Proposition d’un modèle élastique de jonction

Pour définir le modèle élastique de jonction, on s’intéresse à caractériser la cinématique et la rigidité de la zone de jonction.

Un modèle volumique élastique, représentant la jonction ainsi qu’une partie des voiles et planchers s’y connectant avec une discrétisation suffisamment fine, tel que schématisé en Figure 2.19, est pris comme référence, car il doit permettre de représenter pertinemment la cinématique et le comportement de la zone de jonction. Néanmoins il est incompatible avec la modélisation d’un bâtiment nucléaire complet en termes de nombre de degrés de liberté.

En particulier on cherche à identifier des modes de déformation de façon à choisir les variables cinématiques pertinentes et décrire à l’échelle macroscopique de façon simple le comportement de la jonction sous différents types de sollicitations.

On conçoit une série d’expériences numériques qui prennent en compte des jonctions avec des voiles et planchers connectés d’épaisseurs diverses, affectées de différentes conditions aux limites choisies pour leur similarité avec une décomposition simple de ce qui pourrait être vu par une jonction dans un bâtiment soumis à un séisme dans une direction donnée.

Le matériau choisi est élastique isotrope, homogène sur l’ensemble de la structure testée. Les éléments de structure connectés sont supposés d’épaisseur comprise :

- Entre 10cm et 60cm pour le plancher ; - Entre 30cm et 80 cm pour le voile.

Figure 2.19 – Principe de la modélisation de référence (à gauche), par des éléments finis volumiques, d’une zone de structure incluant une jonction voile-plancher, et modélisation réalisée

(à droite)

Au niveau des conditions aux limites, on sélectionne les cas schématisés en Figure 2.20 : - Sollicitations « hors plan » :

o H1 : Déplacement horizontal appliqué en tête de voile, extrémités des planchers encastrées, base du voile encastrée ;

o V2 : Déplacement vertical vers le bas appliqué en tête de voile, base du voile encastrée ;

o V3 : Déplacements verticaux vers le bas appliqués de façon symétrique à chaque extrémité de plancher, base du voile encastrée ;

o V4 : Déplacements verticaux appliqués de façon antisymétrique à chaque extrémité de plancher, base du voile encastrée, déplacements horizontaux de la tête de voile bloqués ;

o H5 : Déplacements horizontaux dans la même direction appliqués à chaque extrémité de plancher, base du voile encastrée, déplacements verticaux et rotations des extrémités de planchers bloqués ;

- Sollicitations « dans le plan » :

o H6 : Déplacements horizontaux dans la même direction appliqués à chaque extrémité de plancher, base du voile encastrée ;

o H7 : Déplacements horizontaux dans des directions opposées appliqués à chaque extrémité de plancher, base du voile encastrée.

Figure 2.20 – Schématisation des cas de chargement considérés

La cinématique liée aux sollicitations hors plan est évaluée sur un modèle 2D plan, pour les cas de chargements H1 à H5.

Dans les cas H1, V4, et H5, où la jonction est soumise à des efforts de cisaillement hors plan et à des moments de flexion hors plan antisymétriques d’un côté à l’autre du plancher par rapport à l’axe du voile, la cinématique de la jonction peut être décrite de façon simple en la considérant comme un parallélogramme dont seul l’angle entre les axes évolue, à surface constante. Ce qui correspond à un mode de déformation en cisaillement pur. Dans ces trois cas ce mode, associé à un déplacement de corps rigide, permet de décrire au premier ordre la déformation de la jonction.

Dans le cas V2 (compression), la déformation de la section de jonction correspond principalement à une diminution de sa dimension le long de l’axe comprimé, à une très faible augmentation de sa direction le long de l’axe perpendiculaire. Cela correspondrait à un mode de déformation en traction/compression avec l’effet d’un faible coefficient de Poisson. De façon à décrire complétement le champ de déformation observées, il faudrait introduire une courbure des frontières. Néanmoins les déformations associées sont très faibles, la section de jonction étant confinée et rigide en comparaison des éléments de structure environnants.

Dans le cas V3 (flexion symétrique par rapport à l’axe du voile), la déformation peut être assimilée au premier ordre à une déformation en trapèze, à surface constante.

