Etude du conditionnement de G

x/L γ (rad/m) γ₁⊥ γ₂⊥ γ₃⊥ γ₄⊥ γ₅⊥ γ₆⊥ γ₇⊥ γ₈⊥ γ₉⊥

Figure3.6 – Illustration de la base des courbures associ´ee aux bases de chargement de

dimen-sion 7, polynomiale P[X] et continue par morceau (CPM).

sest la variable adimensionnalis´ee d´efinie sur [0, 1] telle que x = sL.

Les cas de chargement (1) et (2) (cf. figure 3.7) sont directement construits `a partir des bases de chargement. Ces cas de chargement permettent de v´erifier la m´ethode de r´esolution et d’´etudier simplement la sensibilit´e de la m´ethode aux er-reurs de mesure, sans erreur de mod´elisation. Les cas de chargement (3) et (4) (cf. figure 3.8) ne sont qu’approxim´es par les bases de chargement. Ces cas de charge-ment introduisent l’erreur de mod´elisation et permettent d’´etudier globalecharge-ment la sensibilit´e de la m´ethode de r´esolution aux erreurs de mesure.

Figure3.7 – Sch´ematisation des cas de chargement (1) et (2) construits `a partir des bases de chargement P[X] et CPM.

Figure 3.8 – Sch´ematisation des cas de chargement (3) et (4). Le cas (3) correspond `a une

distribution gaussienne d’une charge r´epartie. Le cas (4) correspond `a l’introduction d’une charge localis´ee `a l’int´erieure de la structure ´el´ementaire.

3.3.2 Etude du conditionnement de G

Comme nous l’avons vu dans le chapitre pr´ec´edent2.5.1, l’erreur sur la solution est proportionnelle au conditionnement de G, Cond [G]. L’optimisation de Cond [G] est alors n´ecessaire pour optimiser δ [S ]. Nous nous sommes int´eress´es dans un premier temps aux influences du nombre de degr´es de libert´e, de la dimension des bases d’approximation, et du choix des points de mesure, position et nombre. Dans

3.3 ] Simulation d’un probl`eme poutre ´el´ementaire en flexion plane 

la suite, n est le nombre de ddl de la structure, m est le nombre de points de mesure et p est la dimension des bases d’approximation.

a/ Dimension des bases d’approximation du chargement

La dimension des bases d’approximation du chargement, p, correspond aux nombres d’´el´ements de ces bases. Dans le cas de la sollicitation de flexion ´etu-di´ee, p = pr+ 2, o`u p_r est le nombre de fonctions d’approximation du chargement r´eparti. L’´evolution du conditionnement de G en fonction de p est donn´ee sur la figure3.9. Ce conditionnement est calcul´e pour un mˆeme nombre de ddl, n = 300 et une mˆeme distribution de capteurs, uniforme, compos´ee de m = 12 capteurs.

Ce r´esultat montre que le conditionnement de G augmente avec la dimension de la base d’approximation ce qui correspond `a l’´evolution attendue puisque le nombre de param`etres `a identifier est ´egal `a p. Cette croissance du conditionnement s’explique assez bien par le fait que l’augmentation de p est li´e `a l’ajout de fonctions `

a faible longueur de variation. Ces fonctions seront naturellement plus sensibles aux ph´enom`enes oscillatoires et par cons´equent au bruit des mesures.

Enfin, le conditionnement de la base CPM est inf´erieur `a celui de la base P [X]. Ce r´esultat explique en partie le choix de l’approximation par morceau par rapport `

a l’approximation polynomiale pour les probl`emes d’interpolation.

