Schémas de localisation

Les divers schémas de localisation évalués ont été choisis en lien avec les diagnostics de localisation optimale du chapitre précédent. Les caractéristiques principales des schémas

1. GPM Microwave Imager 2. Cross-track Infrared Sounder

3. Advanced Technology Microwave Sounder 4. Infrared Atmospheric Sounding Interferometer 5. Spinning Enhanced Visible Infra-Red Imager

Localisation Formulation 1/2 S’applique à. . . L_h (km) Lv (ln(Pa))

FULL Non toutes variables de contrôle 150 0,4

SQRT Oui toutes variables de contrôle 150 0,4

HVDL Oui ^{variables classiques 150 0,4}

q_l, qi, qr, qs, qg 50 0,4

VVDL Oui ^{classiques + q}l, qi 150 0,4

q_r, qs, qg 150 0,8

SDL Oui ^{pert. filtrées, nombre d’onde 25}_{pert. filtrées, nombre d’onde 8 150}^{75 0,4}_0,4 pert. filtrées, nombre d’onde 2 300 0,4 Ta b l e 4.2 – Récapitulatif des schémas de localisation évalués. Les longueurs de localisation horizontale (L_h) et verticale (L_v) sont les longueurs de Daley. Les variables de contrôle « classiques » sont la température T , les composantes du vent horizontal u et v, l’humidité spécifique qv et la pression de surface Ps. La formulation spectrale de la localisation spatiale est utilisée pour le SDL uniquement.

utilisés sont réunies dans la table 4.2. Nous présentons ici les implémentations des schémas de localisation standard (section 4.2.4.a), des schémas de localisation dépendante de la variable (section 4.2.4.b) et des schémas de localisation dépendante de l’échelle (section 4.2.4.c).

4.2.4.a Localisation standard

Le premier schéma de localisation testé est un schéma de localisation commun à toutes les variables. Suivant les résultats de Montmerle et al. (2018), la formulation en points de grille avec filtres récursifs est préférée à la version spectrale. Deux formulations de la localisation avec filtres récursifs sont possibles, une formulation standard (FULL) et une formulation racine carrée (SQRT).

La formulation racine carrée (SQRT) peut s’écrire sous la forme :

L^SQRT = U_vU_hU^T_hU^T_v, (4.1) où U_vest une racine de l’opérateur de localisation verticale, et U_h une racine de l’opérateur de localisation horizontale. L’application de la localisation par filtres récursifs (Purser et al., 2003, voir aussi section 2.2.3) consiste en un certain nombre de passes horizontales ou verticales. Chaque passe est auto-adjointe. L’application successive de chacune de ces passes

permet d’approximer une convolution par un profil gaussien. Plus le nombre de passes est élevé, plus l’approximation du profil gaussien est précise. Ainsi, les opérations successives appliquées à un vecteur d’état x pour calculer LSQRT_x sont les suivantes :

— déformation de la grille verticale du modèle vers une grille régulière (Michel, 2012b), puis application des passes verticales des filtres récursifs (UT

v) ; — double application des passes horizontales des filtres récursifs (UT

h ^{= U}h, puis U_h) ; — application des passes verticales des filtres récursifs, puis déformation de la grille

verticale régulière vers la grille des niveaux modèles (Uv). La formulation standard (FULL) est très similaire :

L^FULL= U_vL_hU^T_v. (4.2)

La seule différence réside dans la fusion des opérateurs U_h et UT

h en un unique opérateur de localisation horizontale L_h. Ainsi, le nombre de passes horizontales pourra être impair, contrairement à la formulation SQRT. Dans notre cas, la localisation FULL est basée sur l’application d’une unique passe horizontale, ce qui limite le coût numérique par rapport à la formulation SQRT, qui utilise deux passes au total. Les formes des fonctions de localisation diffèrent d’une formulation à l’autre, notamment par la possibilité d’avoir des légers lobes négatifs pour la forme FULL.

Coût de l’application de la localisation standard

Dans ce cas simple où la même localisation est choisie pour toutes les variables, il est courant de simplifier le calcul pour ne pas appliquer une matrice de localisation multivariée L mais seulement une matrice de localisation L adaptée à une variable tridimensionnelle. Dans un cas avec k variables tridimensionnelles :

Lx =    L · · · L ... ... ... L · · · L   x =    I_N ... I_N   L I_N · · · I_N
   x₁ ... x_k    (4.3)

Il est donc possible de n’appliquer L qu’une unique fois, se ramenant au coût de cal-cul pour un champ univarié (auquel s’ajoute le coût des sommations des champs et des entrées/sorties). Les étapes associées au calcul (4.3) sont les suivantes :

1. Sommer toutes les variables tridimensionnelles ; 2. Appliquer L à la somme des variables ;

3. Dupliquer k fois le champs résultant dans le vecteur d’état multivarié final. 149

Configuration de la localisation standard

Nous choisissons pour ces expériences une longueur de localisation horizontale de 150 km et une longueur de localisation verticale de 0,4 ln(Pa). Cette configuration est cohérente avec les résultats obtenus au chapitre 3. Elle diffère de la configuration proposée par Montmerle et al. (2018) pour un ensemble à 25 membres et 3,8 km de résolution horizontale. La localisation n’a pas été optimisée pour obtenir les meilleurs scores possibles sur la période d’étude.

