Seuil d’initiation de la plastification

Les hypothèses faites ici sont celles d’un effort normal nul et d’un comportement élasto-plastique pour le béton avec un diagramme de type « triangle-rectangle » équivalent conformément aux hypothèses de l’EN1992-1-1.

On évalue la courbure correspondant à l’apparition de la fissuration 𝜒𝑝𝑙 ^{et le moment correspondant} 𝑀_𝑝𝑙 en écrivant l’équilibre des efforts dans la section au moment où la limité élastique des aciers inférieurs ou supérieurs est atteinte, suivant si l’on est en flexion positive ou négative.

On identifie comme précédemment deux cas pour la résolution :

- Dans le premier cas, la limite élastique des aciers tendus est atteinte avant que la déformation limite élastique en compression du béton 𝜀𝑐3 ^{ne soit atteinte sur le parement comprimé : le} béton comprimé a donc un comportement élastique linéaire ;

- Dans le second cas, la déformation limite élastique en compression du béton 𝜀_𝑐3 est atteinte sur le parement comprimé avant que la limite élastique des aciers tendus ne soit atteinte : une partie du béton comprimé a donc un comportement plastique.

Remarque : on ne considère pas ici le cas où la rupture en compression du béton sur un parement interviendrait avant d’atteindre la limite élastique des aciers, ce cas ne devant jamais se produire dans une section de béton armé non précontraint bien dimensionnée.

3.5.2.2.1 Cas 1 : béton comprimé élastique

On développe tout d’abord les équations d’équilibre de la section dans le premier cas, qui conduisent à la résolution d’une équation du second degré dont les coefficients sont les suivants lorsque la face inférieure est tendue :

𝑎₁𝑖 =^𝐸𝑐𝑑 2 𝑏₁𝑖 = −^{ℎ. 𝐸}_{2 − 𝐸}^𝑐𝑑 _𝑠𝐴_𝑖𝑥− 𝐸_𝑠𝐴_𝑠𝑥+^𝑁𝐸_𝑓 ^𝑠 𝑦 𝑐₁𝑖 =^{ℎ2. 𝐸}₈^𝑐𝑑+ 𝑦_𝑖𝑥. 𝐴_𝑖𝑥. 𝐸_𝑠+ 𝑦_𝑖𝑥. 𝐴_𝑖𝑥. 𝐸_𝑠−^𝑁𝐸_𝑓 ^𝑠 𝑦 𝑦_𝑖 Lorsque la face supérieure est tendue, les coefficients prennent la forme :

𝑎₁𝑠 = −^𝐸₂^𝑐𝑑 𝑏₁𝑠= −^{ℎ. 𝐸}_{2 − 𝐸}^𝑐𝑑 _𝑠𝐴_𝑖𝑥− 𝐸_𝑠𝐴_𝑠𝑥+^𝑁𝐸_𝑓^𝑠 𝑦 𝑐₁𝑠 = −^{ℎ2. 𝐸}₈^𝑐𝑑+ 𝑦𝑖𝑥. 𝐴𝑖𝑥. 𝐸𝑠+ 𝑦𝑖𝑥. 𝐴𝑖𝑥. 𝐸𝑠−^𝑁𝐸_𝑓 ^𝑠 𝑦 𝑦𝑠 On calcule le déterminant : Δ₁= 𝑏₁²− 4𝑎₁. 𝑐₁

Si Δ₁ est positif ou nul, ce qui doit toujours être le cas, on calcule la valeur des deux racines de l’équation :

{

𝑦₁₁ =^−𝑏1+ √Δ1 2. 𝑎₁ 𝑦12 =^−𝑏1− √Δ1

2. 𝑎1

On retient alors la racine dont la valeur absolue est la plus faible, qui est celle qui va correspondre à une position de l’axe neutre à l’intérieur de la section.