2 4 6 8 10 12 10⁰ 10¹ 10² 10³ p Conditionnement CPM P[X]

Figure 3.9 – Evolution du

conditionne-ment en fonction de la dimension de la base d’approximation, p, pour une distribution uniforme des (Jk)_1≤k≤m. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 10⁰ 10¹ 10² 10³ dL/L Conditionnement CPM P[X]

Figure 3.10 – Evolution du

condition-nement en fonction de dL, (Jk)_1≤k≤m ∈

[dL, L − dL], dans le cas m = 9, p = 6, et

n= 100.

b/ Distribution des capteurs

La distribution des capteurs est un param`etre majeur du conditionnement de G. Nous nous int´eressons dans un premier temps `a la longueur de mesure c’est-`a-dire `a l’espacement maximum entre tous les capteurs de la structure ´el´ementaire, soit la distance J1Jm sur la figure 3.5. En faisant varier cette distance telle que (J_k)_1≤k≤m∈ [dL,L − dL], le conditionnement de G d´ecroˆıt jusqu’`a atteindre un mini-mum puis croˆıt en fonction de dL comme cela est illustr´e sur la figure3.10. dL est la distance s´eparant les extr´emit´es de la poutre x = 0 et x = L des capteurs J1 et Jm. La distribution des capteurs est uniforme, c’est-`a-dire que l’´ecart entre tous les capteurs est constant. La distance dL minimisant Cond [G] est globalement inf´erieure `a 0, 05L

 Surveillance des structures poutres Chap.

o`u L est la longueur de la poutre. Nous consid´erons dans la suite que la distance dL est toujours sup´erieure `a 0, 05L, et que le conditionnement d´ecroˆıt continuement en fonction de dL. Ce choix est la cons´equence des hypoth`eses du mod`ele poutre qui impose d’´ecarter les capteurs des zones d’introduction d’efforts.

5 10 15 20 25 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 m dL/L CPM P[X]

Figure3.11 – Evolution du dL optimal en

fonction de m dans le cas p = 6 et n = 100.

2 4 6 8 10 12 10⁰ 10¹ 10² p Conditionnement P[X] Acos CPM Acos P[X] Uni CPM Uni

Figure 3.12 – Evolution de Cond [G] en

fonction de p avec m = p et n = 100. dL est ´egal la longueur de mesure de la distri-bution Arccosinus.

Ce r´esultat a ´et´e v´erifi´e pour diff´erentes distributions des capteurs. Nous nous int´eressons ensuite au choix de la distribution optimale, c’est-`a-dire minimisant Cond[G]. Dans le cas d’un probl`eme d’identification lin´eaire multi-variables associ´e `

a des fonctions polynomiales, la distribution optimale des capteurs est en Arccosinus associ´ee aux racines des polynˆomes de Tchebychev du 1er ordre. Les hypoth`eses n´ecessaires `a ce r´esultat sont les suivantes [100,122,86] :

– Les fonctions polynomiales sont d´efinies sur l’intervalle [−1,1].

– Les mesures sont effectu´ees simultan´ement en des positions distinctes et sans corr´elation.

– Le nombre de capteur m est ´egal `a la dimension p des bases d’approximation. La comparaison entre les conditionnements obtenus pour une distribution uniforme et une distribution en Arccosinus est donn´ee sur la figure 3.12. La longueur de me-sure est constante et est ´egale `a la longueur d´efinie par la distribution en Arccosinus. L’´evolution du conditionnement est repr´esent´ee en fonction de la dimension de la base d’approximation dans le cas P[X] et CPM, pour un nombre m de capteurs ´egal `a la dimension de la base. L’op´erateur G est alors directement inversible. La distribu-tion en Arccosinus diminue consid´erablement Cond [G] par rapport `a la distribudistribu-tion uniforme dans le cas de la base P[X]. Dans le cas de la base CPM, Cond [G] est faiblement influenc´e par le choix de ces distributions uniforme et Arccosinus.