On retrouve dans une section normale à l’axe de la jonction, sous sollicitations hors plan du plancher, les modes de déformation principaux identifiés dans le Tableau 2.1, classés par ordre de grandeur des déformations observées sur les cas testés.

Tableau 2.1 – Modes de déformation de la jonction, dans un plan perpendiculaire à son axe

Mode ^Cisaillement (1)

Flexion horizontale et verticale (2 et 3)

Dilatation horizontale et verticale (4 et 5) Schéma Exemple de déformée du modèle de référence

Ces modes de déformation sont complétés dans le plan perpendiculaire à l’axe de la jonction des 3 modes rigides : 2 modes de translation ainsi que la rotation autour de l’axe.

On peut faire un parallèle entre la cinématique décrite ci-dessus et celle d’un élément plan linéaire, décrite par les fonctions suivantes :

Déplacements dans la direction x :

u(𝑥, 𝑦)= 𝑐₁+ 𝑐₂𝑥 + 𝑐₃𝑦 + 𝑐₄𝑥𝑦 (2.1) Déplacements dans la direction y :

v(𝑥, 𝑦)= 𝑐₅+ 𝑐₆𝑥 + 𝑐₇𝑦 + 𝑐₈𝑥𝑦 (2.2) Un tel élément possède, en 2D plan, 3 modes de déplacement de corps rigide (2 translations et une rotation), ainsi que les 5 modes de déformation suivants : déformation en parallélogramme à surface constante, déformation en trapèze à surface constante (avec une symétrie selon l’axe x ou y – soit deux modes), déformation selon un rectangle de surface non conservée (réduction de la dimension

selon un axe et léger accroissement de la dimension selon l’axe perpendiculaire – soit deux modes). Ces modes de déformations sont illustrés en Figure 2.21.

Figure 2.21 – Modes de déformation d’un élément 2D plan linéaire à 4 nœuds

A l’exception des modes de déformation en traction / compression, qui jouent finalement très peu sur les déformations de la structure, les modes de déformation de la jonction correspondent donc à ceux d’un élément fini rectangulaire Lagrange d’ordre 1, avec les faces de la jonction qui restent globalement planes.

On peut donc, de façon simple, représenter en 2D plan une section de jonction par un seul élément quadrangulaire linéaire dont les modes de déformation correspondraient à ceux cités ci-dessus. En passant en 3 dimensions, et en introduisant également les effets du cisaillement membranaire (cas de chargement H6 et H7), on peut de la même manière représenter le volume de la jonction par un ensemble d’éléments volumiques parallélépipédiques linéaires placés le long de la jonction, avec une discrétisation uniquement le long de l’axe de la jonction. De cette façon, les modes de déformation observés sont respectées, et une cohérence avec le postulat des sections des modèles de plaques est assurée à la connexion avec les éléments de structure (voiles, planchers), le modèle proposé assurant par définition un respect des conditions d’alignement des sections aux frontières de la jonction.

La connexion avec les éléments plaques représentants les planchers et voiles connectés peut alors se faire par l’écriture de relations cinématiques permettant le calcul des rotations.

Figure 2.22 – Schéma de principe de la modélisation proposée d’une zone de structure incluant une jonction voile-plancher

On se propose donc de modéliser la jonction à l’échelle du bâtiment par un élément fini de type volumique, d’ordre 1, représentatif du comportement homogénéisé de la jonction sur son emprise,

x y

du nu des planchers au nu des voiles connectés, compatible avec l’écriture de relations cinématiques avec des éléments finis de plaques usuels de code_aster, comme présenté en Figure 2.22.

Le modèle proposé ainsi serait compatible avec l’usage des éléments plaques ou coques pour la représentation des éléments de structure tels que voiles ou planchers, mais permettrait de traduire plus fidèlement la cinématique et la raideur de la zone de jonction.

De façon à confirmer que la cinématique de la jonction en béton armé n’est pas significativement modifiée par le remplacement d’un matériau homogène par celui d’un matériau « composite » formé de béton et d’armatures en acier, on pourra évaluer l’impact de l’introduction des aciers sur les cas tests présentés ci-dessus.

L’ensemble de ces tests en 3 dimensions servira de benchmark pour valider le modèle élastique de jonction (Chapitre 3.1).