Le coefficient 𝑏1 ^{étant toujours négatif} lorsqu’un effort normal de compression est appliqué, on retiendra donc lorsque 𝑁 ≤ 0 :

𝑦₁=^−𝑏1− √Δ1

2. 𝑎₁ ^(2.101)

La valeur absolue de la courbure correspondant à l’initiation de la plasticité dans les aciers (𝜎𝑦= 𝑓_𝑦) s’écrit alors lorsque la face inférieure est tendue :

𝜒_𝑝𝑙𝑖 = − 𝑓_𝑦

𝐸_𝑠 ⁄

𝑦_𝑖𝑥− 𝑦₁ ^(2.102)

Lorsque la face supérieure est tendue :

𝜒_𝑝𝑙𝑖 = 𝑓_𝑦

𝐸_𝑠 ⁄

𝑦_𝑠𝑥− 𝑦₁ ^(2.103)

On évalue la déformation au niveau de parement comprimé pour vérifier que l’on est bien dans le premier cas :

𝜀_𝑠𝑢𝑝 = −𝜒_𝑝𝑙𝑖 (^ℎ_{2 − 𝑦1}) (2.104)

Et :

𝜀𝑖𝑛𝑓 = −𝜒_𝑝𝑙𝑠 (^ℎ_{2 + 𝑦}1) (2.105)

Si 𝜀_𝑠𝑢𝑝≥ −𝜀_𝑐3 lorsque la fibre supérieure est comprimée ou si 𝜀_𝑖𝑛𝑓 ≥ −𝜀_𝑐3 lorsque c’est la fibre inférieure qui est comprimée, on est bien dans le premier cas.

On a alors lorsque la fibre inférieure est tendue, la valeur absolue du moment correspondant à l’initiation de la plasticité :

𝑀_𝑝𝑙𝑖 = 𝜒𝑝𝑙[𝐸𝑐𝑑(_{24 −}^{ℎ3 𝑦}_{8 ℎ}¹ 2+^𝑦_{6 ) +}¹³ (𝑦𝑖𝑥− 𝑦1). 𝑦𝑖𝑥. 𝐸𝑠. 𝐴𝑖𝑥 + (𝑦_𝑠𝑥− 𝑦₁). 𝑦_𝑠𝑥. 𝐸_𝑠. 𝐴_𝑠𝑥]

(2.106)

𝑀_𝑝𝑙𝑠 = 𝜒𝑝𝑙[𝐸𝑐𝑑(_{24 +}^{ℎ3 𝑦}_{8 ℎ}¹ 2−^𝑦_{6 ) +}¹³ (𝑦𝑖𝑥− 𝑦1). 𝑦𝑖𝑥. 𝐸𝑠. 𝐴𝑖𝑥 + (𝑦_𝑠𝑥− 𝑦₁). 𝑦_𝑠𝑥. 𝐸_𝑠. 𝐴_𝑠𝑥]

(2.107)

3.5.2.2.2 Cas 2 : béton comprimé élasto-plastique

On calcule d’abord une estimation de la position de la fibre neutre en négligeant la participation des aciers comprimés, dans le cas où la face inférieure est tendue :

𝑦_{2𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥}𝑖 =^{−𝑓𝑦. 𝐴𝑖𝑥+ 𝑓} 𝑐 𝑓_𝑦^{. 𝜀}𝑐3. 𝐸_𝑠. 𝑦𝑖𝑥 2 + 𝑓𝑐. ℎ2 + 𝑁 𝑓𝑐 𝑓_𝑦^{. 𝜀}𝑐3. 𝐸_{2 + 𝑓}^𝑠 𝑐 (2.108)

Et lorsque la face supérieure est tendue :

𝑦_{2𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥}𝑠 =^{𝑓𝑦. 𝐴𝑠𝑥+ 𝑓} 𝑐 𝑓_𝑦^{. 𝜀}𝑐3. 𝐸_𝑠. 𝑦𝑠𝑥 2 − 𝑓𝑐. ℎ2 + 𝑁 𝑓𝑐 𝑓_𝑦^{. 𝜀}𝑐3. 𝐸𝑠 2 + 𝑓𝑐 (2.109)

Le calcul en prenant en compte les aciers comprimés conduit à la résolution d'une équation de degré 2.

