Dans ce cas, on obtient ¯F au sens des moindres carr´es sous la forme : ¯
F= TG· G−1
·TG· εm o`u G = BπmK−1A (2.7)
La m´etrique utilis´ee pour le calcul de la norme de l’´ecart aux mesures est la norme L2. L’utilisation d’une m´etrique plus adapt´ee au probl`eme comme celle issue de l’erreur en relation de comportement [21] est une piste de recherche future.
2.4 Illustration du principe de Saint-Venant
L’exemple suivant illustre le principe de Saint-Venant qui justifie la reconstruc-tion des champs m´ecanique `a partir de l’identificareconstruc-tion du chargement. Soit Ω une plaque ´elastique et isotrope sollicit´ee en contraintes planes et illustr´ee sur la figure
2.2. Cette structure est encastr´ee `a l’une de ses extr´emit´es. Une densit´e lin´eique d’ef-fort, Fbest impos´ee sur le bord oppos´e. Cette densit´e est mod´elis´ee par les fonctions suivantes : f1(y) = A y + b b f2(y) = A " 1.79775 · exp " − y − 0.5b0.76625b 2## f3(y) = Ah1− cos2bπ (y + b)i f4(y) = A 5 6b3(y + b)2(1.4b − y)
Ces fonctions sont pond´er´ees pour que leurs r´esultantes en effort et en moment exprim´ees au centre de la structure soient ´egales :
Z ∂ΩfidΓ = Z ∂Ωf1dΓ 2≤ i ≤ 4 Z ∂Ωs fidΓ = Z ∂Ωs f1dΓ 2≤ i ≤ 4
2.4.1 Comparaison directe des champs m´ecaniques solutions pour des cas de chargements ´equivalents
Nous comparons dans un premier temps les champs de contrainte de von Mises calcul´es `a partir de chaque cas de chargement donn´es pr´ec´edemment. La sollicitation lin´eaire f1 est prise comme r´ef´erence pour cette comparaison et ces champs de contrainte sont donn´es sur les figures 2.3 et 2.4. σi
V M est le champ de contrainte de von Mises associ´e au cas de chargement fi. Ces valeurs sont norm´ees par la valeur de contrainte maximale du cas de r´ef´erence. Les figures 2.5 et 2.6 illustrent
Surveillance des structures : un probl`eme inverse Chap. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 F/Fmax Y/b (m) f 1 f 2 f 3 f 4
Figure2.2 – Sch´ematisation de la structure Ω et de ses conditions aux limites, et illustration des distributions du chargement sur le bord.
les ´ecarts entre les champs des contraintes de von Mises du cas de r´ef´erence et des chargements ( fi)2≤i≤4. Ces ´ecarts sont obtenus de la mani`ere suivante :
δσi V M=|σ1 V M− σi V M| 1 Ω R Ωσ1 V MdΩ 2≤ i ≤ 4 (2.8)
La statistique du champ de r´ef´erence des contraintes de von Mises est :
σV Mmean= 1 Ω Z ΩσV M1 dΩ = 25, 5% σmaxV M σstdV M=r 1 Ω Z Ωσ1 V M− σmean V M 2 = 16, 0% σmaxV M
Enfin, l’´ecart global entre le chargement de r´ef´erence et le chargement i est d´efini par : ∆Fbi= s |Wf1−Wfi| Wf1 = s R Γ| f1u1− fiui|dΓ R Γf1u1dΓ 1< i ≤ 4 (2.9) L’´ecart local entre le chargement de r´ef´erence et le chargement i est d´efini par :
δFbi= s [ f1− fi] · [u1− ui] 1 Γ R Γf1u1dΓ (2.10)
Les figures 2.5 et 2.6 montrent que les ´ecarts maximaux au champ de r´ef´e-rence sont localis´es. Le tableau 2.1 r´ecapitule les ´ecarts maximums et moyens au chargement et au champ de r´ef´erence pour les diff´erentes fonctions de chargement. Les valeurs maximales des ´ecarts au champ de r´ef´erence sont sup´erieures aux valeurs maximales des ´ecarts au chargement de r´ef´erence. En revanche, les valeurs moyennes des ´ecarts au champ de r´ef´erence sont inf´erieures aux valeurs moyennes des ´ecarts au chargement de r´ef´erence. Ces r´esultats montrent que la sensibilit´e des champs m´ecaniques aux distributions de chargements est seulement restreinte `a certaines zones de la structure. Ainsi, l’´ecart moyen entre les champs m´ecaniques calcul´es `a partir de chargements de r´esultantes ´equivalentes est inf´erieur `a l’´ecart moyen des distributions exactes de ces chargements.