La d´efinition pr´ec´edente de l’optimalit´e de la distribution Arccosinus ne tient pas compte de la valeur limite de dL = 5%L, ni des cas pour lesquels m est sup´erieur `

a la dimension p de la base. Ces cas sont illustr´es sur la figure 3.13 o`u dL = 5%L dans un premier temps, et m est impos´e dans un second temps. Ces contraintes ont pour effets de r´eduire l’´ecart entre les distributions uniformes et Arccosinus. Enfin, un algorithme de construction d’une distribution optimale, tel que d´efini dans [122], bas´ee sur la distribution Arccosinus telle que m ≥ p ne modifie pas ce r´esultat. A partir de ces r´esultats, nous nous limitons dans la suite `a une distribution uniforme

3.3 ] Simulation d’un probl`eme poutre ´el´ementaire en flexion plane  2 4 6 8 10 12 10⁰ 10¹ 10² 10³ p Conditionnement P[X] Acos CPM Acos P[X] Uni CPM Uni 2 4 6 8 10 12 10⁰ 10¹ 10² 10³ p Conditionnement P[X] Acos CPM Acos P[X] Uni CPM Uni

Figure3.13 – Evolution du conditionnement de G en fonction de p avec n = 100 et dL = 5%L.

Sur la figure de gauche, m = p pour chaque valeur du conditionnement et sur la figure de droite,

m= 12.

des capteurs.

c/ Influence de n et de m

La figure3.14 montre l’´evolution de Cond [G] en fonction de n, le nombre de ddl et de m le nombre de capteurs uniform´ement distribu´es. Cond [G] est ind´ependant de n `a partir d’une certaine valeur. En effet, la solution par ´el´ements finis tend vers la solution analytique lorsque n augmente. Cette solution analytique permet de construire un op´erateur GSA identique `a G lorsque n est suffisemment grand. Pour chaque cas d’identification, la valeur limite de n peut ˆetre obtenue `a partir d’un crit`ere d’erreur entre la solution EF et la solution analytique calcul´ee `a partir des bases de chargement. Dans la suite, n est pris suffisemment grand pour que Cond[G] en soit ind´ependant. Enfin, le conditionnement de G d´ecroˆıt lorsque m augmente dans le cas de la base P[X]. Ce r´esultat signifie que pour un nombre de param`etres donn´e, l’augmentation du nombre de points de mesure utilis´es permet de moyenner les erreurs et d’am´eliorer la stabilit´e de la solution. Ce r´esultat est standard pour les probl`emes d’identification lin´eaire. Dans le cas de la base CPM, Cond[G] n’est que tr`es faiblement influenc´e par m. Les variations observ´ees sont principalement dues aux placements des points de mesure dans le maillage EF.

10¹ 10¹ 10² 10³ 0 10 20 30 n m 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 10¹ 10¹ 10² 10³ 1 2 3 4 n m 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

Figure 3.14 – Evolution du conditionnement de G en fonction de m et de n, pour p = 9 et

 Surveillance des structures poutres Chap.

d/ Conclusion

Cette ´etude de Cond [G] nous a permis de d´efinir les conditions d’identifica-tion utilis´ees dans la suite de ce travail. Nous supposons que les capteurs sont uniform´ement distribu´es et que le nombre de ddl, n, est sup´erieur `a 100. Du fait des conditions exp´erimentales de validation des ´etudes num´eriques suivantes, nous avons choisi un ordre des bases d’approximation p ´egale `a 6, ce qui correspond `a la pr´esence de quatre fonctions de chargement r´eparti. Les points de mesure sont uniform´ement distribu´es et leur nombre m est de 9. Ces valeurs de n, m, et p impose que Cond [G] = 5, 0 pour la base P[X], et que Cond [G] = 2, 7 pour la base CPM. La qualit´e de l’identification du chargement est alors ´evalu´ee `a partir de ces conditions d’identification, et de la reconstruction des champs de courbure. Les caract´eris-tiques g´eom´etriques et m´ecaniques de la poutre et des mesures sont donn´ees dans le tableau3.1.

E (GPa) ν L (mm) b (mm) h (mm) m n p

185 0, 3 640 24 3, 2 9 100 6

Tableau 3.1– Caract´eristiques g´eom´etriques et m´ecaniques de la poutre ´etudi´ee.