Dans le cas où la fibre inférieure est tendue, les coefficients de l’équation sont les suivants : 𝑎₂𝑖 = −_𝑓^𝑓𝑐 𝑦. 𝜀_𝑐3.^𝐸_{2 − 𝑓}^𝑠 _𝑐 𝑏₂𝑖 =^{𝑓𝑐𝜀𝑐3}_𝑓^{𝐸𝑠𝑦𝑖𝑥} 𝑦 + 𝑓_𝑐(^ℎ_{2 + 𝑦𝑖𝑥}) − 𝑓_𝑦(𝐴𝑠𝑥+ 𝐴_𝑖𝑥) + 𝑁 𝑐₂𝑖 = −𝑓_𝑐. 𝜀_𝑐3.^𝐸_𝑓^𝑠 𝑦 𝑦_𝑖𝑥² 2 − 𝑓^𝑐 ℎ 2 𝑦^{𝑖𝑥+ 𝑓𝑦. (𝐴𝑖𝑥. 𝑦𝑖𝑥+ 𝐴𝑠𝑥. 𝑦𝑠𝑥}) − 𝑁𝑦𝑖 Lorsque la fibre supérieure est tendue, ceux-ci prennent la forme :

𝑎₂𝑠 =^𝑓_𝑓^𝑐 𝑦. 𝜀_𝑐3.^𝐸_{2 + 𝑓}^𝑠 _𝑐 𝑏₂𝑠= −^{𝑓𝑐𝜀𝑐3𝐸𝑠𝑦𝑠𝑥} 𝑓𝑦 + 𝑓_𝑐(^ℎ 2 − 𝑦^{𝑠𝑥) − 𝑓𝑦}(𝐴𝑠𝑥+ 𝐴_𝑖𝑥) + 𝑁 𝑐₂𝑠= 𝑓_𝑐. 𝜀_𝑐3.^𝐸_𝑓^𝑠 𝑦 𝑦_𝑠𝑥2 2 − 𝑓^𝑐 ℎ 2 𝑦^{𝑠𝑥+ 𝑓𝑦. (𝐴𝑖𝑥. 𝑦𝑖𝑥+ 𝐴𝑠𝑥. 𝑦𝑠𝑥}) − 𝑁𝑦_𝑠

{

𝑦₂₁=^−𝑏2− √Δ2 2. 𝑎₁ 𝑦22=^−𝑏2+ √Δ2

2. 𝑎2

On sélectionne alors la racine dont la valeur est la plus proche de 𝑦2𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥^.

La valeur absolue de la courbure correspondant à l’initiation de la plasticité dans les aciers (𝜎𝑦= 𝑓_𝑦) s’écrit alors lorsque la face inférieure est tendue :

𝜒_𝑝𝑙𝑖 = − 𝑓_𝑦

𝐸_𝑠 ⁄

𝑦_𝑖𝑥− 𝑦₂ ^(2.110)

Lorsque la face supérieure est tendue :

𝜒_𝑝𝑙𝑖 = 𝑓_𝑦

𝐸_𝑠 ⁄

𝑦_𝑠𝑥− 𝑦₂ ^(2.111)

On évalue la déformation au niveau de parement comprimé pour vérifier que l’on est bien dans le second cas :

𝜀𝑠𝑢𝑝 = −𝜒_𝑝𝑙𝑖 (^ℎ_{2 − 𝑦}2) (2.112)

Et :

𝜀_𝑖𝑛𝑓 = −𝜒_𝑝𝑙𝑠 (^ℎ_{2 + 𝑦2}) (2.113)

Si −𝜀_𝑐𝑢3≤ 𝜀_𝑠𝑢𝑝 < −𝜀_𝑐3 lorsque la fibre supérieure est comprimée ou si −𝜀_𝑐𝑢3≤ 𝜀_𝑖𝑛𝑓 < −𝜀_𝑐3 lorsque c’est la fibre inférieure qui est comprimée, on est bien dans le second cas.

On pose alors :

𝑦_𝑐 = 𝑦₂+^𝜀𝑐3

𝜒𝑝𝑙 ^(2.114)

Où 𝑦𝑐 ^{est la coordonnée du premier point où on atteint la limite élastique en compression du béton} −𝜀𝑐3^.

