tif pour des syst`emes de taille inf´erieure `a la longueur d’onde :
limite de Dicke.
Dans cette section ´etudions le comportement des valeurs propre de l’hamiltonien effectif dans la limite de Dicke c’est `a dire pour des syst`emes de tailles inf´erieures `a la longueur d’onde L ≪ λ. Ce r´egime originalement ´etudi´e par Dicke [6] correspond `a la situation o`u tous les ´el´ements du syst`eme sont coupl´es aux modes du vide via un unique mode transverse ((k0L)2 < 1). Dans plusieurs ´etudes, il a ´et´e montr´e que dans ce cas limite, les
effets coop´eratifs ne d´ependaient plus du ratio entre le nombre d’´el´ements et le nombre de modes transverses mais seulement du nombre d’´el´ements uniquement. Certains travaux s’int´eressant `a des comportements d’´echelles en fonction de l’´epaisseur optique b0 du sys-
t`eme [15] pour des milieux dont la taille est grande devant la longueur d’onde (L > λ), ont observ´e que dans cette limite la quantit´e d’´echelle n’´etait plus fonction de l’´epaisseur optique mais d´ependait du nombre d’atomes N contenus dans le syst`eme.
Afin de reprendre la mˆeme d´emarche que nous avons adopt´ee pour ´etudier les valeurs propres de l’Hamiltonien effectif Hef f pour des syst`emes dont la taille est sup´erieure `a la
longueur d’onde, nous consid´erons tout d’abord la r´epartition des valeurs propres dans les cas scalaire et vectoriels.
La figure 3.31 nous montre la r´epartition des valeurs propres de Hef f dans le plan
complexe pour les cas scalaire et vectoriel pour un nuage de taille k0L = 0.26 contenant
N = 100 atomes somm´e sur 330 configurations spatiales. Tous comme les observations que nous avons faites pr´ec´edemment au d´ebut de ce chapitre on remarque des diff´erences drastiques entre les deux cas dans le sens o`u la s´egr´egation apparaissant dans le cas
Figure3.32 – Repr´esentation log-log des distributions des largeurs des modes P (Γat) pour
un nuage contenant N = 100 dans la limites de Dicke k0L = 0.26 dans les cas scalaire
(courbe noire) et vectoriel (courbe rouge) moyenn´e sur 330 configurations spatiales. On remarque tout d’abord que l’´etat pur superradiant dont la largeur est proche des N Γ0n’est
pr´esent que dans le cas scalaire et que dans le cas vectoriel les modes ayant les temps de vies les plus court ont une largeur de ∼ 10Γ0. Une autre observation int´eressante dans le
cas scalaire est la pr´esence de la d´ecroissance alg´ebrique telle que P (Γat)∝ Γ−4/30 comme
nous l’avons observ´ee pr´ec´edemment (figures 3.7 et 3.9) lors de l’´etude des distributions des largeurs des modes pour des syst`emes dont la taille est sup´erieure `a la longueur d’onde (L > λ). Le maintien de cette loi de puissance dans la limite de Dicke est un argument suppl´ementaire n’allant pas dans le sens de la relation entre ce comportement et les modes localis´es au sens d’Anderson.
scalaire, entre les valeurs propres aux tr`es courts temps de vies (−ℑ(Λ) ≪ 1), assimil´ees aux ´etats superradiant sym´etriques, et celles aux tr`es longs temps de vies (−ℑ(Λ) ≫ 1) qui sont les ´etats sousradiants, n’existe pas dans le cas vectoriel. Malgr´e l’apparition d’´etats ayant un long temps vie dans le cas vectoriel on n’observe pas l’existence d’un ´etat ayant un taux de d´ecroissance proportionnel au nombre d’´el´ements N contenus dans le syst`eme. La figure3.32montre les distributions des largeurs des modes P (Γat) dans le cas scalaire
et vectoriel pour un syst`eme contenant N = 100 atomes, dont la taille est k0L = 0.266.
On remarque clairement l’absence du pic superradiant dans le cas vectoriel, situ´e `a ΓSup =
N Γ0 dans le cas scalaire (entour´e en vert dans la figure3.32). Cette absence vient du fait
que les termes en 1/(k0r)2 et 1/(k0r)3augmentent la d´ecoh´erence reli´ee au ” Van der Walls
dephasing ” [14]. Ce m´ecanisme de d´ephasage, `a l’origine de l’absence du pis superradiant, est li´e aux d´eplacements en fr´equences des ´etats d’excitations collectives associ´e `a un d´esordre dans les orientations relatives des dipˆoles ce qui cr´ee une source de d´ecoh´erence brisant la sym´etrie permettant l’observation de l’´etat superradiant. Certaines ´etudes [53] consid´erant le mod`ele vectoriel que nous ´etudions mais admettant que tous les dipˆoles sont align´es selon un mˆeme axe, ce qui se ram`ene `a l’´etude d’une matrice N × N, observent encore le pic superradiant dans le limite de taille de syst`emes inf´erieure `a la longueur d’onde λ. Il faut toutes fois souligner que ces ´etudes tiennent aussi compte des corrections li´ees `a l’´echange de photons virtuels en ne faisant pas l’approximation de l’onde tournante. Une autre remarque int´eressante vient du fait que l’on continue `a observer dans la limite de Dicke (k0L < 2π) la d´ecroissance alg´ebrique dans le cas scalaire telle que P (Γat)∝ Γ−4/3at .
D’INTERACTION MATI`ERE-RAYONNEMENT. 0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 1000 1200 Atom Number N 〈〈〈〈 ΓΓΓΓ Ma x 〉〉〉〉 Scalar case NΓΓΓΓ0 Scalar case
Figure3.33 – Evolution de la largeur de mode associ´ee `a l’´etat superradiant en fonction du nombre d’atomes N dans le cas scalaire pour un nuage dont la densit´e est ρλ3 = 1.36.106. On remarque clairement une d´eviation `a la convergence de cette largeurs vers la valeur N Γ0.
Cette observation ne va clairement pas dans le sens de la relation entre la loi de puissance, observ´ee dans d’autres ´etudes [26], et les modes localis´es au sens d’Anderson proches de la fronti`ere du syst`eme et fuyant `a travers elle mais ne va pas `a l’encontre d’un r´egime de diffusion anormal [36, 44, 123] telle que pourrait l’ˆetre la sousradiance.
Une observation plus pouss´ee des figures 3.31 et 3.32 dans le cas scalaire nous montre que le pic superradiant dans le cas scalaire ne converge pas exactement vers la valeur N Γ0 tout comme dans l’´etude men´ee par la r´ef´erence [53].Cette non convergence exacte
provient de la non hermicit´e de l’Hamiltonien effectif Hef f ce qui a pour cons´equence que
le taux de d´ecroissance moyen des ´etats sous radiant hΓSubi n’est pas exactement ´egal `a
0. La figure 3.33 nous montre l’´evolution de la largeur associ´ee `a l’´etat superradiant en fonction du nombre d’atomes pour un syst`eme dont la densit´e spatiale de diffuseurs est ρλ3 = 1.36.106 (la taille de ce syst`eme est toujours inf´erieure `a la longueur d’onde qu’elle que soit le nombre d’atomes compris entre N = 100 et 1000). On remarque que la largeur de ce pic ne converge pas exactement vers la valeur N Γ0