Dans de nombreux travaux portant sur la localisation d’Anderson, il est souvent utile de ne s’int´eresser qu’`a une partie bien sp´ecifique du spectre dans laquelle on suppose a priori
D’INTERACTION MATI`ERE-RAYONNEMENT.
Figure3.21 – Repr´esentation log-log des distributions des ´ecarts entre niveaux d’´energies cons´ecutifs P (∆Eat) dans les cas scalaire (figure de gauche) et vectoriel (figure des droite)
pour un nuage contenant N = 500 atomes `a diff´erentes densit´e spatiales ρλ3 = 1.136, 13.16 et 131.6 moyenn´e sur 15 configurations spatiales. On remarque que qu’elle que soit la den- sit´e spatiale que l’on consid`ere, on n’observe pas de r´epulsion entre les niveaux d’´energies ni mˆeme un changement de comportement drastique dans les formes de ces distributions. Dans les deux cas les distributions ont qualitativement les mˆemes formes `a l’exception des plus grandes valeurs de ∆Eat obtenues dans le cas vectoriel, qui vient du fait que les paires
d’atomes coop´eratives sont plus d´ecal´ees en ´energies `a cause de la pr´esence du terme en 1/(k0r)3 dans le potentiel d’interaction.
qu’il est possible d’observer les ´etats localis´es. De mani`ere g´en´erale dans le contexte de la diffusion chaotique, afin d’observer les distributions des ´ecarts entre les niveaux d’´energies cons´ecutifs que nous avons ´enonc´ees `a la section pr´ec´edente, seules les valeurs au centre de la loi semi circulaire sont retenues.
Dans des ´etudes portant sur des syst`emes similaires au notre [27] les ´etats localis´es sont s´epar´es ’`a la main’ des ´etats ´etendus en se servant d’arguments g´eom´etriques bas´es sur le nombre de site contribuant `a l’´etat d’excitation collectif. Cette notion sera approfondie lorsque nous les ´etats propres de l’Hamiltonien effectif plus tard dans cette ´etude. Plus r´ecemment, une ´etude a achev´e une s´election sur les ´etats contenus dans l’accumulation des valeurs propres aux longs temps de vies autour de l’´energie Eat = 1 (branche dans le
plan complexe) [144] afin de calculer le nombre de Thouless, qui quantifie le recouvrement entre les diff´erents modes et qui dans le cas d’´electrons `a l’int´erieur d’un mat´eriau semi- conducteur peut ˆetre reli´ee `a la conductance.
Notre id´ee originale est que le comportement des paires coop´eratives d’atomes, qui sont d´ecoupl´ees du reste des ´etats `a cause de leur ´ecarts en ´energie, ont un comportement ind´ependant vis `a vis du reste des autre excitations collectives concernant la majorit´e des atomes. En se basant sur les comportements que nous avons obtenus pr´ec´edemment de mani`ere num´erique nous ´elaborons donc un crit`ere afin de nous affranchir de ces paires d’atomes dont la distance qui les s´epare est inf´erieure `a la longueur d’onde. Certaines ´etudes ont ´evit´e ce probl`eme en posant un volume d’exclusion de l’ordre de la longueur d’onde au cube afin de s’affranchir de l’influence des paires coop´eratives [22,24].
En se rappelant de ce qui a ´et´e pr´ec´edemment ´evoqu´e lorsque nous avons consid´er´e la r´epartition des valeurs propres dans le plan complexe, qui suit une distribution circulaire dans le cas de syst`emes dilu´es nous suivons l’hypoth`ese que la r´epartition dans le plan
maximales des largeurs des modes aux ´equations (3.45) et (3.46) dans les cas scalaire et vectoriels et pour les ´equations (3.51)-(3.52) que l’on va relier `a la bordure inf´erieure du domaine que l’on d´esire s´electionner, en faisant la conjecture que ces derni`eres ´equations d´ecrivent la limite constituant la fronti`ere entre la physique des ´etats sousradiant reli´ee `a plus de deux atomes et la physique des ´etats sousradiants reli´es `a des paire coop´eratives, il est possible d’´etablir un ´equation pour le comportement du domaine elliptique selon l’axe imaginaire telle que :
ΓAxe=
ΓM ax+ Γ′inv
2 (3.71)
Le premier terme de l’´equation (3.71) correspond exactement `a l’´equation (3.45) pour le cas scalaire et `a l’´equation (3.46) pour le cas vectoriel alors que le deuxi`eme terme de l’expression pr´ec´edente bien que similaire aux ´equations (3.51) pour le cas scalaire et (3.52) pour le cas vectoriel a ´et´e minor´e d’un facteur 2 tel que
Γ′inv = Γ0
2b(s)0 + 1 (3.72)
pour le cas scalaire et :
Γ′inv = Γ0 2b(v)0 + 1 1 + 1 k0l(v) (3.73) pour le cas vectoriel. Cette correction vient du fait que la fronti`ere entre le domaine propre aux paires coop´eratives et les domaine propre aux ´etats d’excitation collective associ´es `a plus de 2 atomes ne se situe pas `a la valeur la plus probable des largeurs des modes mais aux point d’inflexion l´eg`erement inf´erieur en largeur sur les distributions des largeurs des modes comme cale est clairement visible dans le cas vectoriel `a la figure 3.7.