On a alors lorsque la fibre inférieure est tendue, la valeur absolue du moment correspondant à l’initiation de la plasticité :

𝑀_𝑝𝑙𝑖 = 𝜒𝑝𝑙[𝐸𝑐𝑑(¹_{3 𝑦}𝑐³−^𝑦_{2 𝑦}² 𝑐²+^𝑦_{6 ) +}²³ (𝑦𝑖𝑥− 𝑦2). 𝑦𝑖𝑥. 𝐸𝑠. 𝐴𝑖𝑥 + (𝑦𝑠𝑥− 𝑦2). 𝑦𝑠𝑥. 𝐸𝑠. 𝐴𝑠𝑥] + 𝑓𝑐. (^ℎ_{8 −}^{2 𝑦}_{2 )}^𝑐2

(2.115)

𝑀_𝑝𝑙𝑠 = 𝜒𝑝𝑙[−𝐸𝑐𝑑(¹_{3 𝑦}𝑐³−^𝑦_{2 𝑦}² 𝑐²+^𝑦_{6 ) +}²³ (𝑦𝑖𝑥− 𝑦2). 𝑦𝑖𝑥. 𝐸𝑠. 𝐴𝑖𝑥 + (𝑦𝑠𝑥− 𝑦2). 𝑦𝑠𝑥. 𝐸𝑠. 𝐴𝑠𝑥] + 𝑓𝑐. (^ℎ_{8 −}^{2 𝑦}_{2 )}^𝑐2

(2.116)

3.5.3 Détermination des paramètres du modèle

De façon à éviter des problèmes de convergence dans code_aster, le choix a été fait de ne pas coupler dans le modèle les seuils d’endommagement et de plasticité à l’effort normal résultant de la simulation, ce qui aurait pu être fait en faisant évoluer les seuils en fonction de l’effort normal dans l’élément, suivant les équations développées au paragraphe 3.5.2. Sur une structure très élancée avec des problématiques de décollement de la fondation sous séisme par exemple, l’évolution des efforts normaux au cours du chargement serait à suivre au niveau des jonctions pour s’assurer que le paramétrage du modèle reste raisonnable par rapport aux variations de l’effort normal.

On considère donc que les paramètres sont déterminés a priori, en se basant éventuellement sur l’effort normal sous chargement statique concomitant pour la détermination des moments correspondant à l’initiation de la fissuration et à l’initiation de la plasticité.

On propose dans un premier temps de paramétrer le modèle de la façon suivante :

Soient 𝜒𝑐𝑟^𝑖 , 𝜒𝑐𝑟^𝑠 , 𝑀𝑐𝑟^𝑖 , 𝑀𝑐𝑟^𝑠 , 𝜒_𝑝𝑙^𝑖 , 𝜒_𝑝𝑙^𝑠 , 𝑀_𝑝𝑙^𝑖 , 𝑀_𝑝𝑙^𝑠 les valeurs caractéristiques de la section de béton armé de l’élément connecté, au niveau de sa connexion avec la jonction,

Soit 𝛥𝑧 la largeur afférente à l’élément le long de l’axe de la jonction, Soit 𝐿 la longueur caractéristique attribuée à l’élément,

Les paramètres du modèle sont définis par :

{ 𝐾𝑒=¹_{𝐿 ⋅}^{𝑀𝑐𝑟𝑖} 𝜒_𝑐𝑟𝑖 ⋅ Δ𝑧 𝐾_𝑑⁺=¹_{𝐿 ⋅}^{(𝑀𝑝𝑙𝑖 − 𝑀𝑐𝑟𝑖 )} (𝜒_𝑝𝑙𝑖 − 𝜒_𝑐𝑟𝑖 ) ^{⋅ Δ𝑧} 𝐾_𝑑−=¹_{𝐿 ⋅}^(𝑀_(𝜒^{𝑝𝑙𝑠 − 𝑀𝑐𝑟𝑠 )} 𝑝𝑙^𝑠 − 𝜒_𝑐𝑟𝑠 ) ⋅ Δ𝑧 𝐾𝑝= _{100 ⋅ min (𝐾}¹ _𝑑+, 𝐾_𝑑−) ⋅ Δ𝑧 𝜃_𝑑+= 𝜒_𝑐𝑟𝑖 ⋅ 𝐿 𝜃_𝑑−= −𝜒𝑐𝑟^𝑠 ⋅ 𝐿 𝑀_𝑦+= 𝑀_𝑝𝑙𝑖 ⋅ Δ𝑧 𝑀_𝑦−= −𝑀_𝑝𝑙𝑠 ⋅ Δ𝑧 (2.117)

