2.2.1 Formulation g´en´erale du probl`eme inverse de reconstruction de champ
Nous consid´erons seulement les conditions normales d’utilisation de la structure qui sont d´efinies par :
– La structure est dans une configuration quasi-stable. Son mod`ele de compor-tement est lin´eaire ou lin´earisable autour d’une position d’´equilibre.
– Les conditions de chargement sont suffisamment r´eguli`eres et lentement va-riables `a l’´echelle de l’observation. Les ph´enom`enes inertiels sont n´eglig´es. Dans ces conditions, nous souhaitons exprimer la formulation du probl`eme in-verse li´e `a l’identification des champs m´ecaniques et des conditions aux limites de la structure. On appelle Ω cette structure. Elle est soumise au chargement inconnu, Fb, sur son bord ∂ΩF et au d´eplacement inconnu, ub, sur son bord ∂Ωu. Le bord ∂Ω de la structure est tel que ∂Ω = ∂ΩFL
∂Ωu. Le sch´ema de la figure2.1illustre cette configuration. Des observations sont donn´ees sur une partie ∂Ωm⊂ Ω appel´ee zone d’observation. Ces observations peuvent ˆetre a priori des mesures de d´eformation ou de d´eplacement. εm sont les mesures de d´eformation sur la partie ∂Ωmε⊂ ∂Ωm et um sont les mesures de d´eplacement sur la partie ∂Ωum ⊂ ∂Ωm comme illustr´e sur la figure2.1. Si u est le champ des d´eplacements, εεε est le champ des d´eformations et σσσ est le champ des contraintes de la structure Ω, alors le probl`eme inverse est formul´e par :
2.2 ] D´efinition du probl`eme inverse
Trouver u, εεε, σσσ, fv, Fb, ub tels que :
Equations M´ecaniques : div[σσσ] + f v= 0 dans Ω σσσ · n = Fb sur ∂ΩF u= ub sur ∂Ωu σσσ = Cεεε dans Ω Equations d’Observation : ( ε = εm sur ∂Ωεm u= um sur ∂Ωum (2.1)
La r´esolution de ce probl`eme ne pouvant ˆetre faite de mani`ere exacte, les meilleurs
Figure 2.1 – Sch´ematisation du probl`eme classique de m´ecanique d’une structure soumise
`a un chargement ext´erieur avec des conditions aux limites en effort et en d´eplacement et sch´ematisation du probl`eme inverse associ´e `a l’identification des champs m´ecaniques et des conditions aux limites `a partir d’observations sur la structure.
solutions sont recherch´ees telles qu’elles minimisent une fonctionnelle quantifiant l’´ecart aux mesures. Cette fonctionnelle se met sous la forme :
Λ (εεε, u) = λε(ε − εm) + λu(u − um) (2.2) Ainsi, ce probl`eme inverse s’exprime aussi de la mani`ere suivante :
Trouver u, εεε, σσσ, fv, Fb, ub tels que :
Equations M´ecaniques : div[σσσ] + fv= 0 dans Ω σσσ · n = Fb sur ∂ΩF u= ub sur ∂Ωu σσσ = Cεεε sur Ω
Equation d’Observation : (εεε, u) = arg min Λ (εεε, u) sur Ωm
(2.3)
La r´esolution directe de ce probl`eme inverse consiste alors `a identifier dans un pre-mier temps, les champs εεε et u qui minimisent l’´ecart aux mesures. Les champs restant (σσσ, fv, Fb, ub) sont ensuite obtenus `a partir des ´equations m´ecaniques. Ce-pendant, sous cette forme, ce probl`eme est mal-pos´e car l’existence et l’unicit´e des solutions ne peuvent pas ˆetre assur´ees :
– Seule une approximation de dimension finie des champs u et εεε est possible `a cause du nombre fini d’observations.
Surveillance des structures : un probl`eme inverse Chap.
– Du fait de cette approximation, il est a priori impossible que la relation de comportement et l’´equation d’´equilibre soient simultan´ement v´erifi´ees. Le champ σσσ doit alors satisfaire au mieux ces deux relations.
Afin de r´egulariser ce probl`eme inverse [94], des approximations de dimensions fi-nies des champs m´ecaniques (u, εεε, σσσ) et des conditions aux limites ( f
v, Fb, ub) sont utilis´ees. Ces approximations doivent alors minimiser une fonctionnelle incorporant l’ensemble des ´equations du probl`eme :
Trouver u, εεε, σσσ, fv, Fb, ub tels que : u, εεε, σσσ, fv, Fb, ub= arg min Λu, εεε, σσσ, fv, Fb, ub o`u Λu, εεε, σσσ, f v, Fb, ub= λ1 ∂Ωεm(ε − εm) + λ2 ∂Ωum(u − um) + λ3 Ω divσσσ + f v + ··· + λ4∂Ω F(σσσn − Fb) + λ5∂Ω u(u − ub) + λ6Ω(σσσ − Cεεε) (2.4) Les fonctions λi
D correspondent `a des normes sur les domaines D associ´es `a chaque ´equation i. Dans la suite, nous consid´erons que les champs m´ecaniques et les condi-tions aux limites recherch´es sont des approximacondi-tions de dimension finie des champs m´ecaniques et des conditions aux limites r´eels. Le choix des fonctions λi
D permet alors de se ramener `a des m´ethodes de type FEMU (Finite Element Method Up-date) [34,48], CREM (Constitutive Relation Error Method) [73,21] ou EGM (Equi-librium Gap Method) [32,103]. Dans notre cas, du fait du nombre restreint de cap-teurs, une m´ethode de type VFM (Virtual Field Method) [55] n’est pas utilisable.
La prise en compte de plusieurs fonctions λi
D permettant de minimiser globale-ment le probl`eme sur l’ensemble des ´equations n´ecessite des m´ethodes de r´esolution it´eratives pour ajuster le poids relatif de ces fonctions au fur et `a mesure de l’identi-fication. Ne souhaitant conserver qu’un probl`eme d’identification lin´eaire, nous nous sommes seulement int´eress´es dans la suite `a une m´ethode de type FEMU bas´ee sur la seule ´equation d’observation. Les ´equations m´ecaniques sont suppos´ees exacte-ment v´erifi´ees pour r´eduire directeexacte-ment la complexit´e du probl`eme et le r´egulariser.
2.2.2 Formulation r´eduite du probl`eme inverse : application `a la surveillance des structures
Si le comportement de la structure est connu, les conditions aux limites per-mettent d’obtenir les champs m´ecaniques par r´esolution du probl`eme direct. Ainsi, ces param`etres sont a priori suffisants pour r´esoudre le probl`eme inverse. De plus, si de tr`es nombreux ddl sont n´ecessaires pour d´ecrire correctement les champs m´e-caniques, un nombre restreint de param`etres suffit `a d´ecrire correctement les condi-tions aux limites. En effet, puisque seules les condicondi-tions normales d’utilisation de la structure sont consid´er´ees, les conditions aux limites sont a priori r´eguli`eres et suf-fisamment connues. L’am´elioration des performances des structures se r´esume alors `
a identifier leurs chargements ext´erieurs et `a calculer directement leurs champs m´e-caniques int´erieurs qui d´ependent principalement des r´esultantes globales et peu des distributions locales des conditions aux limites. Cette d´efinition correspond au principe de Saint-Venant.