observation et la valeur maximale τmax

ST D= Cond [G] est atteinte au bord de la structure. Ainsi, la sensibilit´e de la solution aux erreurs al´eatoires de mesure d´epend directement de

4.3 ] Simulation d’une plaque 

Cond[G] ce qui valide la r´egularisation de la reconstruction des champs m´ecaniques par l’identification des param`etres de chargement. Ce r´esultat est ind´ependant de la valeur de α.

Figure 4.7 – Distribution du rapport d’´ecart type τST D dans les cas R = 0, 3b, R = 0, 5b et

R= 0, 7b, pour l’identification du cas de r´ef´erence exact pour la sollicitation de membrane.

c/ R´esolution du probl`eme approch´e

Nous consid´erons la r´esolution du probl`eme associ´e au cas de chargement ap-proch´e en membrane. Ce cas de chargement introduit une erreur de mod´elisation intrins`eque `a la r´esolution comme illustr´e sur la figure 4.8. Cette figure repr´esente les champs de contrainte de von Mises du cas r´ef´erence et des solutions reconstruites avec des rayons R = 0, 3b, R = 0, 5b et R = 0, 7b de la zone d’observation. La figure

4.9 montre les erreurs δ [S ] = δ [Smod] de ces solutions reconstruites par rapport `a la solution de r´ef´erence avec des mesures non-bruit´ees. Le calcul de δ [S ] est modifi´e par rapport `a la d´efinition du chapitre (2. Du fait des concentrations de contrainte, la d´eformation de r´ef´erence n’est pas la d´eformation moyenne au sens de l’´energie, mais la d´eformation telle que 80% des d´eformations de Ω soient sup´erieures `a cette valeur. Cette d´efinition de εre f se traduit par :

Tr[Cεre fεre f] ≤ Tr [Cε(X)ε(X)] avec ∀X ∈ ω ⊂ Ω et ω = 80%Ω Dans le cas de chargement ´etudi´e, εmoy≈ 4εre f avec Tr [Cε_moyε_moy] = 1

Ω R

ΩTr[Cεε] dΩ. Ces r´esultats montrent que l’erreur de mod´elisation varie en fonction du rayon R d’observation. Un crit`ere d’optimalit´e est alors d´efini pour le rayon d’observation en fonction du niveau maximum de δ [S_mod] impos´e. Ce maximum est not´e δ [Smod]^max. Le rayon d’observation optimal permet d’obtenir la plus grande zone de Ω telle que δ [Smod] ≤ δ[Smod]^max sur cette zone. Cette zone d´efinit la partie utile not´ee AZU

de Ω qui caract´erise en pratique la zone surveill´ee de la structure. La figure 4.10

montre l’´evolution de AZU en fonction de R pour diff´erentes valeurs de δ [Smod]^max. Ainsi, si δ [Smod]^max= 10% alors le rayon optimal Rop est de 0, 6b.

Nous consid´erons ensuite le probl`eme bruit´e, c’est-`a-dire en introduisant une erreur al´eatoire sur les mesures. Comme pr´ec´edemment, cette erreur est g´en´er´ee `a partir de 10000 ´echantillons et d’une loi uniforme d’amplitude αεAV R

m . L’´evolution du rapport des ´ecarts types τST D est donn´ee sur la figure 4.11. Cette ´evolution est similaires `a celle du cas pr´ec´edant illustr´ee sur la figure 4.7. Le probl`eme de re-construction est bien r´egularis´e au sens o`u l’erreur de mesure n’est pas amplifi´ee `

 Surveillance des structures plaques Chap.

Figure 4.8 – Illustration des champs de contrainte de von Mises obtenu `a partir des cas de

r´ef´erence approch´e de membrane et reconstruits `a partir des chargements identifi´es avec les rayons R = 0, 3b, R = 0, 5b et R = 0, 7b de la zone d’observation, respectivement de gauche `a droite et de haut en bas.

Figure 4.9 – Distribution de δ [S ] pour des rayons de la zone d’observation respectivement

´egaux `a 0, 3b, 0, 5b et 0, 7b. La valeur de r´ef´erence εre f est prise telle que la densit´e d’energie associ´ee soit inf´erieure `a 80% des valeurs de densit´e d’´energie de Ω.

4.3 ] Simulation d’une plaque  0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 R/b A^ZU (%) 25% 10% 5% 1%

Figure 4.10 – Evolution de la zone utile AZU (%Ω) en fonction du rayon R de la zone

d’observation pour diff´erentes valeurs de δ [Smod]^max, 25%, 10%, 5% et 1%.

de reconstruction des champs m´ecaniques est identique `a celui du probl`eme d’iden-tification du chargement. Enfin, la figure 4.12 montre l’´evolution du rapport entre l’erreur maximale totale δ [S ] et l’´ecart type du bruit des mesures pour diff´erents niveaux de bruit qui est not´e τMAX. Ce rapport tend vers τ_{ST D} lorsque α, le para-m`etre de bruit, augmente. Pour α ≤ 1% l’erreur de mod´elisation est pr´epond´erante et le bruit n’a pas ou peu d’influence sur l’erreur de la solution : τMAX diminue proportionnellement `a l’augmentation de α. Pour 5% ≤ α ≤ 25%, les erreurs de mo-d´elisation et al´eatoire sont comparables et τMAX se stabilise. Enfin, pour α ≥ 25%, l’erreur al´eatoire est pr´epond´erante sur l’erreur de mod´elisation et τMAX ≈ τST D. Ce r´esultat permet d’estimer l’erreur de mod´elisation `a 13% des d´eformations mesur´ees.

Figure 4.11 – Distribution du rapport d’´ecart type τST D dans les cas R = 0, 3b, R = 0, 5b et

R= 0, 7b, pour l’identification du cas de r´ef´erence approch´e de membrane.

Ces r´esultats permettent de d´efinir une position optimale de la zone d’observa-tion en foncd’observa-tion de l’importance relative des erreurs al´eatoire et de mod´elisad’observa-tion. Si l’erreur de mod´elisation est a priori pr´edominate, un rayon d’observation de 0, 5b, c’est-`a-dire `a ´egal distance du centre et du bord de la structure, est utilis´e. Si l’er-reur al´eatoire est a priori pr´edominante, un rayon d’observation compris entre 0, 65b et 0, 8b doit ˆetre privil´egi´e.

 Surveillance des structures plaques Chap.

Figure4.12 – Distribution du rapport τMAX dans les cas α = 0, 6%, α = 2% et α = 10%, pour

l’identification du cas de r´ef´erence approch´e de membrane avec R = 0, 5b.