4.2.4.b Localisation dépendante de la variable (VDL)

La localisation dépendante de la variable (VDL, Variable-Dependent Localisation) peut être définie par la racine de l’opérateur de localisation associé. Définir une localisation par sa racine permet de définir implicitement les localisations croisées, tout en assurant la symétrie et le caractère positif de la matrice obtenue. Ainsi, dans un cas simple à deux variables tridimensionnelles, si la localisation L1 = U₁U^T₁ est associée à la première variable et L2 = U₂U^T₂ à la deuxième, la matrice de localisation résultante sera donnée par :

L =U₁ U₂  U^T₁ U^T₂
(4.4) =U₁U^T₁ U₁U^T₂ U₂U^T₁ U₂U^T₂  . (4.5)

Pour limiter le coût numérique de l’application de ce schéma de localisation, il est souhaitable de ne pas choisir une localisation propre à chaque variable, mais de regrouper ensemble les variables pour lesquelles une localisation commune est possible.

Dans le cas où deux groupes de k et l variables sont formés, on peut se ramener à l’application de 4 matrices de localisation univariées :

L^VDLx =           U₁ ... U₁ U₂ ... U₂           U^T₁ · · · U^T₁ U^T₂ · · · U^T₂
x (4.6) 150

=           I_N 0 ... ... IN 0 0 I_N ... ... 0 IN           U₁ U₂  U^T₁ U^T₂
I_N · · · IN 0 · · · 0 0 · · · 0 I_N · · · I_N            x₁ ... xk x_k+1 ... xk+l           (4.7)

Ce qui s’applique dans la pratique par les opérations suivantes : 1. Sommer ensemble les variables de chaque groupe ;

2. Appliquer UT

1 à la première somme, et UT

2 à la deuxième ; 3. Sommer les deux champs résultants ;

4. Appliquer U1 au résultat de l’étape 3, et écrire le champ résultant dans les k premières variables du vecteur d’état multivarié final ;

5. Appliquer U2 au résultat de l’étape 3, et écrire le champ résultant dans les l dernières variables du vecteur multivarié final.

De manière générale, appliquer une localisation à M groupes de variables demande 2M applications de localisation. La parallélisation est possible pour les M premières applications de la localisation (étape 2) et pour les M dernières (étapes 4 et 5), avec cependant un besoin de communications entre les deux séries de M applications pour sommer les résultats intermédiaires.

Comme expliqué dans la note technique de Ménétrier (2020b), la différence des longueurs de portée des localisations L1 et L2 a un double impact sur les localisations croisées inter-variables du type U1U^T₂. Les longueurs des localisations croisées ainsi définies sont comprises entre les longueurs de localisation de chacune des deux variables. Ce choix semble être par ailleurs le plus simple pour combiner ces deux longueurs. Le deuxième impact est l’atténuation de l’amplitude des localisations croisées, qui ne valent donc plus 1 à séparation spatiale nulle.

Configuration du VDL

Pour nos expériences, nous évaluons deux configurations du VDL, conformément aux recommandations du chapitre 3 :

— un schéma dépendant de la variable pour la localisation horizontale (HVDL), séparant les variables classiques des variables d’hydrométéores ;

— un schéma dépendant de la variable pour la localisation verticale (VVDL), distinguant les hydrométéores précipitants des autres variables de contrôle.

Comme indiqué en table 4.2), nous choisissons pour la localisation HVDL une longueur de 151

Configuration FULL SQRT HVDL VVDL SDL

CTRL CTRL-full CTRL-sqrt — — CTRL-SDL

HMNCy HMNCy-full HMNCy-sqrt HMNCy-HVDL HMNCy-VVDL HMNCy-SDL

HMCyc HMCyc-full HMCyc-sqrt HMCyc-HVDL HMCyc-VVDL HMCyc-SDL

Ta b l e 4.3 – Tableau récapitulatif des différentes expériences cyclées. Les configurations CTRL-HVDL et CTRL-VVDL sont identiques à la configuration CTRL-SQRT. Voir les tables 4.1 et 4.2 pour un descriptif des différentes configurations et localisations du tableau.

localisation 3 fois plus courte pour les hydrométéores que pour les variables classiques. Pour la localisation VVDL, nous choisissons des longueurs verticales deux fois plus longues pour les hydrométéores précipitants. Ces résultats sont cohérents avec les diagnostics de localisation présentés au chapitre 3.

4.2.4.c Localisation dépendante de l’échelle (SDL)

Le schéma SDL (Scale-Dependent Localization), dernier schéma de localisation évalué, a été implémenté pour AROME par Caron et al. (2018). Conformément à leurs résultats, nous utilisons ici la version de Buehner (2012) du SDL, dans laquelle les covariances inter-échelles sont forcées à zéro (voir section 2.2.4.a pour une présentation rapide du SDL).

Contrairement au cas de Caron et al. (2018), nous utilisons un ensemble à 50 membres au lieu de 25, une résolution spatiale horizontale de 3,2 km au lieu de 3,8 km, et une version sans inflation de l’EDA AROME. Nous conservons le choix de filtrer les perturbations selon 3 bandes spectrales dont nous ne changeons pas la configuration (figure 1 de leur article). La longueur de localisation horizontale pour la bande centrale est fixée à 150 km comme dans les expériences FULL, SQRT et VDL. Elle est divisée ou multipliée par 2 dans les autres bandes spectrales : à 75 km pour les petites échelles et à 300 km pour les longues échelles. Ce choix empirique diffère des valeurs optimales obtenues par Caron et al. (2018), qui étaient 448 km, 224 km et 84 km.

Contrairement à Caron et al. (2018), une formulation spectrale de la localisation a été utilisée pour l’expérience SDL, la formulation avec filtres récursifs n’étant pas disponible au moment de l’expérience. La localisation horizontale est donc calculée dans l’espace spectral, tandis qu’un profil de type Gaspari et Cohn (1999) est utilisé pour la localisation verticale. Plus de détails sur la localisation spatiale dans l’espace spectral sont donnés par Montmerle et al. (2018).

La table 4.3 résume les différentes localisations et configurations évaluées dans ce cha-pitre.