2.4 ] Illustration du principe de Saint-Venant
Fonctions ∆Fb δFb δσV M
Max Mean Max Mean
f2 14, 6% 36, 4% 12, 3% 78, 6% 7, 01% f3 34, 0% 14, 9% 11, 1% 33, 5% 9, 46% f4 12, 0% 29, 0% 9, 43% 63, 4% 5, 66%
Tableau 2.1 – Expression des valeurs des ´ecarts entre les chargements ( fi)2≤i≤4 et le charge-ment de r´ef´erence f1.
Figure 2.3 – Repr´esentation des champs normalis´es des contraintes de von Mises pour les
sollicitations f1 et f2
Figure 2.4 – Repr´esentation des champs normalis´es des contraintes de von Mises pour les
sollicitations f3 et f4
Figure 2.5 – Ecart entre les champs des contraintes de von Mises du cas de r´ef´erence et des
cas de chargement f2et f3. Cet ´ecart est norm´e par la valeur moyenne de contrainte du cas de r´ef´erence. L’´echelle varie de 0% `a 25%.
Surveillance des structures : un probl`eme inverse Chap.
2.4.2 Comparaison des champs m´ecaniques reconstruits par identi-fication d’une base r´eduite de chargement
Nous nous int´eressons `a la r´esolution du probl`eme inverse associ´e au cas de chargement f1 et f4. La base des fonctions de chargement est d´efinie sous la forme Ψ = [ψ1 ψ2] = [u 1] o`u u = y/b est une variable adimensionnalis´ee. Deux cas d’iden-tification sont consid´er´es :
– (C1) : Cas exact, les donn´ees mesur´ees sont simul´ees `a partir de f1exactement d´ecrite par la base de chargement, f1= αψ1+ βψ2. (α, β) sont les param`etres de chargement `a identifier. Cet exemple permet de valider la formulation du probl`eme inverse.
– (C2) : Cas approch´e, les donn´ees mesur´ees sont simul´ees `a partir de f4 qui n’est qu’approch´ee par la base de chargement, f4≈ αψ1+ βψ2. Cet exemple permet de valider l’utilisation du principe de Saint-Venant pour construire la base de chargement.
Le tableau 2.2 donne les valeurs des coefficients identifi´es pour les deux exemples d’identification, ainsi que les ´ecarts `a la r´ef´erence en chargement et en champ. Ces ´ecarts sont calcul´es entre la solution associ´ee aux donn´ees mesur´ees ( f1 et f4) et la solution identifi´ee `a partir de la base de chargement Ψ.
L’identification (C1) permet de constater le bon fonctionnement de la m´ethode et son int´egration dans le logiciel COMSOL. La solution recherch´ee est exactement identifi´ee. L’identification (C2) permet de valider l’approche bas´ee sur le principe de Saint-Venant. Le chargement complet de la structure est r´eduit `a deux para-m`etres seulement. Ces parapara-m`etres de chargement suffisent `a reconstruire ensuite les champs m´ecaniques complets de la structure contenant n = 150000 ddl. Les erreurs entre la solution identifi´ee et le cas de r´ef´erence sont localis´ees pr`es du bord d’appli-cation du chargement. Les champs m´ecaniques «loin» de ce bord sont correctement reconstruits `a partir du chargement simplifi´e identifi´e.
Figure 2.6 – Ecart entre les champs des
contraintes de von Mises du cas de r´e-f´erence et du cas de chargement f4. Cet ´ecart est norm´e par la valeur moyenne de contrainte du cas de r´ef´erence. L’´echelle va-rie de 0% `a 25%.
Figure 2.7 – Ecart entre les champs des
contraintes de von Mises du cas f4 et de
la solution identifi´ee `a partir d’une base de chargement lin´eaire. Cet ´ecart est norm´e par la valeur moyenne de la contrainte du cas f4. L’´echelle varie de 0% `a 25%.