Pour l’axe r´eel (celui selon lequel sont les positions en ´energies), on reprend les r´esultats obtenus aux ´equations (3.62), (3.63) et (3.64) pour les cas scalaire et vectoriel, et en adoptant une expression similaire `a celle que l’on a ´etablie pour l’expression (3.71), on obtient comme comportement pour l’axe de l’ellipse :
EAxe= v u u tb (s)/(v) 0 5.5 + b(s)/(v)0 5.5 !2 (3.74) dans les cas scalaire ou vectoriel. Enfin nous ne gardons que les valeurs propres contenues dans le domaine C d´elimit´e par l’´equation de l’ellipse
Γat
Γaxe
+ Eat Eaxe
D’INTERACTION MATI`ERE-RAYONNEMENT.
afin de s’affranchir des ´etats correspondant aux paires coop´eratives tr`es d´ecal´ees en ´ener- gies.
Il est utile de remarquer qu’en proc´edant de cette mani`ere on s’affranchit ´egalement des ´etats aux long temps de vies qui s’accumulent dans la branche autour de l’´energie Eat = 1 dans le cas scalaire. Afin de ne pas ´eliminer ces ´etats aux tr`es long temps de vies,
nous ajoutons un crit`ere de s´election suppl´ementaire nous permettant de nous affranchir ´egalement des ´etats se situant `a une distance d dans le plan complexe, inf´erieure `a une certaine distance dex seuil que nous imposons, des courbes repr´esentatives d´ecrivant les
comportements des valeurs propres pour N = 2 atomes (eqs. (3.4), (3.10), et (3.10)). Connaissant l’expression analytique associ´ee aux paires coop´eratives, il nous est possible pour chaque valeur propre Λi = (Eat,i, Γat,i) n’´etant pas contenue dans le domaine ellip-
tique d´efinit `a l’´equation (3.75) de calculer sa distance minimale dm = min(d) par rapport
`a la courbe repr´esentative de paires coop´eratives dans le plan complexe telle que : d =
q
(Eat,i− Eat)2+ (Γat,i− Γ(±)(Eat))2 (3.76)
o`u Γ(±)(E
at) est d´efinie dans le cas scalaire, apr`es avoir d´evelopp´e les ´equations (3.5) et
(3.6) en k0r∼ 0, telle que : Γ(±)(Eat)≃ 1 ± 1− 1 (Eat(±))2 ! . (3.77)
On peut adopter la mˆeme proc´edure pour le cas vectoriel en d´eveloppant cette fois ci `a l’ordre 2 les ´equations (3.11), (3.13), (3.12) et (3.14) ce qui nous permet d’obtenir :
Γ(±),1(E at)≃ 1 ± 1− 1 Eat (3.78) Γ(±),2(E at)≃ 1 ± 1− 1 Eat . (3.79)
A partir de ces expressions analytiques on est donc en mesure de calculer la distance d entre chaque valeur Λi et le point le plus proche appartenant aux courbes associ´ees aux
paires et de comparer cette distance au seuil que l’on a fix´e pr´ealablement. Typiquement nous avons choisis dex = 1 afin de s´electionner les valeurs propres dans le plan complexe.
La figure 3.22 nous montre un exemple de s´election des valeurs propres dans les cas scalaire et vectoriel en se basant sur le domaine d´elimit´es par l’´equation (3.75). On re- marque bien que cette est valide que ce soit dans la limite des milieux dilu´es (ρλ3 ≪ 1) ou des milieux denses (ρλ3 ≫ 1).
Apr`es s’ˆetre affranchis des ´etats correspondants aux paires coop´eratives d’atomes (eqs. (3.4), (3.9) et (3.10)), il est int´eressant de revenir bri`evement sur les distributions de largeurs et des positions des modes (P (Γat) et P (Eat)) afin de s’assurer que les comporte-
ment que nous avons pr´ec´edemment attribu´es aux paire coop´eratives soient tels que nous l’avons conjectur´es.
La figure 3.23 nous montre les distributions des largeurs et des positions des modes s´electionn´es dans les cas scalaire et vectoriel pour un nuage contentant N = 700 atome `a diff´erentes densit´es spatiales (ρλ3 = 0.44, 1.316, 13.16 et 131.6). En regardant les distribu- tions des largeurs des modes P (Γat) on remarque tout d’abord que l’accumulation autour
Figure 3.22 – Exemple de s´election des valeurs propres dans les cas scalaire (figures du haut) et vectoriel (figures du bas) pour le r´egime dilu´e (ρλ3 = 0.01) et dense (ρλ3 = 131.6). On remarque bien que le domaine d´elimit´e par l’´equation (3.75) marche bien dans les deux cas que ce soit dans la limite des syst`emes denses ou dilu´es.
la convergence de l’exposant de la d´ecroissance alg´ebrique vers la valeur −4/3 dans le cas vectoriel. Dans le cas scalaire, nous continuons ´egalement `a observer ce comportement preuve que l’exposant de cette d´ecroissance alg´ebrique n’´etait pas reli´e `a la pr´esence des paires coop´eratives. En ce qui concerne les distributions des positions des modes s´election- n´es, on remarque dans le deux cas que les lois de puissance d´eriv´ees aux ´equations (3.59) et (3.60), associ´ees aux paires coop´eratives d’atomes ne sont plus pr´esentes, par contre la d´eformation et l’asym´etrie de ces distributions apparaissant aux grandes densit´es spa- tiales est accrue dans le cas scalaire. Cette d´eformation des distributions des positions des modes P (Eat) aux grand densit´es spatiale est une cons´equence directe de la s´egr´egation
des valeurs propres dans le cas scalaire et quasiment absente dans le cas vectoriel.