Figure 2.38 – Paramétrage proposé du modèle non linéaire

La longueur caractéristique attribuée à l’élément représente la taille de la zone fissurée. Compte tenu des observations expérimentales, on proposera en premier lieu d’utiliser 𝐿 = 0.10𝑚.

La détermination et le calage de ce paramètre seront discutés au Chapitre 3.

Néanmoins ce choix de paramétrage présente le désavantage d’ajouter une petite souplesse au modèle élastique de jonction (composé uniquement de l’élément volumique élastique, lié par des relations cinématiques aux nœuds des plaques connectées). Le comportement du modèle non linéaire (dans lequel les éléments rotules non linéaires sont intercalés entre l’élément volumique de jonction, toujours élastique, et les plaques connectées) avec ce paramétrage n’est donc pas exactement identique dans sa phase élastique à celui du modèle de jonction élastique seul.

Pour pallier ce désavantage, on proposera le paramétrage alternatif ci-dessous :

{ 𝐾_𝑒= 100 ⋅^𝑓_{12 ⋅ Δ𝑧}^𝑐ℎ3 𝜃_𝑑+=^𝑀_𝐾^𝑐𝑟𝑖 𝑒 𝜃_𝑑−= −^{𝑀𝑐𝑟𝑠} 𝐾𝑒 𝐾_𝑑+= ^{(𝑀𝑝𝑙𝑖 − 𝑀𝑐𝑟𝑖 )} (𝜒_𝑝𝑙𝑖 ⋅ 𝐿 − 𝜃_𝑑+)^{⋅ Δ𝑧} 𝐾_𝑑−=¹ 𝐿 ⋅ (𝑀_𝑝𝑙𝑠 − 𝑀_𝑐𝑟𝑠 ) (𝜒_𝑝𝑙^𝑠 ⋅ 𝐿 − 𝜃_𝑑−) ⋅ Δ𝑧 𝐾_𝑝= _{100 ⋅ min (𝐾}¹ _𝑑+, 𝐾_𝑑−) ⋅ Δ𝑧 𝑀_𝑦+= 𝑀_𝑝𝑙𝑖 ⋅ Δ𝑧 𝑀_𝑦−= −𝑀_𝑝𝑙𝑠 ⋅ Δ𝑧 (2.118)

Figure 2.39 – Paramétrage alternatif proposé du modèle non linéaire

Ce second choix de paramétrage permet d’assurer une cohérence parfaite avec le modèle élastique de jonction. Néanmoins la raideur initiale très forte pénalise fortement la résolution du calcul éléments finis, et entraine des difficultés numériques lors de la résolution avec code_aster.

Il nécessiterait de bénéficier d’un élément fini spécifique permettant d’assurer la relation cinématique correspondante entre les degrés de liberté concernés sans avoir à affecter de raideur « infinie » (raideur de pénalisation très forte devant les autres raideurs du modèle). Un tel élément existe dans code_aster mais ne porte pas de degrés de liberté en rotation à l’heure actuelle.

L’ajout de degrés de liberté en rotation à un tel élément et l’implantation de la loi de comportement non linéaire dans l’élément en question pourra faire l’objet d’un développement ultérieur à effectuer dans le code pour faciliter la convergence lorsque ce second choix de paramétrage est retenu. Néanmoins, on verra au Chapitre 3.2.2.2 que l’écart entre les résultats obtenus avec ces deux paramétrages sur une structure est faible ; on pourra donc, en l’attente de développements ultérieurs, privilégier la première méthode de paramétrage présentée.